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Colbois, Bruno
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Colbois, Bruno
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Professeur ordinaire
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Bruno.Colbois@unine.ch
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Voici les éléments 1 - 10 sur 10
- PublicationAccès libreSpectrum of the Laplacian with weights(2019-3-4)
; El Soufi, AhmadGiven a compact Riemannian manifold $(M,g)$ and two positive functions $\rho$ and $\sigma$, we are interested in the eigenvalues of the Dirichlet energy functional weighted by $\sigma$, with respect to the $L^2$ inner product weighted by $\rho$. Under some regularity conditions on $\rho$ and $\sigma$, these eigenvalues are those of the operator $-\rho^{-1} \mbox{div}(\sigma \nabla u)$ with Neumann conditions on the boundary if $\partial M\ne \emptyset$. We investigate the effect of the weights on eigenvalues and discuss the existence of lower and upper bounds under the condition that the total mass is preserved. - PublicationAccès libreIsoperimetric inequalities for Laplace and Steklov problems on Riemannian manifolds(2019)
; Cette thèse porte sur le spectre du laplacien et sur le spectre de l'opérateur Dirichlet-to-Neumann, qu'on étudie sur une variété riemannienne compacte. Nous trouvons en particulier des bornes supérieures pour les valeurs propres, en fonction de la géométrie de la variété.
Plus précisément, nous verrons s'il est possible d'obtenir des bornes supérieures dans lesquelles le terme géométrique est séparé du terme asymptotique, et si ce dernier croît de manière optimale par rapport à la loi de Weyl. Le premier résultat est dédié à la construction d'un contre-exemple à une question provenant du travail de B. Colbois, A. El Soufi et A. Girouard en 2013, dans lequel ils bornent les valeurs propres du laplacien sur une hypersurface $\Sigma$ de dimension $n\geqslant 2$ à l'aide de son quotient isopérimétrique $I(\Sigma)$ : \begin{equation*} \lambda_k(\Sigma)\cdot\left - PublicationAccès libreOptimisation du spectre du Laplacien avec conditions de Dirichlet et Neumann dans R² et R³(2015)
; Oudet, EdouardLe problème de l'optimisation des valeurs propres du Laplacien est ancien puisqu'à la fin du XIXème siècle Lord Rayleigh conjecturait que la première valeur propre avec condition de Dirichlet était minimisée par le disque. Depuis le problème a été beaucoup étudié. Et les possibilités de recherches sont multiples : diverses conditions, ajout de contraintes, existence, description des optima ...
Dans ce document on se limite aux conditions de Dirichlet et de Neumann, dans ℝ2 et ℝ3. On procède dans un premier temps à un état de l'art.
On se focalise ensuite sur les disques et les boules. En effet, ils font partie des rares formes pour lesquelles il est possible de calculer explicitement et relativement facilement les valeurs propres. On verra malheureusement que ces formes ne sont la plupart du temps pas des minimiseurs.
Enfin on s'intéresse aux simulations numériques possibles. En effet, puisque peu de calculs théoriques peuvent être faits il est intéressant d'obtenir numériquement des candidats. Cela permet ensuite d'avoir des hypothèses de travail théorique. A cet effet nous donnerons des éléments de compréhension sur une méthode de simulation numérique ainsi que des résultats obtenus., The optimization of Laplacian eigenvalues is a classical problem. In fact, at the end of the nineteenth century, Lord Rayleigh conjectured that the first eigenvalue with Dirichlet boundary condition is minimized by a disk. This problem received a lot of attention since this first study and research possibilities are numerous: various conditions, geometrical constraints added, existence, description of optimal shapes...
In this document we restrict us to Dirichlet and Neumann boundary conditions in ℝ2 et ℝ3. We begin with a state of the art.
Then we focus our study on disks and balls. Indeed, these are some of the only shapes for which it is possible to explicitly and relatively easily compute the eigenvalues. But we show in one of the main result of this document that they are not minimizers for most eigenvalues.
Finally we take an interest in the possible numerical experiments. Since we can do very few theoretical computations, it is interesting to get numerical candidates. Then we can deduce some theoretical working assumptions. With this in mind we give some keys to understand our numerical method and we also give some results obtained. - PublicationMétadonnées seulementBounding the eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator on compact submanifolds(2010-1-21)
; - PublicationMétadonnées seulementA pinching theorem for the first eigenvalue of the Laplacian on hypersurfaces of the Euclidean space(2007)
; Grosjean, Jean-FrançoisIn this paper, we give pinching theorems for the first nonzero eigenvalue lambda(1) (M) of the Laplacian on the compact hypersurfaces of the Euclidean space. Indeed, we prove that if the volume of M is I then, for any epsilon > 0, there exists a constant C, depending on the dimension n of M and the L-infinity-norm of the mean curvature H, so that if the L-2p-norm parallel to H parallel to(2p) (p >= 2) of H satisfies n parallel to H parallel to(2)(2p)-C-epsilon < lambda(1) (M), then the Hausdorff-distance between M and a round sphere of radius (n/lambda(1) (M))(1/2) is smaller than epsilon. Furthermore, we prove that if C is a small enough constant depending on n and the L-infinity-norm of the second fundamental form, then the pinching condition n parallel to H parallel to(2)(2p)-C < lambda(1) (M) implies that M is diffeomorphic to an n-dimensional sphere. - PublicationMétadonnées seulementEigenvalues of the laplacian acting on p-forms and metric conformal deformations(2006)
; El Soufi, AhmadLet (M, g) be a compact connected orientable Riemannian manifold of dimension n >= 4 and let lambda(k,p)(g) be the k-th positive eigenvalue of the Laplacian. Delta g,p = dd* + d* d acting on differential forms of degree p on M. We prove that the metric g can be conformally deformed to a metric g', having the same volume as g, with arbitrarily large lambda 1, p(g') for all p is an element of [2,n-2]. Note that for the other values of p, that is p = 0, 1, n-1 and n, one can deduce from the literature that, for all k > 0, the k-th eigenvalue lambda(k,p) is uniformly bounded on any conformal class of metrics of fixed volume on M. For p = 1, we show that, for any positive integer N, there exists a metric g(N) conformal to g such that, for all k - PublicationMétadonnées seulementExtremal eigenvalues of the Laplacian in a conformal class of metrics: The 'conformal spectrum'(2003-12-21)
; El Soufi, AhmadLet M be a compact connected manifold of dimension n endowed with a conformal class C of Riemannian metrics of volume one. For any integer k greater than or equal to 0, we consider the conformal invariant.c k( C) defined as the supremum of the k-th eigenvalue lambda(k)(g) of the Laplace-Beltrami operator Delta(g), where g runs over C. First, we give a sharp universal lower bound for lambda(k)(c)(C) extending to all k a result obtained by Friedlander and Nadirashvili for k = 1. Then, we show that the sequence {lambda(k)(c)(C)}, that we call 'conformal spectrum', is strictly increasing and satisfies, For Allk greater than or equal to 0, lambda(k+1)(c)(C)(n/2)-lambda(k)(c)(C)(n/2) greater than or equal to n(n/2) omega(n), where omega(n) is the volume of the n-dimensional standard sphere. When M is an orientable surface of genus gamma, we also consider the supremum zeta(k)(top) (gamma) of lambda(k)(g) over the set of all the area one Riemannian metrics on M, and study the behavior of lambda(k)(top)(gamma) in terms of gamma. - PublicationMétadonnées seulementCurvature, Harnack's inequality, and a spectral characterization of nilmanifolds(2003)
; - PublicationMétadonnées seulementOn the optimality of J. Cheeger and P. Buser inequalities(2003)
; Matei, Ana-MariaWe study the relationship between the first eigenvalue of the Laplacian and Cheeger constant when the Cheeger constant converges to zero, in the case of compact Riemannian manifolds and of finite graphs. (C) 2003 Elsevier B.V. All rights reserved. - PublicationAccès libreSur le spectre du laplacien des fibrés en tores qui s'effondrent(2003)