Valette, Alain

2018, Pooya, Sanaz, Valette, Alain

On investigue la conjecture de Baum-Connes pour quelque exemples concrets. Cette conjecture est vraie pour plusieurs classes des groupes, en particulier les groupes a-T-moyennables, grâce au travail de Higson-Kasparov. En faisant référence à ce résultat on n’obtient qu’un isomorphisme abstrait. Dans cette thèse on décrira explicitement le morphisme d’assemblage des groupes a-Tmoyennables; BS(1, n) où n > 1 et F≀𝔽_n où F est fini et n ≥ 1. Tous ces groupes peuvent être écrits comme un produit semidirect. Cette approche explicite, naturellement, contient calculs de K-theórie et K-homologie équivariante, celle-ci étant reliée à l’homologie de Bredon. Notre outil pour les calculs en K-théorie est la suite exacte à 6-termes de Pimsner-Voiculescu et pour calculer la K-homologie équivariante, on exploite les suites spectrales d’Atiyah-Hirzebruch et de Lyndon-Hochschild-Serre. Pour avoir une image claire et complète de la conjecture dans ces cas, on ajoute la description des modèles concrets d’espaces classifiants. En plus, on présente des bases naturelles de K-groupes et on les identifie par le morphisme d’assemblage. En faisant cela, on redémontre la conjecture de Baum-Connes pour ces groupes. Finalement, en considérant la conjecture de la trace modifiée, on calcule directement l’image de la trace induite., We investigate the Baum-Connes assembly map through concrete examples. It is known that the Baum-Connes conjecture holds for large classes of groups including a-T-menable groups, thanks to work of Higson and Kasparov. However neither of these works describes the K-groups. In this thesis we describe explicitly the Baum-Connes assembly map for some a-T-menable groups namely BS(1, n), where n > 1 and F≀𝔽_n, where n ≥ 1 and F is a finite group. Our explicit approach by nature involves computations of K-theory and equivariant K-homology with the latter being tightly related to Bredon homology. Our main tools to compute the K-theory is the Pimsner-Voiculescu 6-term exact sequence and to compute the equivariant K-homology we employ spectral sequences, namely suitable versions of Atiyah-Hirzebruch and Lyndon-Hochschild-Serre. In order to provide a complete and clear picture of the conjecture for these groups, we include concrete models for their classifying spaces. Moreover, we present natural sets of generators for the K-groups and identify them via the assembly map. In doing so, we reprove the Baum-Connes conjecture for these groups. Finally, in the context of the (modified) trace conjecture, we directly calculate the image of the induced trace and verify that this is the desired subring of ℝ.

2015, Pillon, Thibault, Valette, Alain

Cette thèse a pour objet l'étude des groupes via leurs actions affines sur des espaces de Hilbert ou de Banach.
Dans la première partie, la théorie des actions affines irréductibles est développée. Un résultat analogue au Lemme de Schur pour les représentations unitaires est démontré. Plusieurs applications sont proposées parmi lesquelles une classification des actions affines irréductibles des groupes nilpotents et FC-nilpotents. La question de l'existence d'une action irréductible dont la partie linéaire est la régulière gauche d'un groupe est abordée et présente des liens avec le premier nombre de Betti L² du groupe. Finalement, une condition nécessaire et suffisante pour que la somme directe de deux actions soit irréductible est présentée.
La deuxième partie est consacrée à l'étude des exposants de compression des groupes. Après une brève introduction au sujet, la valeur exacte de l'exposant de compression L^p des groupes de Gal-Januszkievicz est calculée. Puis, plusieurs résultats sur la permanence des exposants de compression équivariants L^p sont présentés, dans le cas des produits libres amalgamés et dans celui des extensions HNN. Finalement, plusieurs questions et pistes de travaux à venir sont mentionnées., The purpose of this thesis is the study of groups through their affine actions on Hilbert or Banach spaces.
In the first chapter, the theory of irreducible affine actions is developed. A result similar to Schur's lemma for unitary representation is proved. Amongst several applications, a clasification of irreducible actions of nilpotent and FC-nilpotent groups is given. The question of the existence of an irreducible action with linear part the left regular representation of the group is studied and connections with the first L²-Betti number are established. Finally, a sufficient and necessary criterion for the direct sum of two actions to be irreducible is provided.
The second chapter is devoted to the study of compression exponents of groups. After a short introduction to the matter, the exact value of the L^p-compression exponent of Gal an Januszkiewicz groups is computed. Then, several results about permanence of equivariant compression exponents are given. First in the case of amalgamated free products, then in the case of HNN extensions. Finally, several questions and ideas about further research are raised.

2011, Isely, Olivier, Valette, Alain, Besson, Olivier

Dans ce travail, étant donné un produit semi-direct de Z² par Z, nous étudions d'une part les groupes de K-théorie de sa C^*-algèbre associée et d'autre part les groupes de K-homologie géométrique de son espace classifiant. Plus concrètement, nous déterminons ces groupes et, dans certains cas, des générateurs explicites en fonction des coefficients de la matrice entière décrivant le produit semi-direct.
Pour cela, nous utilisons la suite exacte de Pimsner et Voiculescu en K-théorie et, pour la partie concernant la K-homologie, nous démontrons l'existence d'une suite exacte à six termes associée à un tore d'application.

1999, Béguin, Cédric, Valette, Alain

2018, Delabie, Thiebout, Valette, Alain, Khukhro, Ana

Les box spaces sont des espaces métriques construits avec des groups. Ils sont utiles comme exemples d'espace métrique avec des propriétés exceptionnelles à grande échelle. Dans cette thèse on continue la recherche sur les box space., Box spaces are metric space that are constructed using group. They are useful as examples of metric spaces with exceptional large scale geometric properties. In this thesis we further investigate box space.

2011, Heistercamp, Muriel, Schlenk, Félix, Bourgeois, F., Valette, Alain, Gutt, S., Abbondandolo, A., Bertelson, M.

Let M be a smooth closed manifold and T∗M its cotangent bundle endowed with the usual symplectic structure ω = dλ, where λ is the Liouville form. A hypersurface Σ ⊂ T∗M is said to be fiberwise starshaped if for each point q ∈ M the intersection Σ _q := Σ∩T∗_qM of Σ with the fiber at q is the smooth boundary of a domain in T∗M which is starshaped with respect to the origin 0_q ∈ T∗_qM.

In this thesis we give lower bounds on the growth rate of the number of closed Reeb orbits on a fiberwise starshaped hypersurface in terms of the topology of the free loop space of M. We distinguish the two cases that the fundamental group of the base space M has an exponential growth of conjugacy classes or not. If the base space M is simply connected we generalize the theorem of Ballmann and Ziller on the growth of closed geodesics to Reeb flows.

2009, Moon, Soyoung, Valette, Alain

Cette thèse porte sur la question de la moyennabilité des actions de groupes discrets. L'objectif de cette thèse est l'étude de la classe A des groupes dénombrables admettant une action moyennable, fidèle et transitive sur un ensemble dénombrable infini. Un des résultats principaux de ce travail est de démontrer que tout sous-groupe d'indice infini d'un produit amalgamé de deux groupes libres au dessus d'un sous-groupe cyclique (en particulier les groupes de surfaces) est contenue dans A. En outre, des propriétés héréditaires de la classe A sont établies, et de plus des résultats sur les groupes de Coxeter à angle droit sont présentés

2015, Jolissaint, Pierre-Nicolas, Valette, Alain

L'objectif de cette thèse est de faire des liens entre les propriétés algébriques et géométriques des groupes. Une façon d'étudier un espace métrique quelconque est de le représenter comme un sous-ensemble d'un espace de Banach dont la géométrie est bien comprise. En premier lieu, nous étudions les plongements bi-Lipschitz de graphes de Cayley de groupes finis dans les espaces L^p [0; 1]. En particulier, nous donnons une borne inferieure pour la distortion de tels plongements à l'aide d'invariants de graphes comme le diamètre, la régularité et le trou spectral. Dans un deuxième temps, nous étudions le comportement de plongements qui préservent la géométrie à grande échelle des espaces métriques finis. Pour ce faire, nous calculons l'exposant de compression de certaines extensions HNN ainsi que d'espaces métriques obtenus comme réunion de graphes finis. Nous nous intéressons ensuite à la 1-cohomologie à valeur dans les G-modules unitaires, dans le cas où G est un groupe agissant transitivement sur les sommets d'un arbre régulier ainsi que sur son bord. Nous parvenons à calculer explicitement les fonctions conditionnellement de type négatif associées aux 1-cocycles non-bornées sur G. Enfin, dans le dernier chapitre de cette thèse, nous donnons une condition de non-annulation de l'espace de 1-cohomologie bornée pour certains Γ-modules de Banach, pour Γ un groupe dénombrable discret.

2011, Dreesen, Dennis, Valette, Alain

A crystallographic group is a group that acts faithfully, isometrically and properly discontinuously on a Euclidean space Rⁿ and the theory of crystallographic groups is in some sense governed by three main theorems, called the Bieberbach theorems. The research performed in this thesis is motivated from a desire to generalize these theorems to a more general setting. First, instead of actions on Rⁿ, we consider actions on products M x N where N is a simply connected, connected nilpotent Lie-group equipped with a left-invariant Riemannian metric and where M is a closed Riemannian manifold. Our proof to generalize the first Bieberbach theorem to this setting, needs that the isometries of M x N split, i.e that Iso(M x N) = Iso(M) x Iso(N). In Part I of this thesis, we introduce a class of products on which the isometries split.
Consequently, going back to the Bierbach context, we can replace Euclidean space Rⁿ by the class of all, possibly infinite-dimensional, Hilbert spaces. We here enter the world of groups with the Haagerup property. Quantifying the degree to which a group satisfies the Haagerup property leads to the notion of equivariant Hilbert space compression, and we investigate the behaviour of this number under group constructions in Part II.
Finally, dropping the condition that groups under consideration must act isometrically on a Hilbert space, we look, in part III, at mere (uniform) embeddings of groups into Hilbert spaces. Quantifying the degree to which a group embeds uniformly into a Hilbert space, leads to the notion of (ordinary) Hilbert space compression and in Part III, the behaviour of this number under group constructions is investigated.

2005, Stalder, Yves, Valette, Alain

Les groupes de Baumslag-Solitar sont des groupes très naturels. Dès qu'on introduit la notion d'extension HNN, ils apparaissent car ce sont des exemples parmi les plus simples d'une telle structure. Si m et n sont deux entiers non nuls, le groupe BS(m,n) est engendré par deux éléments, notés a et b, qui sont soumis à la relation ab^{m}a^{-1} = b^{n}. Gilbert Baumslag et Donald Solitar se sont intéressés à ces groupes en raison du caractère non hopfien de la majorité d'entre-eux. On connaissait alors peu de groupes non hopfiens de présentation finie et il s'agissait des premiers exemples de tels groupes avec un seul relateur. Les groupes de Baumslag-Solitar ont été classés à isomorphisme près par Moldavanskiĭ, tandis que Farb et Mosher, puis Whyte, ont traité la classification à quasi-isométrie près. Il apparaît que les groupes de Baumslag-Solitar se scindent naturellement en deux classes: les BS(±1,n) et les BS(m,n) avec |m|,|n| ≥ 2. Les premiers sont métabéliens, et donc résolubles et moyennables, tandis que les seconds ne possèdent aucune de ces propriétés. Par contre, des formes faibles de moyennabilité sont partagées par l’ensemble des groupes de Baumslag-Solitar: par exemple, ils possèdent tous la propriété de Haagerup (Gal et Januszkiewicz) et aucun n’est uniformément non-moyennable (Arjantseva, Burillo, Lustig, Reeves, Short et Ventura). Une autre forme faible connue de moyennabilité est la moyennabilité intérieure. Cette propriété est évidente pour les groupes qui possèdent une classe de conjugaison finie (non triviale). Nos résultats du chapitre 2 sur les extensions HNN impliquent en particulier: Théorème • Le groupe BS(m,n) est à classes de conjugaison infinies si et seulement si |m|≠|n|; • Le groupe BS(m,n) est intérieurement moyennable quels que soient les entiers non nuls m et n. Le second acteur principal de cette thèse, présenté dans le chapitre 3, est l'espace de groupes marqués de type fini. De manière informelle, on peut dire que deux groupes marqués sont proches si les boules de leurs graphes de Cayley sont les mêmes pour un grand rayon. Cette topologie a permis d'établir plusieurs résultats dont les énoncés ne font pas directement appel à elle. Par exemple: • l'existence de groupes moyennables non élémentairement moyennables, démontrée par Stepin; • l'existence, pour chaque groupe de Kazhdan de type fini, d'un groupe de Kazhdan de présentation finie dont le groupe de départ est un quotient, prouvée par Shalom. Elle permet encore de caractériser les groupes limites de Sela. Nous nous sommes consacrés à l'étude des groupes de Baumslag-Solitar dans l'espace des groupes marqués, d'abord seul, puis en collaboration avec Luc Guyot (voir le chapitre 4). Une nouvelle différence entre les groupes de Baumslag-Solitar moyennables et non moyennables est apparue au cours de ces travaux: Théorème • Les groupes marqués BS(±1,n) convergent pour |n| → ∞; • Si m est un entier tel que |m|≥2, la suite (indicée par n) des groupes marqués BS(m,n) possède une infinité non dénombrable de points d’accumulation. Dans le second cas, on s’intéresse aux points d’accumulation. Il apparaît que ces groupes marqués sont naturellement paramétrés par les entiers m-adiques. Une partie importante de notre travail consiste à montrer que ce sont des extensions de groupes libres par le produit en couronne de Z avec lui-même, ce qui implique qu’ils sont résiduellement résolubles et possèdent la propriété de Haagerup. Nous en donnons également des présentations.