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Espace des groupes marqués et groupes de Baumslag-Solitar
Auteur(s)
Editeur(s)
Date de parution
2005
Mots-clés
Résumé
Les groupes de Baumslag-Solitar sont des groupes très naturels. Dès qu'on introduit la notion d'extension HNN, ils apparaissent car ce sont des exemples parmi les plus simples d'une telle structure. Si m et n sont deux entiers non nuls, le groupe BS(m,n) est engendré par deux éléments, notés a et b, qui sont soumis à la relation ab^{m}a^{-1} = b^{n}.
Gilbert Baumslag et Donald Solitar se sont intéressés à ces groupes en raison du caractère non hopfien de la majorité d'entre-eux. On connaissait alors peu de groupes non hopfiens de présentation finie et il s'agissait des premiers exemples de tels groupes avec un seul relateur. Les groupes de Baumslag-Solitar ont été classés à isomorphisme près par Moldavanskiĭ, tandis que Farb et Mosher, puis Whyte, ont traité la classification à quasi-isométrie près.
Il apparaît que les groupes de Baumslag-Solitar se scindent naturellement en deux classes: les BS(±1,n) et les BS(m,n) avec |m|,|n| ≥ 2. Les premiers sont métabéliens, et donc résolubles et moyennables, tandis que les seconds ne possèdent aucune de ces propriétés. Par contre, des formes faibles de moyennabilité sont partagées par l’ensemble des groupes de Baumslag-Solitar: par exemple, ils possèdent tous la propriété de Haagerup (Gal et Januszkiewicz) et aucun n’est uniformément non-moyennable (Arjantseva, Burillo, Lustig, Reeves, Short et Ventura).
Une autre forme faible connue de moyennabilité est la moyennabilité intérieure. Cette propriété est évidente pour les groupes qui possèdent une classe de conjugaison finie (non triviale). Nos résultats du chapitre 2 sur les extensions HNN impliquent en particulier:
Théorème
• Le groupe BS(m,n) est à classes de conjugaison infinies si et seulement si |m|≠|n|;
• Le groupe BS(m,n) est intérieurement moyennable quels que soient les entiers non nuls m et n.
Le second acteur principal de cette thèse, présenté dans le chapitre 3, est l'espace de groupes marqués de type fini. De manière informelle, on peut dire que deux groupes marqués sont proches si les boules de leurs graphes de Cayley sont les mêmes pour un grand rayon.
Cette topologie a permis d'établir plusieurs résultats dont les énoncés ne font pas directement appel à elle. Par exemple:
• l'existence de groupes moyennables non élémentairement moyennables, démontrée par Stepin;
• l'existence, pour chaque groupe de Kazhdan de type fini, d'un groupe de Kazhdan de présentation finie dont le groupe de départ est un quotient, prouvée par Shalom.
Elle permet encore de caractériser les groupes limites de Sela.
Nous nous sommes consacrés à l'étude des groupes de Baumslag-Solitar dans l'espace des groupes marqués, d'abord seul, puis en collaboration avec Luc Guyot (voir le chapitre 4). Une nouvelle différence entre les groupes de Baumslag-Solitar moyennables et non moyennables est apparue au cours de ces travaux:
Théorème
• Les groupes marqués BS(±1,n) convergent pour |n| → ∞;
• Si m est un entier tel que |m|≥2, la suite (indicée par n) des groupes marqués BS(m,n) possède une infinité non dénombrable de points d’accumulation.
Dans le second cas, on s’intéresse aux points d’accumulation. Il apparaît que ces groupes marqués sont naturellement paramétrés par les entiers m-adiques. Une partie importante de notre travail consiste à montrer que ce sont des extensions de groupes libres par le produit en couronne de Z avec lui-même, ce qui implique qu’ils sont résiduellement résolubles et possèdent la propriété de Haagerup. Nous en donnons également des présentations.
Gilbert Baumslag et Donald Solitar se sont intéressés à ces groupes en raison du caractère non hopfien de la majorité d'entre-eux. On connaissait alors peu de groupes non hopfiens de présentation finie et il s'agissait des premiers exemples de tels groupes avec un seul relateur. Les groupes de Baumslag-Solitar ont été classés à isomorphisme près par Moldavanskiĭ, tandis que Farb et Mosher, puis Whyte, ont traité la classification à quasi-isométrie près.
Il apparaît que les groupes de Baumslag-Solitar se scindent naturellement en deux classes: les BS(±1,n) et les BS(m,n) avec |m|,|n| ≥ 2. Les premiers sont métabéliens, et donc résolubles et moyennables, tandis que les seconds ne possèdent aucune de ces propriétés. Par contre, des formes faibles de moyennabilité sont partagées par l’ensemble des groupes de Baumslag-Solitar: par exemple, ils possèdent tous la propriété de Haagerup (Gal et Januszkiewicz) et aucun n’est uniformément non-moyennable (Arjantseva, Burillo, Lustig, Reeves, Short et Ventura).
Une autre forme faible connue de moyennabilité est la moyennabilité intérieure. Cette propriété est évidente pour les groupes qui possèdent une classe de conjugaison finie (non triviale). Nos résultats du chapitre 2 sur les extensions HNN impliquent en particulier:
Théorème
• Le groupe BS(m,n) est à classes de conjugaison infinies si et seulement si |m|≠|n|;
• Le groupe BS(m,n) est intérieurement moyennable quels que soient les entiers non nuls m et n.
Le second acteur principal de cette thèse, présenté dans le chapitre 3, est l'espace de groupes marqués de type fini. De manière informelle, on peut dire que deux groupes marqués sont proches si les boules de leurs graphes de Cayley sont les mêmes pour un grand rayon.
Cette topologie a permis d'établir plusieurs résultats dont les énoncés ne font pas directement appel à elle. Par exemple:
• l'existence de groupes moyennables non élémentairement moyennables, démontrée par Stepin;
• l'existence, pour chaque groupe de Kazhdan de type fini, d'un groupe de Kazhdan de présentation finie dont le groupe de départ est un quotient, prouvée par Shalom.
Elle permet encore de caractériser les groupes limites de Sela.
Nous nous sommes consacrés à l'étude des groupes de Baumslag-Solitar dans l'espace des groupes marqués, d'abord seul, puis en collaboration avec Luc Guyot (voir le chapitre 4). Une nouvelle différence entre les groupes de Baumslag-Solitar moyennables et non moyennables est apparue au cours de ces travaux:
Théorème
• Les groupes marqués BS(±1,n) convergent pour |n| → ∞;
• Si m est un entier tel que |m|≥2, la suite (indicée par n) des groupes marqués BS(m,n) possède une infinité non dénombrable de points d’accumulation.
Dans le second cas, on s’intéresse aux points d’accumulation. Il apparaît que ces groupes marqués sont naturellement paramétrés par les entiers m-adiques. Une partie importante de notre travail consiste à montrer que ce sont des extensions de groupes libres par le produit en couronne de Z avec lui-même, ce qui implique qu’ils sont résiduellement résolubles et possèdent la propriété de Haagerup. Nous en donnons également des présentations.
Notes
Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2005 ; 1845
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Type de publication
doctoral thesis
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