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The asymptotic behavior of fraudulent algorithms
Let U be a Morse function on a compact connected m-dimensional Riemannian manifold, m≥2, satisfying minU=0 and let U={x∈M:U(x)=0} be the set of global minimizers. Consider the stochastic algorithm X(β):=(X(β)(t))t≥0 defined on N=M∖U, whose generator isUΔ⋅−β⟨∇U,∇⋅⟩, where $\beta\in\RR$ is a real parameter.We show that for β>m2−1, X(β)(t) converges a.s.\ as t→∞, toward a point p∈U and that each p∈U has a positive probability to be selected. On the other hand, for β
A note on the top Lyapunov exponent of linear cooperative systems
In a recent paper [Asymptotic of the largest Floquet multiplier for cooperative matrices Annales de la Facult\'e des Sciences de Toulouse, Tome XXXI, no 4 (2022)] P. Carmona gives an asymptotic formulae for the top Lyapunov exponent of a linear T-periodic cooperative differential equation, in the limit T goes to infinity. This short note discusses and extends this result.
Regularity of the stationary density for systems with fast random switching
We consider the piecewise-deterministic Markov process obtained by randomly switching between the flows generated by a finite set of smooth vector fields on a compact set. We obtain H\"ormander-type conditions on the vector fields guaranteeing that the stationary density is: $C^k$ whenever the jump rates are sufficiently fast, for any $k<\infty$; unbounded whenever the jump rates are sufficiently slow and lower semi-continuous regardless of the jump rates. Our proofs are probabilistic, relying on a novel application of stopping times.
Degenerate processes killed at the boundary of a domain
We investigate certain properties of degenerate Feller processes that are killed when exiting a relatively compact set. Our main result provides general conditions ensuring that such a process possesses a (possibly non unique) quasi stationary distribution. Conditions ensuring uniqueness and exponential convergence are discussed. The results are applied to nonelliptic and hypoelliptic stochastic differential equations.
Chaînes alimentaires de type Lotka-Volterra bruitées et quasi-stationnarité avec frontières mobiles aléatoires
Dans la première partie de cette thèse, nous étudions les chaînes alimentaires de type Lotka-Volterra. Ce modèle considère n espèces dont les interactions sont régies par des équations de Lotka-Volterra. Plus précisément, l’espèce i est la proie de l’espèce i + 1 et le prédateur de l’espèce i − 1. De plus, il peut y avoir des interactions intra-spécifiques mais il ne peut pas y avoir d’autres interactions que celles mentionnées ci-dessus. Dans un premier temps, nous considérons ce modèle sous la forme d’une équation différentielle stochastique, c.-à -d. que nous supposons que la dérive est une chaîne alimentaire de type Lotka-Volterra. Dans ce modèle, nous supposons également que le bruit est dégénéré et plus précisément, qu’il n’affecte que l’espèce 1 ou l’espèce n. Nous montrons que, sous ces hypothèses, la persistance des espèces est équivalente au fait que la dérive possède un point d’équilibre ayant toutes ses coordonnées positives. Sous la condition que toutes les espèces sont présentes, nous entendons par persistance que le semi-groupe converge en variation totale vers une unique probabilité n variante dont le support est contenu dans l’orthant positif. Si nous négligeons la compétition intraspécifique d’au moins une espèce, nous montrons qu’alors, la vitesse de convergence est polynomiale. Cependant, si toutes les espèces possèdent des interactions intra-spécifiques, alors la vitesse de convergence est exponentielle. Dans un second temps, nous considérons ce modèle sous la forme d’un processus de Markov déterministes par morceaux. C.-à -d. nous considérons le modèle engendré par le switch aléatoire entre N chaînes alimentaires de type Lotka-Volterra. Nous faisons aussi l’hypothèse qu’il y a deux chaînes alimentaires qui ne diffèrent que par les ressources allouées à la première espèce. Sous ces conditions, nous montrons que la persistance des espèces est équivalente à la positivité des coordonnées du point d’équilibre de la chaîne moyenne. De plus, nous montrons que la vitesse de convergence est exponentielle. Dans le cas de l’extinction, nous déterminons également quelles espèces s’éteignent et quelles espèces survivent. Nous montrons aussi que la vitesse d’extinction est exponentielle tandis que le semi-groupe converge en loi vers une probabilité invariante mettant du poids uniquement sur les espèces survivantes. De plus, nous traitons également du cas critique ainsi que de la sensibilité du modèle aux paramètres. La deuxième partie de cette thèse traite de la quasi-stationnarité avec frontières mobiles aléatoires. Plus précisément, nous faisons l’hypothèse que la frontière ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs possibles et que ces changements sont régis par un processus de sauts. Sous de nouvelles conditions de type Champagnat-Villemonais, nous montrons l’existence d’un Q-processus et d’une mesure quasi-ergodique. De plus, nous montrons aussi l’ergodicité du flot induit par la loi marginale du processus conditionné à ne pas être absorbé. In the first part of this thesis, we study Lotka-Volterra food chains. This model considers n species whose interactions are governed by Lotka-Volterra equations. More precisely, species i is the prey of species i+1 and the predator of species i−1. In addition, there can be intra-specific interactions but there can be no other interactions than those mentioned above. First, we consider this model as a stochastic differential equation, i.e. we assume that the drift is a Lotka-Volterra type food chain. In this model, we also assume that the noise is degenerate and, more precisely, that it only affects species 1 or species n. We show that, under these assumptions, species persistence is equivalent to the drift having an equilibrium point with all its coordinates positive. Under the condition that all species are present, we understand persistence to mean that the semigroup converges in total variation to a single invariant probability measure whose support is contained in the positive orthant. If we neglect the intra-specific competition of at least one species, then we show that the speed of convergence is polynomial. However, if all species have intra-specific interactions, then the speed of convergence is exponential. In a second step, we consider this model as a piecewise deterministic Markov process. I.e. we consider the model generated by the random switching between N food chains of the Lotka-Volterra type. We also assume that there are two food chains that differ only in the resources allocated to the first species. Under these conditions, we show that the persistence of species is equivalent to the positivity of the coordinates of the equilibrium point of the average chain. Furthermore, we show that the speed of convergence is exponential. In the case of extinction, we also determine which species become extinct and which species survive. We also show that the extinction rate is exponential while the semi-group converges in law to an invariant probability measure putting weight only on the surviving species. In addition, we also discuss the critical case and the sensitivity of the model to parameters. The second part of this thesis deals with quasi-stationarity with random moving boundaries. More precisely, we assume that the boundary can only take a finite number of possible values and that these changes are governed by a jump process. Under new Champagnat-Villemonais conditions, we show the existence of a Q-process and a quasiergodic measure. Moreover, we also show the ergodicity of the flow induced by the marginal law of the process conditioned not to be absorbed.
Transcritical Bifurcation for the Conditional Distribution of a Diffusion Process
On invariant distributions of Feller Markov chains with applications to dynamical systems with random switching
We introduce simple conditions ensuring that invariant distributions of a Feller Markov chain on a compact Riemannian manifold are absolutely continuous with a lower semi-continuous, continuous or smooth density with respect to the Riemannian measure. This is applied to Markov chains obtained by random composition of maps and to piecewise deterministic Markov processes obtained by random switching between flows.