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Straubhaar, Régis
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Straubhaar, Régis
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- PublicationMétadonnées seulementNumerical Optimization of Eigenvalues of the Dirichlet–Laplace Operator on Domains in Surfaces(2014-4-24)Let (M,g) be a smooth and complete surface, Ω⊂M be a domain in M, and Δg be the Laplace operator on M. The spectrum of the Dirichlet–Laplace operator on Ω is a sequence 0<λ1(Ω)≤λ2(Ω)≤⋯↗∞. A classical question is to ask what is the domain Ω∗ which minimizes λm(Ω) among all domains of a given area, and what is the value of the corresponding λm(Ω∗m). The aim of this article is to present a numerical algorithm using shape optimization and based on the finite element method to find an approximation of a candidate for Ω∗m. Some verifications with existing numerical results are carried out for the first eigenvalues of domains in ℝ2. Furthermore, some investigations are presented in the two-dimensional sphere to illustrate the case of the positive curvature, in hyperbolic space for the negative curvature and in a hyperboloid for a non-constant curvature.
- PublicationAccès libreNumerical optimization of Dirichlet-Laplace eigenvalues on domains in surfaces(2013)
; ; Le spectre de l'opérateur de Laplace-Dirichlet défini sur un domaine borné d'une surface lisse et complète est une suite strictement positive, croissante, tendant vers l'infini. Le but de cette thèse est d'approcher les premières valeurs propres de cet opérateur de manière numérique à l'aide d'une méthode d'éléments finis, puis de considérer le problème d'optimisation suivant: quel est le domaine qui minimise la k-ème valeur propre parmi tous les domaines d'aire donnée, et que vaut cette valeur propre? Ce dernier trouve son origine dans les théorèmes de Faber-Krahn et Krahn-Szegö, qui règlent le cas de la première et de la deuxième valeur propre d'un domaine de l'espace euclidien. Des méthodes en optimisation de forme ont été élaborées pour proposer des domaines candidats à être solution pour des valeurs propres plus élevées ainsi que pour d'autres surfaces sous-jacentes comme la sphère et l'espace hyperbolique. Cela a donné lieu à des observations sur la comparaison de valeurs propres associées à des domaines sur différentes surfaces. Le problème du placement d'un obstacle circulaire à l'intérieur d'une boule afin de maximiser les premières valeurs propres est aussi abordé dans cette thèse.