Méthodes de décomposition de domaines pour les équations de Navier-Stokes en jonction fleuve/océan et les lois de conservation scalaires

<br> L’objet de cette thèse est l’approximation du point de vue mathématique et numérique des équations de Navier-Stokes anisotropiques et des lois de conservations scalaires en espace-temps pour des applications à l’environnement côtier. <br><br> Dans la première partie, les méthodes de décomposition de domaines sont appliquées à un modèle de viscosité turbulente 3-D afin d’améliorer l’hypothèse hydrostatique dans une jonction entre deux bassins peu-profonds dont l’un est mince (e.g fleuve/océan). Des résultats théoriques sont prouvés pour donner un sens mathématique au modèle asymptotique obtenu. Ce modèle est ensuite réduit à un problème asymptotique 2-D de type Saint-Venant. En utilisant le schéma de différentiation rétrograde d’ordre 2, les modèles stationnaires obtenus sont formulés en des équations d’interface (dites de Steklov-Poincaré), qui sont résolues par des schémas itératifs entre sous-domaines. Finalement des résultats numériques sont donnés pour illustrer l’influence des quantités physiques (e.g viscosité, termes surfaciques du vent) sur la stabilité des algorithmes. <br><br> Dans la deuxième partie, l’équation de Steklov-Poincaré est analysée en espace-temps pour les lois de conservation scalaires en appliquant la méthode STILS (Space-Time Integrated Least-Square method). Un schéma itératif entre sous-domaines est alors proposé pour la résolution de cette équation avec des approximations marche-en temps de STILS. Des résultats numériques sont alors donnés pour l’exemple de Hansbo et de Smolarkiewicz. On prouve enfin que cette méthode de décomposition de domaine peut être interprétée comme une extension du schéma itératif d-ADN (damped and Adaptive Dirichlet-Neumann) pour un problème de diffusion défini par un tenseur de rang 1., <br> The purpose of this thesis is to investigate from both mathematical and numerical view point the anisoropic Navier-Stokes equations in a river/ocean junction and scalar conservation laws in space-time, with particular concern on environmental applications. <br><br> In the first part domain decomposition methods are applied to set up effective interface conditions for asymptotic approximations of a turbulent viscosity model. This asymptotic analysis performs the hydrostatic hypothesis in a junction between two shallow domains when one has the property to be thin (e.g estuaries). Assuming the junction with a rigid-lid flow, existence results are proved for different asymptotic models. In the free-surface flow case, the conditions are reduced to couple 2-D shallow water equations. Then theses equations are formulated in Steklov-Poincaré equations. Iteration schemes are proposed to perform the interface equations. Some numerical results are given to illustrate the influence of the physical quantities on the satability of the schemes. <br><br> In the second part, the Steklov-Poincaré equation is analyzed in space-time frame for scalar conservation laws in using the STILS (Space-Time Integrated Least-Square) method. An iteration scheme is proposed to solve this equation with time-marching approximation of STILS. Some numerical results are given to test the performance of the method for the cylinder rotating and flow distorsion examples. Finally we prove that our method can be seen as a generalization of the classical d-ADN (damped and Adaptive Dirichlet-Neumann) method in space-time framework.

Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2012 ; 2251