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Préconditionnement de systèmes linéaires symétriques définis positifs: application à la simulation numérique d’écoulements océaniques tridimensionnels
Editeur(s)
Date de parution
2007
Résumé
Cette thèse est constituée de deux parties distinctes. La première partie est consacrée au développement de préconditionneurs de systèmes linéaires symétriques définis positifs. Les systèmes considérés sont de grande taille et creux (i.e. les matrices ont une faible proportion de coefficients non nuls). Ils sont résolus avec l’algorithme du gradient conjugué dont la vitesse de convergence est contrôlée par la condition de la matrice. Une nouvelle classe de préconditionneurs dépendant de plusieurs paramètres est présentée. Elle est basée sur un procédé d’orthogonalisation conjuguée de Gram-Schmidt et une méthode de moindres carrés. Des résultats théoriques sont donnés, notamment une majoration de la condition du système préconditionné. Différentes variantes (couplage, traitement par blocs) sont considérées. Cette nouvelle
classe de préconditionneurs est comparée à quelques préconditionneurs connus à l’aide de tests numériques. De plus, la parallélisation des méthodes est étudiée et des tests numériques sont effectués afin d’évaluer la performance des algorithmes en termes de speed-up et d’efficience.
Le but de la seconde partie est de simuler des écoulements océaniques tridimensionnels induits par les vents en surface. Pour cela, les équations de Navier-Stokes non stationnaires sont formulées pour un fluide incompressible anisotrope à densité constante. La force de Coriolis est prise en compte et les tractions dues aux vents constituent le moteur du système. Un vecteur de viscosité turbulente intègre l’influence du rapport d’aspect du bassin (i.e. ε = h 0 /d, où h 0 est la profondeur maximale et d le diamètre horizontal) de sorte à vérifier asymptotiquement l’approximation hydrostatique. Ceci donne le caractère anisotrope du fluide.
Un modèle numérique pour la résolution de ces équations est présenté en détails. La discrétisation temporelle est traitée avec des méthodes de prédicteur-correcteur afin de dissocier le calcul de la vitesse et de la pression. Chaque pas de temps est décomposé en deux sous-pas, le premier consiste en une étape de prédiction et le second en une étape de correction. Des éléments finis de type Q 1 et Q 2 sont utilisés pour la discrétisation spatiale. Les problèmes faibles approchés obtenus sont des systèmes linéaires symétriques définis positifs et creux. Une méthode de pénalisation est considérée pour le calcul de la pression dont la matrice du système est mal conditionnée.
Finalement, les méthodes de préconditionnement de la première partie et la mise en œuvre de logiciels parallèles ont permis de traiter le cas de l’océan Atlantique nord. Des cartes de courants sont présentées. Les données (bathymétrie, vents) ont été fournies par le projet de recherche français Mercator Océan (http://www.mercator-ocean.fr/).
Les logiciels parallèles nécessaires à ce travail ont été développés sur les machines parallèles CRAY XT3 du CSCS (Swiss National Supercomputing Center, http://www.cscs.ch).
classe de préconditionneurs est comparée à quelques préconditionneurs connus à l’aide de tests numériques. De plus, la parallélisation des méthodes est étudiée et des tests numériques sont effectués afin d’évaluer la performance des algorithmes en termes de speed-up et d’efficience.
Le but de la seconde partie est de simuler des écoulements océaniques tridimensionnels induits par les vents en surface. Pour cela, les équations de Navier-Stokes non stationnaires sont formulées pour un fluide incompressible anisotrope à densité constante. La force de Coriolis est prise en compte et les tractions dues aux vents constituent le moteur du système. Un vecteur de viscosité turbulente intègre l’influence du rapport d’aspect du bassin (i.e. ε = h 0 /d, où h 0 est la profondeur maximale et d le diamètre horizontal) de sorte à vérifier asymptotiquement l’approximation hydrostatique. Ceci donne le caractère anisotrope du fluide.
Un modèle numérique pour la résolution de ces équations est présenté en détails. La discrétisation temporelle est traitée avec des méthodes de prédicteur-correcteur afin de dissocier le calcul de la vitesse et de la pression. Chaque pas de temps est décomposé en deux sous-pas, le premier consiste en une étape de prédiction et le second en une étape de correction. Des éléments finis de type Q 1 et Q 2 sont utilisés pour la discrétisation spatiale. Les problèmes faibles approchés obtenus sont des systèmes linéaires symétriques définis positifs et creux. Une méthode de pénalisation est considérée pour le calcul de la pression dont la matrice du système est mal conditionnée.
Finalement, les méthodes de préconditionnement de la première partie et la mise en œuvre de logiciels parallèles ont permis de traiter le cas de l’océan Atlantique nord. Des cartes de courants sont présentées. Les données (bathymétrie, vents) ont été fournies par le projet de recherche français Mercator Océan (http://www.mercator-ocean.fr/).
Les logiciels parallèles nécessaires à ce travail ont été développés sur les machines parallèles CRAY XT3 du CSCS (Swiss National Supercomputing Center, http://www.cscs.ch).
Notes
Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2007 ; 1931
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Type de publication
doctoral thesis
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