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Schlenk, Félix

Nom
Schlenk, Félix
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Fonction
Professeure ordinaire
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felix.schlenk@unine.ch
Identifiants
https://libra.unine.ch/handle/123456789/461

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    A study of the Hill three-body problem by modern symplectic geometry.
    (2023)
    Aydin, Cengiz 
    ;
    Schlenk, Félix 
    ;
    Freuenfelder, Urs
    Le problème à trois corps de Hill est un cas limite du problème à trois corps restreint qui a été proposé pour la première fois par Hill en 1878. Sa motivation était de décrire le mouvement de la Lune - le compagnon de la Terre - dans le système Soleil-Terre-Lune. Les familles fondamentales d’orbites périodiques planaires sont celles des orbites périodiques directes (famille g) et rétrogrades (famille f ). Puisque le système spatial est invariant sous une involution symplectique, dont l’ensemble des points fixes correspond au problème planaire, les orbites planaires ont des multiplicateurs de Floquet planaires et spatiaux, et des indices de Conley–Zehnder planaires et spatiaux. Afin de déterminer leurs indices, nous examinons analytiquement le scénario de bifurcation de la famille g et f du problème de Kepler pour les très basses énergies. De plus, la spécification des multiplicateurs de Floquet est donnée par l’invariance de l’orbite sous une certaine involution anti-symplectique qui laisse le système invariant également. Pourquoi toutes ces constructions sont-elles des outils fantastiques? Hill a trouvé numériquement une orbite périodique directe planaire ayant la période d’un mois synodique de notre Lune, soit environ 29,53 jours. Comme elle est elliptique, nous pouvons lui attribuer des angles de rotation planaires et spatiaux. Avec les indices, ils ont une profonde signification astronomique, car d’une part le mois anormal de notre Lune, qui est d’environ 27,55 jours, correspond à l’angle de rotation planaire et à l’indice planaire de Conley– Zehnder. D’autre part, le mois draconitique de notre Lune, qui est d’environ 27,21 jours, correspond à l’angle de rotation spatial et à l’indice spatial de Conley–Zehnder. Ces mois lunaires remontent aux Babyloniens jusqu’à environ 500 ans avant notre ère. Pour des énergies plus élevées, nous explorons l’interaction entre l’indice de Conley–Zehnder et les points de bifurcation de ces orbites invariantes planaires et spatiales périodiques. Lorsque les multiplicateurs de Floquet passent par une racine de l’unité, de nouvelles familles d’orbites périodiques bifurquent et l’indice passe change par un entier. Par des extensions numériques de la famille g et f , nous déterminons l’indice de diverses familles d’orbites périodiques planaires et spatiales bifurquant à partir de g et f . Comme ces familles peuvent bifurquer à nouveau et se rencontrer, cette procédure peut s’avérer compliquée. Cet indice conduit à une gradation de l’homologie locale de Floer. Comme l’homologie locale de Floer et sa caractéristique d’Euler restent invariantes en cas de bifurcation, l’indice fournit des informations importantes sur l’interconnexion de ces familles, que nous illustrons sous la forme de graphes de bifurcation. Comme les solutions du système de Hill peuvent servir d’orbites pour la conception de missions spatiales ou d’observations astronomiques, nos résultats favorisent l’interaction entre la géométrie symplectique et des problèmes appliqués. ABSTRACT The Hill three-body problem is a limiting case of the restricted three-body problem, which was first proposed by Hill in 1878. His motivation was to describe the motion of the Moon - the companion of the Earth - in the Sun–Earth–Moon system. The fundamental families of planar periodic orbits are those of direct (family g) and retrograde periodic orbits (family f ). Since the spatial system is invariant under a symplectic involution, whose fixed point set corresponds to the planar problem, planar orbits have planar and spatial Floquet multipliers, and planar and spatial Conley–Zehnder indices. In order to determine their indices we examine analytically the scenario about the bifurcation of the family g and f from the Kepler problem for very low energies. Moreover, the specification of the Floquet multipliers is given by the orbit’s invariance under a certain anti-symplectic involution, which leaves the system invariant as well. Why are all these constructions fantastic tools? Hill found numerically a planar direct periodic orbit with the period of one synodic month of our Moon, which is about 29.53 days. Being elliptic, we can therefore assign to it planar and spatial rotation angles. Together with the indices, they have deep astronomical significance, because on the one hand the anomalistic month of our Moon, which is about 27.55 days, corresponds to the planar rotation angle and planar Conley–Zehnder index. On the other hand the draconitic month of our Moon, which is about 27.21 days, corresponds to the spatial rotation angle and spatial Conley–Zehnder index. These lunar months date back to the Babylonians until around 500 BCE. For higher energies, we explore the interaction between the Conley–Zehnder index and bifurcation points of such invariant planar as well as spatial periodic orbits. When the Floquet multipliers move through a root of unity, new families of periodic orbits bifurcate and the index jumps by integers. By the numerical continuations of the family g and f , we determine the index of various families of planar and spatial periodic orbits bifurcating from g and f . Since these families can bifurcate again and meet each other, this procedure can get complicated. This index leads to a grading on local Floer homology. Since the local Floer homology and its Euler characteristic stay invariant under bifurcation, the index provides important information about the interconnectedness of such families, which we illustrate in form of bifurcation graphs. Since the solutions of Hill’s system may serve as orbits for space mission design or astronomical observations, our results promote the interaction between symplectic geometry and applied problems.
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    Complexity of positive contactomorphisms
    (2018)
    Dahinden, Lucas
    ;
    Schlenk, Félix 
    Dans cette thèse nous étudions des propriétés de croissance de volume de contactomorphismes positives en utilisant l'homologie de Rabinowitz-Floer. Nous montrons que la croissance positive de la dimension de l'homologie de Rabinowitz-Floer implique que tout contactomorphisme positive a d'entropie topologique positive. Nous trouvons deux cas où l'homologie de Rabinowitz-Floer a de croissance de dimension positive. La première est le fibré de cosphères d'unité de variétés qui sont énergiquement hyperboliques. Par exemple ce sont des variétés avec un groupe fondamental expenentiellement croissant, ou des espaces dont l'espace de lacets a d'homologie singulaire de dimension exponentiellement croissante. Les deuxièmes exemples sont des bords de domaines de Liouville tel que pour un certain Lagrangien l'homologie enroulée de Floer a de croissance dimensionnelle exponentielle. Alves et Meiwes ont récemment construit une grande classe d'espaces avec cette propriété qui inclut des sphères de contact exotiques de dimension plus grand ou égal à 7.
    Le théorème de Bott-Samelson classique dit que, si sur une variété Riemannienne il y a un point tel que chaque géodésique départante de ce point retourne, alors cette variété est homotopiquement équivalent au quotient d'une sphère, et si de plus le temps du premier retour est égal pour chaque géodésique, alors la variété est homotopiquement équivalente à une sphère ou ℝP2. Ce théorème était généralisé complètement pour des flots de Reeb sur le fibré de cosphères d'unité par Frauenfelder-Labrousse-Schlenk, et partiellement pour des isotopies Legendriens positivs. Nous montrons la généralisation complète du théorème pour des isotopies Legendriens positivs, ce qui place le théorème dans la topologie de contact. La preuve inclut la croissance lente de l'homologie Rabinowitz-Floer., In this thesis we study volume growth properties of positive contactomorphisms, using Rabinowitz-Floer homology. We prove that positive dimensional growth of Rabinowitz-Floer homology implies that every positive contactomorphism has positive topological entropy. We found two instances where Rabinowitz-Floer homology has positive dimensional growth. The first instances are unit cosphere bundles of energy hyperbolic manifolds. Examples are manifolds with exponentially growing fundamental group, or spaces such that the singular homology of the Loop space has exponential dimensional growth. The second instances are the boundaries of Liouville domains such that for a certain Lagrangian the wrapped Floer homology has exponential dimensional growth. Alves and Meiwes recently constructed a large class of spaces with this property, including exotic contact spheres of dimension greater or equal 7.
    The classical Bott--Samelson theorem states that, if on a Riemannian manifold there is a point such that every geodesic from that point returns, then this manifold must be homotopy equivalent to a quotient of a sphere, and if furthermore the first return time is equal for all geodesics, then the manifold must be homotopy equivalent to a sphere or ℝP2. This theorem was fully generalized to Reeb flows on the unit cotangent bundle by Frauenfelder-Labrousse--Schlenk, and partially to positive Legendrian isotopies. We prove a full generalization of the Bott-Samelson theorem to positive Legendrian isotopies, situating the theorem properly in contact topology. The proof revolves around the slow growth of Rabinowitz-Floer homology.
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    Action selectors without Floer-Homology
    (2018)
    Haug, Carsten
    ;
    Schlenk, Félix 
    Les systèmes hamiltoniens sur des variétés symplectiques ont d'habitude beaucoup d'orbites périodiques. Les actions des orbites forment un invariant du système hamiltonien. Cependant, l'ensemble des actions peut être très grand. Pour obtenir des invariants utiles, on ne sélectionne pour chaque fonction hamiltonienne qu'une valeur d'action en utilisant une procédure de minimax : on appelle sélecteur d'action la fonction qui associe à chaque difféomorphisme hamiltonien à support compact une seule valeur d'action d'une orbite de période 1, de manière continue et non triviale. L'existence d'un sélecteur d'action a déjà beaucoup d'applications en mécanique hamiltonienne, en topologie symplectique et géométrie. Elle permet de construire une capacité symplectique et implique alors le théorème de non-tassement de Gromov. De plus, l'existence d'un sélecteur d'action implique la quasi-existence de caractéristiques fermées sur des hypersurfaces déplaçables de type contact, implique souvent que le diamètre du groupe des difféomorphismes hamiltoniens muni de la métrique de Hofer est infini, etc.
    Des sélecteurs d'action ont été construits d'abord pour l'espace vectoriel symplectique standard (ℝ2n, ω) par Viterbo et Hofer-Zehnder. Pour des variétés symplectiques (M,ω) plus générales, la construction d'un sélecteur d'action a jusqu'à présent toujours nécessité l'homologie de Floer : pour des variétés symplectiques asphériques (c.à.d. les variétés symplectiques pour lesquelles l'intégrale de la forme symplectique sur les sphères s'annule), Schwarz a construit le sélecteur de Floer dans le cas où M est compacte et sans bord. Cette construction a été généralisée aux variétés symplectiques convexes par Frauenfelder-Schlenk. Pour quelques autres classes de variétés symplectiques et fonctions hamiltoniennes, le sélecteur de Floer a été construit par Lanzat, Oh et Usher.
    Dans cette thèse on donne une construction plus élémentaire d'un sélecteur d'action pour des variétés symplectiques asphériques compactes et sans bord, et pour des variétés symplectiques asphériques convexes. Notre construction utilise seulement la compacité de Gromov et des résultats du chapitre 6 du livre écrit par Hofer et Zehnder, basé sur la théorie de Fredholm rudimentaire. On n'utilise aucun des outils plus avancés qui sont utilisés dans la construction de l'homologie de Floer. Ainsi, les trois propriétés de base d'un sélecteur d'action (spectralité, continuité et non-trivialité) sont démontrables d'une manière plus simple, car le seul outil disponible est la compacité de certains espaces de cylindres holomorphes. En utilisant ces trois propriétés de base, on déduit alors plusieurs autres propriétés de manière élémentaire., Hamiltonian systems on symplectic manifolds tend to have many periodic orbits. The “actions” of these orbits form an invariant for the Hamiltonian system. The set of actions can be very large, however. To get useful invariants, one selects for each Hamiltonian function just one action value by some minimax procedure: A so-called action selector associates with every compactly supported Hamiltonian diffeomorphism of a symplectic manifold the action of a 1-periodic orbit, in a continuous and nontrivial way. The mere existence of an action selector has many applications to Hamiltonian dynamics, symplectic geometry and topology: It readily yields a symplectic capacity and thus implies Gromov's nonsqueezing theorem, implies the almost existence of closed characteristics on displaceable hypersurfaces and in particular the Weinstein conjecture for displaceable energy surfaces of contact type, often shows that the diameter of the Hamiltonian diffeomorphism group with Hofer's metric is infinite, etc.
    Action selectors were first constructed for the standard symplectic vector space (ℝ2n, ω0) by Viterbo and Hofer-Zehnder. For more general symplectic manifolds (M,ω), action selectors were obtained, up until now, only by means of Floer homology: For symplectically aspherical symplectic manifolds (namely those for which the integral of the symplectic form over spheres vanishes) Schwarz constructed the Floer selector when M is closed, and his construction was adapted to convex symplectic manifolds by Frauenfelder{Schlenk. For some further classes of symplectic manifolds and Hamiltonian functions, the Floer selector was constructed by Lanzat, Oh and Usher.
    In this thesis we give a more elementary construction of an action selector for closed or convex symplectically aspherical manifolds. Our construction uses only Gromov compactness and results from Chapter 6 of the text book by Hofer and Zehnder, that also rely on rudimentary Fredholm theory, but none of the more advanced tools in the construction of Floer homology. In this way, the three basic properties of an action selector (spectrality, continuity, and non-triviality) are readily established and their proofs are rather straightforward, since the only tool at our hands is the compactness property of certain spaces of holomorphic cylinders. From these three basic properties of the selector many further properties then follow in an elementary way.
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    Symplectic embeddings in dimension 4
    (2014)
    Frenkel, David
    ;
    Schlenk, Félix 
    La géométrie symplectique est la géométrie sous-jacente à la dynamique hamiltonienne. Depuis la démonstration du théorème de non-tassement de Gromov en 1985, les plongements symplectiques se trouvent au coeur de la géométrie symplectique. Cette thèse étudie certains problèmes de plonge- ments symplectiques en dimension 4. Nous commençons par résoudre com- plètement le problème des plongements d’ellipsoïdes dans des cubes. Ce résultat est un raffinement du théorème de Gromov, McDuff-Polterovich et Biran sur les plongements d’une union disjointe de boules égales dans un cube. Dans la deuxième partie de la thèse, nous construisons des plonge- ments explicites d’une union disjointe de boules dans certaines unions (non- disjointes) d’ellipsoïdes et de cylindres. Il découle des capacités ECH de Hutchings que ces plongements sont optimaux., Symplectic geometry is the underlying geometry of Hamiltonian dynamics. Since the proof of Gromov’s non-squeezing theorem in 1985, symplectic embeddings have been at the heart of symplectic geometry. This thesis studies some symplectic embedding problems in dimension 4. We start by completely solving the problem of embedding an ellipsoid into a cube. This result is a refinement of the theorem proved by Gromov, McDuff- Polterovich and Biran about embeddings of a disjoint union of equal balls into a cube. In the second part of the thesis, we construct explicit embed- dings of a disjoint union of balls into certain (non-disjoint) unions of an ellipsoid and a cylinder. It follows from Hutchings’ ECH capacities that these embeddings are optimal.
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    Counting Reeb Chords on spherizations
    (2014)
    Wullschleger, Raphael Elias
    ;
    Schlenk, Félix 
    In classical physics, one is interested in finding solutions of the Newtonian equations of motion. If there is a certain number of bodies which attract each others and if one assumes an initial configuration of these masses, then one would like to understand the time evolution of this system according to Newton’s equations, i.e. the change of position and momentum of all these bodies as functions of time. But already in the case of three bodies – say, the moon, the sun and the earth – one knows only very little and this question remains essentially unanswered.
    Rewriting the Newtonian equations of motion in an equivalent way leads to Hamilton’s equations. Solutions of Hamilton’s equations are paths – in physical terms – in phase space, whereas in mathematical terms one calls this space the cotangent bundle. So classical physical evolution takes mathematically place in cotangent bundles.
    Symplectic geometry is a new and prominent subject within differential geometry, one of the few basic branches of mathematics. The cotangent bundle is probably the most famous representative of a so-called symplectic manifold. It holds true that the old physical questions got via the steps explained above a new and strong geometrical interpretation.
    Floer homology is a powerful tool to study solutions of Hamilton’s equations. It gives the possibility to use topological information about the cotangent bundle to obtain qualitative and quantitative results on solutions of Hamilton’s equations.
    The energy is a property of a physical system which remains constant during evolution of time. Therefore, it is natural to look for solutions of Hamiltonian systems on surfaces as certain subsets – called energy hyper-surfaces – of cotangent bundles which are characterized by the fact that the energy function takes for all points of these surfaces the same value. Roughly speaking, solutions of Hamilton’s equations along energy hypersurfaces are called Reeb chords. The spectrum of such an energy hypersurface is simply the set of all times needed to move along the paths which are solutions of Hamilton’s equations. So it is the set of times required to walk along the Reeb chords of a given energy hypersurface. In particular, the counting function associated to an energy hypersurface is studied. This function calculates the number of solutions whose times are shorter than a given value.
    In this thesis, steps are taken towards an understanding of the time spectrum of fiberwise starshaped hypersurfaces in cotangent bundles. The base manifold is throughout assumed to be a closed connected Riemannian manifold. It is shown that under the additional assumption of exponential-resp. polynomial growth of the fundamental group of the base manifold, the counting function grows at least exponentially resp. at least polynomially in time. Generally, for every fiberwise starshaped hypersurface over a closed connected Riemannian manifold, the associated counting function grows at least linearly in time. These are asymptotic results. Afterwards the question of understanding fast Reeb chords is considered. An estimate for the time of the fastest resp. of the second fastest Reeb chord is given. More specifically, this question is addressed by choosing special base manifolds, or configuration spaces, such as Lie groups or generally (Riemannian) symmetric spaces. Estimates for the times of the kfastest Reeb chords are deduced. These estimates depend on the geometry of the base manifold only. Another attempt is of group theoretic nature. If the fundamental group of the base manifold is of order k, then there are at least k Reeb chords satisfying an upper time bound k times the diameter of the (compact) base manifold. Finally, some results concerning the stability of the time of the fastest Reeb chord are presented.
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    The Gromov width of 4-dimensional tori
    (2013)
    Latschev, Janko
    ;
    McDuff, Dusa
    ;
    Schlenk, Félix 
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    Symplectic embeddings of 4-dimensional ellipsoids into polydiscs
    (2012)
    Stylianou, Dorothee Cosima
    ;
    Schlenk, Félix 
    Recently, McDuff and Schlenk determined in [19] the function $c_{EB}(a)$, whose value at $a$ is the infimum of the size of a $4$-ball, into which the ellipsoid $E(1,a)$ symplectically embeds (here, $a > 1$ is the ratio of the area of the large axis to that of the smaller axis of the ellipsoid). This work is focused on the study of embeddings of $4$-dimensional ellipsoids $E(1,a)$ into four-dimensional polydiscs $P(\mu,\mu) = D^2(\mu) \times D^2(\mu)$, where $D^2(\mu)$ denotes the disc in $\mathbb{R}^2$ of area $\mu$, for $a\in [1,\sigma^2]$, where $\sigma^{2}=3+2\sqrt{2}\approx5.83$ is the square of the silver ratio $\sigma:=1+\sqrt{2}$. The embedding capacity function given by $c_{EC}(a):=\inf\left\{\mu \ \big\vert \ E(1,a) \ \rightarrow \ P(\mu,\mu)\right\}$ is defined for $a\in [1,\infty)$. As in the case of embeddings into balls, the structure of the graph of $c_{EC}(a)$ is very rich: since symplectic embeddings are volume preserving, we always have $c_{EC}(a) \geq \sqrt{\frac{a}{2}}$ and it is not hard to see that this lower bound is sharp for $a\ge 8$, that is the function $c_{EC}(a)$ is equal to the volume constraint given by $\sqrt{\frac{a}{2}}$ for $a\geq 8$. For $a$ less than the square of the silver ratio $\sigma:= 1 + \sqrt{2}$, the function $c_{EC}(a)$ turns out to be piecewise linear, having the form of a stair with an infinite number of steps, converging to $\sqrt{\frac{\sigma^2}{2}}$ for $a \rightarrow \sigma^2$. These ``stairs'' will be determined by the Pell numbers and we thus refer to them as the ``Pell stairs''. For the proof, we first translate the embedding problem $E(1, a) \rightarrow P(\mu,\mu)$ to a certain ball packing problem of the ball $B(2\mu)$. This embedding problem is then solved by adapting the method from McDuff and Schlenk in [19], which finds all exceptional spheres in blow-ups of the complex projective plane that provide an embedding obstruction. Furthermore we also prove the equivalence of symplectic embeddings of an ellipsoid into a polydisc and the embedding of its decomposition into disjoint balls into a ball, that is $E(a,b)\rightarrow P(c,d) \Leftrightarrow B(a,b)\sqcup B(c)\sqcup B(d)\rightarrow B(c+d)$.
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    Displaceability and the mean Euler characteristic
    (2012)
    Frauenfelder, Urs
    ;
    Schlenk, Félix 
    ;
    van Koert, Otto
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    Accès libre
    The Weinstein conjecture with multiplicities on spherizations
    (2011)
    Heistercamp, Muriel
    ;
    Schlenk, Félix 
    ;
    Bourgeois, F.
    ;
    Valette, Alain 
    ;
    Gutt, S.
    ;
    Abbondandolo, A.
    ;
    Bertelson, M.
    Let M be a smooth closed manifold and T∗M its cotangent bundle endowed with the usual symplectic structure ω = dλ, where λ is the Liouville form. A hypersurface Σ ⊂ T∗M is said to be fiberwise starshaped if for each point q ∈ M the intersection Σ q := Σ∩T∗qM of Σ with the fiber at q is the smooth boundary of a domain in T∗M which is starshaped with respect to the origin 0q ∈ T∗qM.

    In this thesis we give lower bounds on the growth rate of the number of closed Reeb orbits on a fiberwise starshaped hypersurface in terms of the topology of the free loop space of M. We distinguish the two cases that the fundamental group of the base space M has an exponential growth of conjugacy classes or not. If the base space M is simply connected we generalize the theorem of Ballmann and Ziller on the growth of closed geodesics to Reeb flows.