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Aydin, Cengiz
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Aydin, Cengiz
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- PublicationAccès libreA study of the Hill three-body problem by modern symplectic geometry.(2023)
; ; Freuenfelder, UrsLe problème à trois corps de Hill est un cas limite du problème à trois corps restreint qui a été proposé pour la première fois par Hill en 1878. Sa motivation était de décrire le mouvement de la Lune - le compagnon de la Terre - dans le système Soleil-Terre-Lune. Les familles fondamentales d’orbites périodiques planaires sont celles des orbites périodiques directes (famille g) et rétrogrades (famille f ). Puisque le système spatial est invariant sous une involution symplectique, dont l’ensemble des points fixes correspond au problème planaire, les orbites planaires ont des multiplicateurs de Floquet planaires et spatiaux, et des indices de Conley–Zehnder planaires et spatiaux. Afin de déterminer leurs indices, nous examinons analytiquement le scénario de bifurcation de la famille g et f du problème de Kepler pour les très basses énergies. De plus, la spécification des multiplicateurs de Floquet est donnée par l’invariance de l’orbite sous une certaine involution anti-symplectique qui laisse le système invariant également. Pourquoi toutes ces constructions sont-elles des outils fantastiques? Hill a trouvé numériquement une orbite périodique directe planaire ayant la période d’un mois synodique de notre Lune, soit environ 29,53 jours. Comme elle est elliptique, nous pouvons lui attribuer des angles de rotation planaires et spatiaux. Avec les indices, ils ont une profonde signification astronomique, car d’une part le mois anormal de notre Lune, qui est d’environ 27,55 jours, correspond à l’angle de rotation planaire et à l’indice planaire de Conley– Zehnder. D’autre part, le mois draconitique de notre Lune, qui est d’environ 27,21 jours, correspond à l’angle de rotation spatial et à l’indice spatial de Conley–Zehnder. Ces mois lunaires remontent aux Babyloniens jusqu’à environ 500 ans avant notre ère. Pour des énergies plus élevées, nous explorons l’interaction entre l’indice de Conley–Zehnder et les points de bifurcation de ces orbites invariantes planaires et spatiales périodiques. Lorsque les multiplicateurs de Floquet passent par une racine de l’unité, de nouvelles familles d’orbites périodiques bifurquent et l’indice passe change par un entier. Par des extensions numériques de la famille g et f , nous déterminons l’indice de diverses familles d’orbites périodiques planaires et spatiales bifurquant à partir de g et f . Comme ces familles peuvent bifurquer à nouveau et se rencontrer, cette procédure peut s’avérer compliquée. Cet indice conduit à une gradation de l’homologie locale de Floer. Comme l’homologie locale de Floer et sa caractéristique d’Euler restent invariantes en cas de bifurcation, l’indice fournit des informations importantes sur l’interconnexion de ces familles, que nous illustrons sous la forme de graphes de bifurcation. Comme les solutions du système de Hill peuvent servir d’orbites pour la conception de missions spatiales ou d’observations astronomiques, nos résultats favorisent l’interaction entre la géométrie symplectique et des problèmes appliqués. ABSTRACT The Hill three-body problem is a limiting case of the restricted three-body problem, which was first proposed by Hill in 1878. His motivation was to describe the motion of the Moon - the companion of the Earth - in the Sun–Earth–Moon system. The fundamental families of planar periodic orbits are those of direct (family g) and retrograde periodic orbits (family f ). Since the spatial system is invariant under a symplectic involution, whose fixed point set corresponds to the planar problem, planar orbits have planar and spatial Floquet multipliers, and planar and spatial Conley–Zehnder indices. In order to determine their indices we examine analytically the scenario about the bifurcation of the family g and f from the Kepler problem for very low energies. Moreover, the specification of the Floquet multipliers is given by the orbit’s invariance under a certain anti-symplectic involution, which leaves the system invariant as well. Why are all these constructions fantastic tools? Hill found numerically a planar direct periodic orbit with the period of one synodic month of our Moon, which is about 29.53 days. Being elliptic, we can therefore assign to it planar and spatial rotation angles. Together with the indices, they have deep astronomical significance, because on the one hand the anomalistic month of our Moon, which is about 27.55 days, corresponds to the planar rotation angle and planar Conley–Zehnder index. On the other hand the draconitic month of our Moon, which is about 27.21 days, corresponds to the spatial rotation angle and spatial Conley–Zehnder index. These lunar months date back to the Babylonians until around 500 BCE. For higher energies, we explore the interaction between the Conley–Zehnder index and bifurcation points of such invariant planar as well as spatial periodic orbits. When the Floquet multipliers move through a root of unity, new families of periodic orbits bifurcate and the index jumps by integers. By the numerical continuations of the family g and f , we determine the index of various families of planar and spatial periodic orbits bifurcating from g and f . Since these families can bifurcate again and meet each other, this procedure can get complicated. This index leads to a grading on local Floer homology. Since the local Floer homology and its Euler characteristic stay invariant under bifurcation, the index provides important information about the interconnectedness of such families, which we illustrate in form of bifurcation graphs. Since the solutions of Hill’s system may serve as orbits for space mission design or astronomical observations, our results promote the interaction between symplectic geometry and applied problems.