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On computational aspects of hyperbolic reflection groups and two homology theories for graphs
Editeur(s)
Date de parution
2021
Nombre de page
90
Mots-clés
Résumé
Ceci est une thèse pot-pourri. On commence par étudier trois types d’homologies sur graphes et espaces métriques.
• Premièrement, l’homologie de magnitude, une catégorification de la notion de magnitude due à Leinster, qui mesure certains phénomènes vaguement liés aux géodésiques. Après avoir introduit la notion d’homologie de magnitude sur les graphes, Hepworth et Willerton ont prouvé des versions de la formule de Künneth pour les produits, et de la séquence de Mayer-Vietoris pour certaines décompositions. Ils ont aussi introduit le concept de diagonalité, qui se résume en la nullité d’une majorité des groupes d’homologie. Nous vérifions que la formule de Künneth, la séquence de Mayer-Vietoris et le concept de diagonalité restent valides dans le contexte métrique, une fois correctement rephrasés. Nous prouvons aussi que les graphes et espaces métriques médians sont diagonaux.
• Deuxièmement, l’homologie de Roe, qui est une homologie grossière sur les graphes localement finis. Nous étudions son premier groupe d’homologie, décomposable en une somme directe dont un côté mesure les bouts du graphe et l’autre une certaine forme grossière de «structure de circuits».
• Troisièmement, l’homologie uniformément finie, obtenue en raffinant l’homologie de Roe, est définie pour les graphes uniformément localement finis. Une partie des résultats obtenus pour l’homologie de Roe peuvent être adaptés à l’homologie uniformément finie: les bouts et une forme grossière de «structure de circuits» apparaissent à nouveau, mais de manière moins satisfaisante. Nous définissons une certaine forme d’expansion sur les complexes simpliciaux; celle-ci généralisant la notion usuelle d’expansion. Après quelques adaptations, nous prouvons une caractérisation de la nullité du premier groupe d’homologie uniformément finie (à coefficients dans ℤ) pour les graphes transitifs en termes de bouts, «structure grossière de cicruits», et expansion. La deuxième partie consiste en quelques commentaires sur l’implémentation de l’algorithme dit de Vinberg, qui est utilisé pour trouver un polyhèdre fondamental de volume fini (s’il existe) pour le groupe de réflexions de certains réseaux Lorentziens. Cet algorithme a déjà été utilisé manuellement avec succès, et implémenté sur ordinateur. L’implémentation la plus connue
est probablement celle de Guglielmetti; citons aussi celle de Bogachev et Perepechko. L’intérêt de l’implémentation présentée ici (écrite en Julia) est qu’elle est la première (à ce que je sache) à être (théoriquement) capable de traiter des réseaux non diagonaux à coefficients non rationels; chose principalement rendue possible par l’écosystème de bibliothèques mathématiques disponible pour le langage Julia.
ABSTRACT
This thesis consists of two largely independent parts. In the first part, we study three kinds of homologies of metric spaces and graphs.
• The first, magnitude homology, is a categorification of Leinster’s magnitude and measures phenomena broadly related to geodesics in the space. After introducing magnitude homology of graphs as a categorification of magnitude, Hepworth and Willerton proved versions of the Künneth formula for products and of the Mayer-Vietoris sequence for certain decompositions. They also introduced the concept of diagonality, stating that magnitude homology vanishes for the most part. We verify that the Künneth formula, Mayer-Vietoris sequence and concept of diagonality all hold in the metric context, when appropriately restated. We also show that median graphs (and metric spaces) are diagonal.
• The second, dubbed Roe homology, is a coarse homology theory of locally finite graphs. We study the first homology group, providing a decomposition as a direct sum: the first part measuring the ends of the graph, the second measuring a kind of “coarse cycle structure”.
• The third, uniformly finite homology, is a refinement of sorts of Roe homology, defined for uniformly locally finite graphs (graphs with a bound on the degrees of their vertices). We restate some of the previously obtained results on Roe homology in the context of uniformly finite homology. In short, the ends and “coarse cycle structure” also play a part, although in a less satisfying manner. We also define a notion of higher dimensional expansion of implicial complexes (generalizing usual expansion), and after some tweaks, provide a characterization of the vanishing of the first homology group (with coefficients in ℤ) for transitive graphs in terms of ends, “coarse cycle structure” and
expansion. The second part consists of some comments on the implementation of the so-called Vinberg algorithm, which can be used to find a finite-volume fundamental polyhedron for the reflection groups of certain Lorentzian lattices (if such a polyhedron exists). This algorithm has been successfully used in manual computations, and also implemented on computers. Perhaps the best known implementation is that of Guglielmetti; also of note is that of Bogachev and Perepechko. The implementation presented here (written in the Julia programming language) can claim novelty in that it is the first (to my knowledge) able to treat non diagonal lattices over number fields other than ℚ; this is made possible by the rich ecosystem of mathematical packages available for Julia.
• Premièrement, l’homologie de magnitude, une catégorification de la notion de magnitude due à Leinster, qui mesure certains phénomènes vaguement liés aux géodésiques. Après avoir introduit la notion d’homologie de magnitude sur les graphes, Hepworth et Willerton ont prouvé des versions de la formule de Künneth pour les produits, et de la séquence de Mayer-Vietoris pour certaines décompositions. Ils ont aussi introduit le concept de diagonalité, qui se résume en la nullité d’une majorité des groupes d’homologie. Nous vérifions que la formule de Künneth, la séquence de Mayer-Vietoris et le concept de diagonalité restent valides dans le contexte métrique, une fois correctement rephrasés. Nous prouvons aussi que les graphes et espaces métriques médians sont diagonaux.
• Deuxièmement, l’homologie de Roe, qui est une homologie grossière sur les graphes localement finis. Nous étudions son premier groupe d’homologie, décomposable en une somme directe dont un côté mesure les bouts du graphe et l’autre une certaine forme grossière de «structure de circuits».
• Troisièmement, l’homologie uniformément finie, obtenue en raffinant l’homologie de Roe, est définie pour les graphes uniformément localement finis. Une partie des résultats obtenus pour l’homologie de Roe peuvent être adaptés à l’homologie uniformément finie: les bouts et une forme grossière de «structure de circuits» apparaissent à nouveau, mais de manière moins satisfaisante. Nous définissons une certaine forme d’expansion sur les complexes simpliciaux; celle-ci généralisant la notion usuelle d’expansion. Après quelques adaptations, nous prouvons une caractérisation de la nullité du premier groupe d’homologie uniformément finie (à coefficients dans ℤ) pour les graphes transitifs en termes de bouts, «structure grossière de cicruits», et expansion. La deuxième partie consiste en quelques commentaires sur l’implémentation de l’algorithme dit de Vinberg, qui est utilisé pour trouver un polyhèdre fondamental de volume fini (s’il existe) pour le groupe de réflexions de certains réseaux Lorentziens. Cet algorithme a déjà été utilisé manuellement avec succès, et implémenté sur ordinateur. L’implémentation la plus connue
est probablement celle de Guglielmetti; citons aussi celle de Bogachev et Perepechko. L’intérêt de l’implémentation présentée ici (écrite en Julia) est qu’elle est la première (à ce que je sache) à être (théoriquement) capable de traiter des réseaux non diagonaux à coefficients non rationels; chose principalement rendue possible par l’écosystème de bibliothèques mathématiques disponible pour le langage Julia.
ABSTRACT
This thesis consists of two largely independent parts. In the first part, we study three kinds of homologies of metric spaces and graphs.
• The first, magnitude homology, is a categorification of Leinster’s magnitude and measures phenomena broadly related to geodesics in the space. After introducing magnitude homology of graphs as a categorification of magnitude, Hepworth and Willerton proved versions of the Künneth formula for products and of the Mayer-Vietoris sequence for certain decompositions. They also introduced the concept of diagonality, stating that magnitude homology vanishes for the most part. We verify that the Künneth formula, Mayer-Vietoris sequence and concept of diagonality all hold in the metric context, when appropriately restated. We also show that median graphs (and metric spaces) are diagonal.
• The second, dubbed Roe homology, is a coarse homology theory of locally finite graphs. We study the first homology group, providing a decomposition as a direct sum: the first part measuring the ends of the graph, the second measuring a kind of “coarse cycle structure”.
• The third, uniformly finite homology, is a refinement of sorts of Roe homology, defined for uniformly locally finite graphs (graphs with a bound on the degrees of their vertices). We restate some of the previously obtained results on Roe homology in the context of uniformly finite homology. In short, the ends and “coarse cycle structure” also play a part, although in a less satisfying manner. We also define a notion of higher dimensional expansion of implicial complexes (generalizing usual expansion), and after some tweaks, provide a characterization of the vanishing of the first homology group (with coefficients in ℤ) for transitive graphs in terms of ends, “coarse cycle structure” and
expansion. The second part consists of some comments on the implementation of the so-called Vinberg algorithm, which can be used to find a finite-volume fundamental polyhedron for the reflection groups of certain Lorentzian lattices (if such a polyhedron exists). This algorithm has been successfully used in manual computations, and also implemented on computers. Perhaps the best known implementation is that of Guglielmetti; also of note is that of Bogachev and Perepechko. The implementation presented here (written in the Julia programming language) can claim novelty in that it is the first (to my knowledge) able to treat non diagonal lattices over number fields other than ℚ; this is made possible by the rich ecosystem of mathematical packages available for Julia.
Notes
Acceptée sur proposition du jury :
Prof. Aleksandr Kolpakov, Université de Neuchâtel, directeur de thèse
Prof. Alain Valette, Université de Neuchâtel, rapporteur
Prof. Alex Kontorovich, Rutgers University, USA, rapporteur
Prof. Nicolas Monod, EPF Lausanne, rapporteur
Soutenue le 29 septembre 2021
No de thèse : 2923
Prof. Aleksandr Kolpakov, Université de Neuchâtel, directeur de thèse
Prof. Alain Valette, Université de Neuchâtel, rapporteur
Prof. Alex Kontorovich, Rutgers University, USA, rapporteur
Prof. Nicolas Monod, EPF Lausanne, rapporteur
Soutenue le 29 septembre 2021
No de thèse : 2923
Identifiants
Type de publication
doctoral thesis
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