Schlenk, Félix

2018, Dahinden, Lucas, Schlenk, Félix

Dans cette thèse nous étudions des propriétés de croissance de volume de contactomorphismes positives en utilisant l'homologie de Rabinowitz-Floer. Nous montrons que la croissance positive de la dimension de l'homologie de Rabinowitz-Floer implique que tout contactomorphisme positive a d'entropie topologique positive. Nous trouvons deux cas où l'homologie de Rabinowitz-Floer a de croissance de dimension positive. La première est le fibré de cosphères d'unité de variétés qui sont énergiquement hyperboliques. Par exemple ce sont des variétés avec un groupe fondamental expenentiellement croissant, ou des espaces dont l'espace de lacets a d'homologie singulaire de dimension exponentiellement croissante. Les deuxièmes exemples sont des bords de domaines de Liouville tel que pour un certain Lagrangien l'homologie enroulée de Floer a de croissance dimensionnelle exponentielle. Alves et Meiwes ont récemment construit une grande classe d'espaces avec cette propriété qui inclut des sphères de contact exotiques de dimension plus grand ou égal à 7.
Le théorème de Bott-Samelson classique dit que, si sur une variété Riemannienne il y a un point tel que chaque géodésique départante de ce point retourne, alors cette variété est homotopiquement équivalent au quotient d'une sphère, et si de plus le temps du premier retour est égal pour chaque géodésique, alors la variété est homotopiquement équivalente à une sphère ou ℝP². Ce théorème était généralisé complètement pour des flots de Reeb sur le fibré de cosphères d'unité par Frauenfelder-Labrousse-Schlenk, et partiellement pour des isotopies Legendriens positivs. Nous montrons la généralisation complète du théorème pour des isotopies Legendriens positivs, ce qui place le théorème dans la topologie de contact. La preuve inclut la croissance lente de l'homologie Rabinowitz-Floer., In this thesis we study volume growth properties of positive contactomorphisms, using Rabinowitz-Floer homology. We prove that positive dimensional growth of Rabinowitz-Floer homology implies that every positive contactomorphism has positive topological entropy. We found two instances where Rabinowitz-Floer homology has positive dimensional growth. The first instances are unit cosphere bundles of energy hyperbolic manifolds. Examples are manifolds with exponentially growing fundamental group, or spaces such that the singular homology of the Loop space has exponential dimensional growth. The second instances are the boundaries of Liouville domains such that for a certain Lagrangian the wrapped Floer homology has exponential dimensional growth. Alves and Meiwes recently constructed a large class of spaces with this property, including exotic contact spheres of dimension greater or equal 7.
The classical Bott--Samelson theorem states that, if on a Riemannian manifold there is a point such that every geodesic from that point returns, then this manifold must be homotopy equivalent to a quotient of a sphere, and if furthermore the first return time is equal for all geodesics, then the manifold must be homotopy equivalent to a sphere or ℝP². This theorem was fully generalized to Reeb flows on the unit cotangent bundle by Frauenfelder-Labrousse--Schlenk, and partially to positive Legendrian isotopies. We prove a full generalization of the Bott-Samelson theorem to positive Legendrian isotopies, situating the theorem properly in contact topology. The proof revolves around the slow growth of Rabinowitz-Floer homology.

2011, Heistercamp, Muriel, Schlenk, Félix, Bourgeois, F., Valette, Alain, Gutt, S., Abbondandolo, A., Bertelson, M.

Let M be a smooth closed manifold and T∗M its cotangent bundle endowed with the usual symplectic structure ω = dλ, where λ is the Liouville form. A hypersurface Σ ⊂ T∗M is said to be fiberwise starshaped if for each point q ∈ M the intersection Σ _q := Σ∩T∗_qM of Σ with the fiber at q is the smooth boundary of a domain in T∗M which is starshaped with respect to the origin 0_q ∈ T∗_qM.

In this thesis we give lower bounds on the growth rate of the number of closed Reeb orbits on a fiberwise starshaped hypersurface in terms of the topology of the free loop space of M. We distinguish the two cases that the fundamental group of the base space M has an exponential growth of conjugacy classes or not. If the base space M is simply connected we generalize the theorem of Ballmann and Ziller on the growth of closed geodesics to Reeb flows.