Zumbrunnen, Alexandre

2022, Zumbrunnen, Alexandre

Ce travail s'organise en deux parties. La première s'intéresse à caractériser la propriété de Haagerup pour les groupes localement compacts, dénombrables à l'infini en termes d'actions sur des espaces mesurés σ-finis, avec quelques exemples et un analogue dans la cadre non-commutatif. Dans la seconde, on investigue la conjecture de Baum-Connes sur quelques exemples concrets. Plus précisément, étant donné un produit semi-direct de ℤ² par F₂, où F₂ désigne un sous-groupe libre de rang 2 dans SL₂(ℤ), on étudie d'une part la K-théorie de sa C*-algèbre associée et d'autre part la K-homologie géométrique de son espace classifiant. Ainsi, l'étude de ces groupes, nous donne dans certains cas des générateurs explicites. De cette description naturelle des K-groupes, on essaie de les identifier par le morphisme d'assemblage. En d'autres termes, on redémontre de manière explicite la conjecture de Baum-Connes pour certains de ces groupes.
Abstract This thesis is organized in two parts. The aim of the first one is to provide a characterization of the Haagerup property for locally compact second countable groups in terms of actions on σ-finite measure spaces, with some examples and a noncommutative analogue. In the second one, we investigate the Baum-Connes assembly map through concrete examples. More precisely, given a semidirect product of ℤ² by F₂, where F₂ denotes a free subgroup of rank 2 in SL₂(ℤ), we study on the one hand the K-theory of its associated C*-algebra, and on the other hand the geometric K-homology of its classifying space. Thus, the study of these groups, gives us in some cases explicit generators. From this natural description of K-groups, we try to identify them via the assembly map. In doing so, we reprove the Baum-Connes conjecture for some of these groups.