A study of the Hill three-body problem by modern symplectic geometry.
Author(s)
Editor(s)
Freuenfelder, Urs
Date issued
2023
Number of pages
98
Subjects
problème à trois corps problème lunaire de Hill géométrie symplectique périodes lunaires babyloniennes bifurcation indice de Conley–Zehnder symétrie three-body problem Hill’s lunar problem symplectic geometry Babylonian lunar periods Conley–Zehnder index symmetry
Abstract
Le problème à trois corps de Hill est un cas limite du problème à trois corps restreint qui a été
proposé pour la première fois par Hill en 1878. Sa motivation était de décrire le mouvement de
la Lune - le compagnon de la Terre - dans le système Soleil-Terre-Lune.
Les familles fondamentales d’orbites périodiques planaires sont celles des orbites périodiques
directes (famille g) et rétrogrades (famille f ). Puisque le système spatial est invariant sous une
involution symplectique, dont l’ensemble des points fixes correspond au problème planaire,
les orbites planaires ont des multiplicateurs de Floquet planaires et spatiaux, et des indices
de Conley–Zehnder planaires et spatiaux. Afin de déterminer leurs indices, nous examinons
analytiquement le scénario de bifurcation de la famille g et f du problème de Kepler pour les
très basses énergies. De plus, la spécification des multiplicateurs de Floquet est donnée par
l’invariance de l’orbite sous une certaine involution anti-symplectique qui laisse le système
invariant également. Pourquoi toutes ces constructions sont-elles des outils fantastiques?
Hill a trouvé numériquement une orbite périodique directe planaire ayant la période d’un
mois synodique de notre Lune, soit environ 29,53 jours. Comme elle est elliptique, nous pouvons
lui attribuer des angles de rotation planaires et spatiaux. Avec les indices, ils ont une
profonde signification astronomique, car d’une part le mois anormal de notre Lune, qui est
d’environ 27,55 jours, correspond à l’angle de rotation planaire et à l’indice planaire de Conley–
Zehnder. D’autre part, le mois draconitique de notre Lune, qui est d’environ 27,21 jours, correspond
à l’angle de rotation spatial et à l’indice spatial de Conley–Zehnder. Ces mois lunaires
remontent aux Babyloniens jusqu’à environ 500 ans avant notre ère.
Pour des énergies plus élevées, nous explorons l’interaction entre l’indice de Conley–Zehnder
et les points de bifurcation de ces orbites invariantes planaires et spatiales périodiques. Lorsque
les multiplicateurs de Floquet passent par une racine de l’unité, de nouvelles familles d’orbites
périodiques bifurquent et l’indice passe change par un entier. Par des extensions numériques de
la famille g et f , nous déterminons l’indice de diverses familles d’orbites périodiques planaires
et spatiales bifurquant à partir de g et f . Comme ces familles peuvent bifurquer à nouveau
et se rencontrer, cette procédure peut s’avérer compliquée. Cet indice conduit à une gradation
de l’homologie locale de Floer. Comme l’homologie locale de Floer et sa caractéristique
d’Euler restent invariantes en cas de bifurcation, l’indice fournit des informations importantes
sur l’interconnexion de ces familles, que nous illustrons sous la forme de graphes de bifurcation.
Comme les solutions du système de Hill peuvent servir d’orbites pour la conception de missions
spatiales ou d’observations astronomiques, nos résultats favorisent l’interaction entre la
géométrie symplectique et des problèmes appliqués.
ABSTRACT
The Hill three-body problem is a limiting case of the restricted three-body problem, which was
first proposed by Hill in 1878. His motivation was to describe the motion of the Moon - the
companion of the Earth - in the Sun–Earth–Moon system.
The fundamental families of planar periodic orbits are those of direct (family g) and retrograde
periodic orbits (family f ). Since the spatial system is invariant under a symplectic involution,
whose fixed point set corresponds to the planar problem, planar orbits have planar and
spatial Floquet multipliers, and planar and spatial Conley–Zehnder indices. In order to determine
their indices we examine analytically the scenario about the bifurcation of the family g
and f from the Kepler problem for very low energies. Moreover, the specification of the Floquet
multipliers is given by the orbit’s invariance under a certain anti-symplectic involution, which
leaves the system invariant as well. Why are all these constructions fantastic tools?
Hill found numerically a planar direct periodic orbit with the period of one synodic month
of our Moon, which is about 29.53 days. Being elliptic, we can therefore assign to it planar
and spatial rotation angles. Together with the indices, they have deep astronomical significance,
because on the one hand the anomalistic month of our Moon, which is about 27.55 days, corresponds
to the planar rotation angle and planar Conley–Zehnder index. On the other hand the
draconitic month of our Moon, which is about 27.21 days, corresponds to the spatial rotation
angle and spatial Conley–Zehnder index. These lunar months date back to the Babylonians until
around 500 BCE.
For higher energies, we explore the interaction between the Conley–Zehnder index and bifurcation
points of such invariant planar as well as spatial periodic orbits. When the Floquet
multipliers move through a root of unity, new families of periodic orbits bifurcate and the index
jumps by integers. By the numerical continuations of the family g and f , we determine the
index of various families of planar and spatial periodic orbits bifurcating from g and f . Since
these families can bifurcate again and meet each other, this procedure can get complicated. This
index leads to a grading on local Floer homology. Since the local Floer homology and its Euler
characteristic stay invariant under bifurcation, the index provides important information about
the interconnectedness of such families, which we illustrate in form of bifurcation graphs.
Since the solutions of Hill’s system may serve as orbits for space mission design or astronomical
observations, our results promote the interaction between symplectic geometry and applied
problems.
proposé pour la première fois par Hill en 1878. Sa motivation était de décrire le mouvement de
la Lune - le compagnon de la Terre - dans le système Soleil-Terre-Lune.
Les familles fondamentales d’orbites périodiques planaires sont celles des orbites périodiques
directes (famille g) et rétrogrades (famille f ). Puisque le système spatial est invariant sous une
involution symplectique, dont l’ensemble des points fixes correspond au problème planaire,
les orbites planaires ont des multiplicateurs de Floquet planaires et spatiaux, et des indices
de Conley–Zehnder planaires et spatiaux. Afin de déterminer leurs indices, nous examinons
analytiquement le scénario de bifurcation de la famille g et f du problème de Kepler pour les
très basses énergies. De plus, la spécification des multiplicateurs de Floquet est donnée par
l’invariance de l’orbite sous une certaine involution anti-symplectique qui laisse le système
invariant également. Pourquoi toutes ces constructions sont-elles des outils fantastiques?
Hill a trouvé numériquement une orbite périodique directe planaire ayant la période d’un
mois synodique de notre Lune, soit environ 29,53 jours. Comme elle est elliptique, nous pouvons
lui attribuer des angles de rotation planaires et spatiaux. Avec les indices, ils ont une
profonde signification astronomique, car d’une part le mois anormal de notre Lune, qui est
d’environ 27,55 jours, correspond à l’angle de rotation planaire et à l’indice planaire de Conley–
Zehnder. D’autre part, le mois draconitique de notre Lune, qui est d’environ 27,21 jours, correspond
à l’angle de rotation spatial et à l’indice spatial de Conley–Zehnder. Ces mois lunaires
remontent aux Babyloniens jusqu’à environ 500 ans avant notre ère.
Pour des énergies plus élevées, nous explorons l’interaction entre l’indice de Conley–Zehnder
et les points de bifurcation de ces orbites invariantes planaires et spatiales périodiques. Lorsque
les multiplicateurs de Floquet passent par une racine de l’unité, de nouvelles familles d’orbites
périodiques bifurquent et l’indice passe change par un entier. Par des extensions numériques de
la famille g et f , nous déterminons l’indice de diverses familles d’orbites périodiques planaires
et spatiales bifurquant à partir de g et f . Comme ces familles peuvent bifurquer à nouveau
et se rencontrer, cette procédure peut s’avérer compliquée. Cet indice conduit à une gradation
de l’homologie locale de Floer. Comme l’homologie locale de Floer et sa caractéristique
d’Euler restent invariantes en cas de bifurcation, l’indice fournit des informations importantes
sur l’interconnexion de ces familles, que nous illustrons sous la forme de graphes de bifurcation.
Comme les solutions du système de Hill peuvent servir d’orbites pour la conception de missions
spatiales ou d’observations astronomiques, nos résultats favorisent l’interaction entre la
géométrie symplectique et des problèmes appliqués.
ABSTRACT
The Hill three-body problem is a limiting case of the restricted three-body problem, which was
first proposed by Hill in 1878. His motivation was to describe the motion of the Moon - the
companion of the Earth - in the Sun–Earth–Moon system.
The fundamental families of planar periodic orbits are those of direct (family g) and retrograde
periodic orbits (family f ). Since the spatial system is invariant under a symplectic involution,
whose fixed point set corresponds to the planar problem, planar orbits have planar and
spatial Floquet multipliers, and planar and spatial Conley–Zehnder indices. In order to determine
their indices we examine analytically the scenario about the bifurcation of the family g
and f from the Kepler problem for very low energies. Moreover, the specification of the Floquet
multipliers is given by the orbit’s invariance under a certain anti-symplectic involution, which
leaves the system invariant as well. Why are all these constructions fantastic tools?
Hill found numerically a planar direct periodic orbit with the period of one synodic month
of our Moon, which is about 29.53 days. Being elliptic, we can therefore assign to it planar
and spatial rotation angles. Together with the indices, they have deep astronomical significance,
because on the one hand the anomalistic month of our Moon, which is about 27.55 days, corresponds
to the planar rotation angle and planar Conley–Zehnder index. On the other hand the
draconitic month of our Moon, which is about 27.21 days, corresponds to the spatial rotation
angle and spatial Conley–Zehnder index. These lunar months date back to the Babylonians until
around 500 BCE.
For higher energies, we explore the interaction between the Conley–Zehnder index and bifurcation
points of such invariant planar as well as spatial periodic orbits. When the Floquet
multipliers move through a root of unity, new families of periodic orbits bifurcate and the index
jumps by integers. By the numerical continuations of the family g and f , we determine the
index of various families of planar and spatial periodic orbits bifurcating from g and f . Since
these families can bifurcate again and meet each other, this procedure can get complicated. This
index leads to a grading on local Floer homology. Since the local Floer homology and its Euler
characteristic stay invariant under bifurcation, the index provides important information about
the interconnectedness of such families, which we illustrate in form of bifurcation graphs.
Since the solutions of Hill’s system may serve as orbits for space mission design or astronomical
observations, our results promote the interaction between symplectic geometry and applied
problems.
Notes
Acceptée sur proposition du jury :
Prof. Felix Schlenk Université de Neuchâtel, CH directeur de thèse, rapporteur
Prof. Urs Frauenfelder Universität Augsburg, DE directeur de thèse, rapporteur
Prof. Bruno Colbois Université de Neuchâtel, CH expert interne
JProf. Agustin Moreno Universität Heidelberg, DE rapporteur
Soutenue le 29 avril 2023
No de thèse : 3063
Prof. Felix Schlenk Université de Neuchâtel, CH directeur de thèse, rapporteur
Prof. Urs Frauenfelder Universität Augsburg, DE directeur de thèse, rapporteur
Prof. Bruno Colbois Université de Neuchâtel, CH expert interne
JProf. Agustin Moreno Universität Heidelberg, DE rapporteur
Soutenue le 29 avril 2023
No de thèse : 3063
Publication type
doctoral thesis
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