On the symplectic topology of rational homology balls

Les boules d’homologie rationnelle Bp,q, pour des entiers premiers entre eux 0 < q < p, ainsi que leurs raffinements quantitatifs, les pin-ellipsoïdes Ep,q(α, β) et les pin-boules Bp,q(α) := Ep,q(α, α), forment une classe naturelle de domaines de Liouville dont les squelettes sont des pinwheels lagrangiens de type (p, q). Ce sont des disques lagrangiens immergés dont le lieu singulier est situé le long du bord. Du point de vue des fibrations presque toriques, les pinellipsoïdes généralisent les ellipsoïdes symplectiques ordinaires ; du point de vue de la théorie des singularités, les boules d’homologie rationnelle Bp,q apparaissent comme les fibres de Milnor de certaines singularités quotients cycliques. Cette thèse étudie à la fois les aspects quantitatifs et qualitatifs de leur topologie symplectique.
Du côté quantitatif, nous étudions deux problèmes de plongement symplectique: les plongements de pin-boules dans des pin-cylindres et les plongements de pin-ellipsoïdes dans CP2. Pour le premier problème, nous démontrons que le théorème de non-entassement de Gromov reste valable dans le cadre des pinwheels. Pour le second problème, nous montrons que, pour chaque paire (p, q) formée d’un nombre de Markov p et de l’un de ses nombres compagnons q, l’ensemble des (α, β) ∈ R2 >0 pour lesquels il existe un plongement symplectique Ep,q(α, β) ,→ CP2 possède la structure d’un escalier infini, généralisant l’escalier de Fibonacci classique découvert par McDuff et Schlenk. Un ingrédient essentiel est un théorème d’isotopie affirmant que deux tels plongements quelconques sont isotopes par une isotopie hamiltonienne ambiante. Nous démontrons également des contraintes optimales pour les plongements de paires de pin-boules disjointes.
Du côté qualitatif, nous établissons la conjecture des lagrangiens voisins d’Arnold pour les pinwheels: deux plongements quelconques de pinwheels lagrangiens de type (p, q) dans Bp,q sont reliés par une isotopie hamiltonienne à support compact. La preuve combine l’étirement du cou, l’éclatement rationnel symplectique et le calcul du groupe des classes d’applications symplectiques à support compact de Bp,q, qui est engendré par un twist naturel autour du pinwheel, le pin-twist τp,q, analogue au twist de Dehn–Seidel usuel.
Comme applications des méthodes développées dans cette thèse, nous donnons une nouvelle preuve du théorème local de dénouement lagrangien d’Eliashberg et Polterovich, et nous montrons
que les seuls pinwheels lagrangiens dans Bp,q sont de type (p, q).
Nous espérons que, pris ensemble, ces résultats établissent les boules d’homologie rationnelle Bp,q, leurs squelettes lagrangiens et leurs raffinements quantitatifs comme des objets naturels d’étude en topologie symplectique, en montrant qu’ils fournissent des analogues robustes, en homologie rationnelle, des boules, des ellipsoïdes et des fibrés cotangents, et qu’ils étendent plusieurs théorèmes classiques de géométrie symplectique à un cadre singulier et arithmétiquement riche.

ABSTRACT
Rational homology balls Bp,q, for coprime integers 0 < q < p, and their quantitative refinements, the pin-ellipsoids Ep,q(α, β) and pin-balls Bp,q(α) := Ep,q(α, α), form a natural class of Liouville domains whose skeleta are Lagrangian (p, q)-pinwheels. These are immersed Lagrangian disks with singular locus along their boundary. From the perspective of almost toric fibrations, pinellipsoids generalise ordinary symplectic ellipsoids; from the perspective of singularity theory, the rational homology balls Bp,q arise as the Milnor fibres of certain cyclic quotient singularities. This thesis studies both quantitative and qualitative aspects of their symplectic topology.
On the quantitative side, we investigate two symplectic embedding problems: embeddings of pin-balls into pin-cylinders and embeddings of pin-ellipsoids into CP2. For the first problem, we prove that Gromov’s non-squeezing theorem continues to hold in the pin-setting. For the second problem, we show that, for each pair (p, q) consisting of a Markov number p and one of its companion numbers q, the set of all (α, β) ∈ R2 >0 for which there exists a symplectic embedding Ep,q(α, β) ,→ CP2 has the structure of an infinite staircase, generalising the classical Fibonacci staircase discovered by McDuff and Schlenk. A key ingredient is an isotopy theorem asserting that any two such embeddings are ambiently Hamiltonian isotopic. We also prove sharp constraints for pairs of disjoint pin-ball embeddings.
On the qualitative side, we establish Arnold’s nearby Lagrangian conjecture for pinwheels: any two embeddings of Lagrangian (p, q)-pinwheels in Bp,q are related by a compactly supported
Hamiltonian isotopy. The proof combines neck-stretching, the symplectic rational blowup, and the computation of the compactly supported symplectic mapping class group of Bp,q, which is generated by a natural twist about the pinwheel, the pintwist τp,q, analogous to the usual Dehn–Seidel twist.
As applications of the methods developed in this thesis, we give a new proof of the local Lagrangian unknotting theorem of Eliashberg and Polterovich, and show that the only Lagrangian pinwheels in Bp,q are of (p, q)-type.
We hope that, taken together, these results establish the rational homology balls Bp,q, their Lagrangian skeleta, and their quantitative refinements as natural objects of study in symplectic topology by showing that they provide robust rational-homology analogues of balls, ellipsoids, and cotangent bundles, extending several classical theorems in symplectic geometry to a singular and arithmetically rich setting.

Acceptée sur proposition du jury :
Prof. Felix Schlenk, Université de Neuchâtel, directeur de thèse
Prof. Peter Feller, Université de Neuchâtel, membre interne
Prof. Paul Biran, ETH Zürich, expert externe
Dr. Nikolas Adaloglou, Sorbonne Université, expert externe

Soutenue le 24 juin 2026

No de thèse : 3256