Coarse properties of graphs

Comme objectif de cette thèse, on étudie les propriétés grossières des graphes, des suites de graphes et des groupes. Dans un premier temps on s’intéresse au coût combinatoire. On démontre qu’un coût égal à 1, ou encore l’hyperfinitude, sont des invariants grossiers pour les suites de graphes. De plus, le coût jouit d’une sorte de propriété de multiplicativité lorsqu’on considère des sous-groupes d’indice fini. Quand le groupe est moyennable, on traite les propriétés de leurs suites de Farber et de leurs approximations sofiques. Dans un deuxième temps, on analyse le premier groupe d’homologie uniformément fini avec coeffcients entiers pour les graphes. On montre que si le graphe a plusieurs bouts, grands circuits, et pas d’expansion (de dimension supérieure), alors le groupe ne se restreint pas à zéro. De plus, pour un graphe transitif, cette description est exhaustive. Finalement on considère le groupe de Baumslag-Solitar BS (2; 3). Ce groupe n’est pas Hopfien, i.e. il est isomorphe à un quotient propre. On donne une interprétation visuelle de ce fait en étudiant son graphe de Cayley. <br><br>
<b>Abstract</b><br>
The objective of this work is to study large scale properties of graphs, graph sequences and
groups. Firstly we consider the combinatorial cost and prove that having cost equal to 1 and hyperfiniteness are coarse invariants of graph sequences. We show that cost is multiplicative with respect to taking finite index subgroups. For an amenable group we investigate the properties of their Farber sequences, sofic approximations and vice versa.
Secondly we consider the first uniformly finite homology group of graphs with coefficients in
Z. We show that its non-vanishing depends on the ends, large circuits and (higher-dimensional) non-expansion of the graph. When the graph is transitive this is a full description. Finally we take a look at the Baumslag-Solitar group BS (2; 3). This group is non-Hopfian, meaning it has a quotient isomorphic to itself. We give a visual interpretation of this on the Cayley graph level.

Doctorat, Université de Neuchâtel, Institut de mathématiques