Symplectic embeddings in dimension 4

La géométrie symplectique est la géométrie sous-jacente à la dynamique hamiltonienne. Depuis la démonstration du théorème de non-tassement de Gromov en 1985, les plongements symplectiques se trouvent au coeur de la géométrie symplectique. Cette thèse étudie certains problèmes de plonge- ments symplectiques en dimension 4. Nous commençons par résoudre com- plètement le problème des plongements d’ellipsoïdes dans des cubes. Ce résultat est un raffinement du théorème de Gromov, McDuff-Polterovich et Biran sur les plongements d’une union disjointe de boules égales dans un cube. Dans la deuxième partie de la thèse, nous construisons des plonge- ments explicites d’une union disjointe de boules dans certaines unions (non- disjointes) d’ellipsoïdes et de cylindres. Il découle des capacités ECH de Hutchings que ces plongements sont optimaux., Symplectic geometry is the underlying geometry of Hamiltonian dynamics. Since the proof of Gromov’s non-squeezing theorem in 1985, symplectic embeddings have been at the heart of symplectic geometry. This thesis studies some symplectic embedding problems in dimension 4. We start by completely solving the problem of embedding an ellipsoid into a cube. This result is a refinement of the theorem proved by Gromov, McDuff- Polterovich and Biran about embeddings of a disjoint union of equal balls into a cube. In the second part of the thesis, we construct explicit embed- dings of a disjoint union of balls into certain (non-disjoint) unions of an ellipsoid and a cylinder. It follows from Hutchings’ ECH capacities that these embeddings are optimal.

Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2014