Embeddings of groups into Banach spaces

L'objectif de cette thèse est de faire des liens entre les propriétés algébriques et géométriques des groupes. Une façon d'étudier un espace métrique quelconque est de le représenter comme un sous-ensemble d'un espace de Banach dont la géométrie est bien comprise. En premier lieu, nous étudions les plongements bi-Lipschitz de graphes de Cayley de groupes finis dans les espaces <i>L^p</i> [0; 1]. En particulier, nous donnons une borne inferieure pour la distortion de tels plongements à l'aide d'invariants de graphes comme le diamètre, la régularité et le trou spectral. Dans un deuxième temps, nous étudions le comportement de plongements qui préservent la géométrie à grande échelle des espaces métriques finis. Pour ce faire, nous calculons l'exposant de compression de certaines extensions HNN ainsi que d'espaces métriques obtenus comme réunion de graphes finis. Nous nous intéressons ensuite à la 1-cohomologie à valeur dans les <i>G</i>-modules unitaires, dans le cas où <i>G</i> est un groupe agissant transitivement sur les sommets d'un arbre régulier ainsi que sur son bord. Nous parvenons à calculer explicitement les fonctions conditionnellement de type négatif associées aux 1-cocycles non-bornées sur <i>G</i>. Enfin, dans le dernier chapitre de cette thèse, nous donnons une condition de non-annulation de l'espace de 1-cohomologie bornée pour certains Γ-modules de Banach, pour Γ un groupe dénombrable discret.

Mots clés: Géométrie métrique ; Distortion euclidienne ; Trou spectral ; Exposant de compression ; Box space ; 1-cohomologie ; Arbre ; Fonction conditionnellement de type négatif Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2015