Straubhaar, Régis

2013, Straubhaar, Régis, Besson, Olivier, Colbois, Bruno

Le spectre de l'opérateur de Laplace-Dirichlet défini sur un domaine borné d'une surface lisse et complète est une suite strictement positive, croissante, tendant vers l'infini. Le but de cette thèse est d'approcher les premières valeurs propres de cet opérateur de manière numérique à l'aide d'une méthode d'éléments finis, puis de considérer le problème d'optimisation suivant: quel est le domaine qui minimise la k-ème valeur propre parmi tous les domaines d'aire donnée, et que vaut cette valeur propre? Ce dernier trouve son origine dans les théorèmes de Faber-Krahn et Krahn-Szegö, qui règlent le cas de la première et de la deuxième valeur propre d'un domaine de l'espace euclidien. Des méthodes en optimisation de forme ont été élaborées pour proposer des domaines candidats à être solution pour des valeurs propres plus élevées ainsi que pour d'autres surfaces sous-jacentes comme la sphère et l'espace hyperbolique. Cela a donné lieu à des observations sur la comparaison de valeurs propres associées à des domaines sur différentes surfaces. Le problème du placement d'un obstacle circulaire à l'intérieur d'une boule afin de maximiser les premières valeurs propres est aussi abordé dans cette thèse.