Résultat de la recherche
Upper bounds for Steklov eigenvalues : from graphs and discretization to hypersurfaces of revolution and numerical experiments
Un des buts de la géométrie spectrale est de comprendre la relation entre la géométrie ou la topologie d’une variété riemannienne et le spectre d’un opérateur différentiel de type laplacien associé à cette variété. Ce concept est résumé dans la célèbre phrase de Mark Kac "Peut-on entendre la forme d’un tambour ?" and constitue un sujet actif de recherche fondamentale. Dans cette thèse on considère le problème de Steklov. Dans une première partie du travail, nous obtenons des bornes supérieures pour les valeurs propres de Steklov σk(Ω, B), où (Ω, B) est un sous-graphe d’un graphe hôte Γ. Le procédé utilisé ici consiste à construire une variété M à partir du sous-graphe, de telle façon que nous contrôlons σk(M), et transférons l’information spectrale au sous-graphe grâce à une méthode appelée discrétisation. Le procédé nous permet de travailler dans deux différentes classes de graphes hôtes : une première classe est composée des graphes de Cayley de groupes à croissance polynomiale, et une seconde classe est composée de graphes de pavage triangulaire du plan hyperbolique. Dans une seconde partie du travail, nous obtenons des bornes supérieures optimales pour la première valeur propre de Steklov d’une hypersurface de révolution M à deux composantes connexes du bord de l’espace euclidien. Pour ce faire, nous comparons σ1(M) avec σD 0 (A) et σN 1 (A), les premières valeurs propres non triviales des problèmes mixtes Steklov-Dirichlet et Steklov-Neumann sur un anneau euclidien A. Afin d’étendre le résultat à toutes les valeurs propres, nous introduisons le concept de longueur critique finie et infinie, ce qui nous amène à faire des expériences numériques qui supportent une conjecture présentée dans le dernier chapitre. ABSTRACT One aim of spectral geometry is to understand the relationship between the geometry or topology of a Riemannian manifold and the spectrum of a differential Laplacian-type operator associated to that manifold. This concept is encapsulated in the famous sentence of Mark Kac "Can one hear the shape of a drum?" and constitutes an active topic of fundamental research. In this thesis we consider the Steklov problem. In a first part of the dissertation, we find upper bounds for the Steklov eigenvalues σk(Ω, B), where (Ω, B) is a subgraph of a host graph Γ. The procedure used here consists in building a manifold M from the subgraph in such a way that we control σk(M), and transfer the spectral piece of information to the subgraph thanks to a method called discretization. This procedure allows us to work on two different classes of host graphs: a first class consists of Cayley graphs of polynomial growth groups, and a second class consists of triangle-tiling graphs of the hyperbolic plane. In a second part of the dissertation, we find sharp upper bounds for the first Steklov eigenvalue of a hypersurface of revolution M with two boundary components of the Euclidean space. To do that, we compare σ1(M) with σD 0 (A) and σN 1 (A), the first non trivial eigenvalues of the mixed Steklov-Dirichlet and Steklov-Neumann problems on a Euclidean annulus A. To extend the result to every eigenvalue, we introduce the concept of finite and infinite critical lengths, which makes us perform some numerical experiments that support a conjecture presented in the last chapter.
Spectrum of the Laplacian with weights
Given a compact Riemannian manifold $(M,g)$ and two positive functions $\rho$ and $\sigma$, we are interested in the eigenvalues of the Dirichlet energy functional weighted by $\sigma$, with respect to the $L^2$ inner product weighted by $\rho$. Under some regularity conditions on $\rho$ and $\sigma$, these eigenvalues are those of the operator $-\rho^{-1} \mbox{div}(\sigma \nabla u)$ with Neumann conditions on the boundary if $\partial M\ne \emptyset$. We investigate the effect of the weights on eigenvalues and discuss the existence of lower and upper bounds under the condition that the total mass is preserved.
Isoperimetric control of the Steklov spectrum
We prove that the normalized Steklov eigenvalues of a bounded domain in a complete Riemannian manifold are bounded above in terms of the inverse of the isoperimetric ratio of the domain. Consequently, the normalized Steklov eigenvalues of a bounded domain in Euclidean space, hyperbolic space or a standard hemisphere are uniforml bounded above. On a compact surface with boundary, we obtain uniform bounds for the normalized Steklov eigenvalues in terms of the genus. We also establish a relationship between the Steklov eigenvalues of a domain and the eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator on its boundary hypersurface.