Résultat de la recherche
Inégalités géométriques pour des valeurs propres de Steklov de graphes et de surfaces
Cette thèse est consacrée à l’obtention d’inégalités géométriques pour des valeurs propres de Steklov de variétés riemanniennes de dimension 2 et de graphes. Les résultats obtenus concernent différentes situations. D’un côté, je m’intéresse à la géométrie de la première valeur propre non nulle de Steklov σ1 d’un graphe à bord. Pour cette valeur propre, je donne une borne inférieure qui dépend d’une borne supérieure sur le diamètre extrinsèque du bord et d’une borne supérieure sur le nombre de sommets du bord. Un autre résultat est une borne supérieure pour certains sous-graphes d’un graphe de Cayley à croissance polynomiale, qui montre en particulier que σ1 tend vers 0 lorsque le nombre de sommets du sous-graphe tend vers l’infini et généralise ainsi un résultat de Han et Hua obtenu pour des sous-graphes de Zn. Un deuxième but de la thèse est d’obtenir des bornes inférieures pour la première valeur propre non nulle de Steklov σ1 d’une variété riemannienne M dont le bord a plusieurs composantes connexes. Dans ce cas, la géométrie de M loin du bord peut avoir une forte influence sur σ1. Afin de préciser la forme de cette relation on étudie les variétés riemanniennes dont le bord a un voisinage cylindrique. En dimension 2, en supposant que la courbure de Gauss de M est bornée inférieurement, je donne une borne inférieure qui dépend d’une borne supérieure sur le diamètre extrinsèque du bord, d’une borne supérieure sur la longueur du bord et d’une borne inférieure sur la rayon d’injectivité des points d’un certain sous-ensemble de M. Finalement, je donne des bornes inférieure et supérieure pour les premières valeurs propres de Steklov d’une surface hyperbolique à bord géodésique en fonction de la longueur de certaines familles de géodésiques qui séparent le bord. Ce résultat est similaire à un résultat classique de Schoen, Wolpert et Yau pour les valeurspropres du laplacien d’une surface hyperbolique fermée. Abstract The aim of this thesis is to obtain geometric inequalities for Steklov eigenvalues of 2-dimensional Riemannian manifolds and graphs. The results obtained relate to different situations. On the one hand, our interest focuses on the geometry of the first non-zero Steklov eigenvalue σ1 of a graph with boundary. For this eigenvalue, we give a lower bound which depends on an upper bound on the extrinsic diameter of the boundary and on an upper bound on the number of vertices of the boundary. Another result is an upper bound for some subgraphs of a Cayley graph with polynomial growth, which shows in particular that σ1 tends to 0 when the number of vertices of the subgraph tends to infinity and thus generalizes a result of Han and Hua obtained for subgraphs of Zn. A second goal of the thesis is to obtain lower bounds for the first non-zero Steklov eigenvalue σ1 of a Riemannian manifold M whose boundary has several connected components. In this case, the geometry of M far from the boundary can have a strong influence on σ1. In order to specify the form of this relation we study Riemannian manifolds whose boundary has a cylindrical neighborhood. In dimension 2, assuming that the Gaussian curvature of M is bounded below, we give a lower bound which depends on an upper bound on the extrinsic diameter of the boundary, an upper bound on the length of the boundary and a lower bound on the radius of injectivity at the points of a certain subset of M. Finally, we give lower and upper bounds for the first Steklov eigenvalues of hyperbolic surfaces with geodesic boundary, which depend on the length of some families of geodesics that separate the boundary.This result is similar to a classical result of Schoen, Wolpert and Yau for Laplace eigenvalues of a closed hyperbolic surface.
Neumann Eigenvalues of the Biharmonic Operator on Domains: Geometric Bounds and Related Results
Upper bounds for Steklov eigenvalues of submanifolds in Euclidean space via the intersection index
Upper bounds for the ground state energy of the Laplacian with zero magnetic field on planar domains
Upper bounds for Steklov eigenvalues : from graphs and discretization to hypersurfaces of revolution and numerical experiments
Un des buts de la géométrie spectrale est de comprendre la relation entre la géométrie ou la topologie d’une variété riemannienne et le spectre d’un opérateur différentiel de type laplacien associé à cette variété. Ce concept est résumé dans la célèbre phrase de Mark Kac "Peut-on entendre la forme d’un tambour ?" and constitue un sujet actif de recherche fondamentale. Dans cette thèse on considère le problème de Steklov. Dans une première partie du travail, nous obtenons des bornes supérieures pour les valeurs propres de Steklov σk(Ω, B), où (Ω, B) est un sous-graphe d’un graphe hôte Γ. Le procédé utilisé ici consiste à construire une variété M à partir du sous-graphe, de telle façon que nous contrôlons σk(M), et transférons l’information spectrale au sous-graphe grâce à une méthode appelée discrétisation. Le procédé nous permet de travailler dans deux différentes classes de graphes hôtes : une première classe est composée des graphes de Cayley de groupes à croissance polynomiale, et une seconde classe est composée de graphes de pavage triangulaire du plan hyperbolique. Dans une seconde partie du travail, nous obtenons des bornes supérieures optimales pour la première valeur propre de Steklov d’une hypersurface de révolution M à deux composantes connexes du bord de l’espace euclidien. Pour ce faire, nous comparons σ1(M) avec σD 0 (A) et σN 1 (A), les premières valeurs propres non triviales des problèmes mixtes Steklov-Dirichlet et Steklov-Neumann sur un anneau euclidien A. Afin d’étendre le résultat à toutes les valeurs propres, nous introduisons le concept de longueur critique finie et infinie, ce qui nous amène à faire des expériences numériques qui supportent une conjecture présentée dans le dernier chapitre. ABSTRACT One aim of spectral geometry is to understand the relationship between the geometry or topology of a Riemannian manifold and the spectrum of a differential Laplacian-type operator associated to that manifold. This concept is encapsulated in the famous sentence of Mark Kac "Can one hear the shape of a drum?" and constitutes an active topic of fundamental research. In this thesis we consider the Steklov problem. In a first part of the dissertation, we find upper bounds for the Steklov eigenvalues σk(Ω, B), where (Ω, B) is a subgraph of a host graph Γ. The procedure used here consists in building a manifold M from the subgraph in such a way that we control σk(M), and transfer the spectral piece of information to the subgraph thanks to a method called discretization. This procedure allows us to work on two different classes of host graphs: a first class consists of Cayley graphs of polynomial growth groups, and a second class consists of triangle-tiling graphs of the hyperbolic plane. In a second part of the dissertation, we find sharp upper bounds for the first Steklov eigenvalue of a hypersurface of revolution M with two boundary components of the Euclidean space. To do that, we compare σ1(M) with σD 0 (A) and σN 1 (A), the first non trivial eigenvalues of the mixed Steklov-Dirichlet and Steklov-Neumann problems on a Euclidean annulus A. To extend the result to every eigenvalue, we introduce the concept of finite and infinite critical lengths, which makes us perform some numerical experiments that support a conjecture presented in the last chapter.