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Espaces de longueur d’entropie majorée: Rigidité topologique, adhérence des variétés, noyau de la chaleur
Les théorèmes de (pré)compacité ou de " bornitude " s'établissent généralement sur l'ensemble des variétés de dimension, diamètre et courbure bornés, qui n'est pas complet (donc pas de preuve unifiée de la bornitude des invariants par compacité/continuité). A la différence de la courbure, l'entropie est peu sensible aux variations locales de la métrique ou de la topologie, c'est pourquoi nous nous plaçons sur une famille M ,H,D beaucoup plus vaste : celle des classes d'isométries d'espaces métriques de longueur de diamètre et d'entropie bornés par D et H, qui admettent un revêtement universel et vérifient une condition 1-homotopique dite de -non abélianité. Nous prouvons que M ,H,D est complet, que l'entropie et le spectre marqué des longueurs (resp. le premier nombre de Betti et le groupe fondamental) y sont des fonctions lipschitziennes (resp. localement constantes), qu'on peut y comparer les volumes et les bornes inférieures de courbure de 2 variétés -proches et que le sous-ensemble M ,H,D,V (des variétés de courbure négative et de volume majoré par V) y est d'adhérence compacte. Des majorations universelles du noyau de la chaleur assurent la précompacité de M ,H,D,V pour la distance spectrale et une description des propriétés des espaces-limites. La méthode s'appuie sur une estimation de type Bishop (sans hypothèse de courbure) du volume des boules et sur le calcul d'un = ( ,H,D) universel tel que toute -approximation de Hausdorff (non continue) entre deux espaces X et Y de M ,H,D induise un isomorphisme entre les groupes d'automorphismes de leurs revêtements universels et se relève en une -presque-isométrie -équivariante entre ces revêtements.