Colbois, Bruno

2015, Berger, Amandine, Colbois, Bruno, Oudet, Edouard

Le problème de l'optimisation des valeurs propres du Laplacien est ancien puisqu'à la fin du XIXème siècle Lord Rayleigh conjecturait que la première valeur propre avec condition de Dirichlet était minimisée par le disque. Depuis le problème a été beaucoup étudié. Et les possibilités de recherches sont multiples : diverses conditions, ajout de contraintes, existence, description des optima ...
Dans ce document on se limite aux conditions de Dirichlet et de Neumann, dans ℝ² et ℝ³. On procède dans un premier temps à un état de l'art.
On se focalise ensuite sur les disques et les boules. En effet, ils font partie des rares formes pour lesquelles il est possible de calculer explicitement et relativement facilement les valeurs propres. On verra malheureusement que ces formes ne sont la plupart du temps pas des minimiseurs.
Enfin on s'intéresse aux simulations numériques possibles. En effet, puisque peu de calculs théoriques peuvent être faits il est intéressant d'obtenir numériquement des candidats. Cela permet ensuite d'avoir des hypothèses de travail théorique. A cet effet nous donnerons des éléments de compréhension sur une méthode de simulation numérique ainsi que des résultats obtenus., The optimization of Laplacian eigenvalues is a classical problem. In fact, at the end of the nineteenth century, Lord Rayleigh conjectured that the first eigenvalue with Dirichlet boundary condition is minimized by a disk. This problem received a lot of attention since this first study and research possibilities are numerous: various conditions, geometrical constraints added, existence, description of optimal shapes...
In this document we restrict us to Dirichlet and Neumann boundary conditions in ℝ² et ℝ³. We begin with a state of the art.
Then we focus our study on disks and balls. Indeed, these are some of the only shapes for which it is possible to explicitly and relatively easily compute the eigenvalues. But we show in one of the main result of this document that they are not minimizers for most eigenvalues.
Finally we take an interest in the possible numerical experiments. Since we can do very few theoretical computations, it is interesting to get numerical candidates. Then we can deduce some theoretical working assumptions. With this in mind we give some keys to understand our numerical method and we also give some results obtained.

2013, Straubhaar, Régis, Besson, Olivier, Colbois, Bruno

Le spectre de l'opérateur de Laplace-Dirichlet défini sur un domaine borné d'une surface lisse et complète est une suite strictement positive, croissante, tendant vers l'infini. Le but de cette thèse est d'approcher les premières valeurs propres de cet opérateur de manière numérique à l'aide d'une méthode d'éléments finis, puis de considérer le problème d'optimisation suivant: quel est le domaine qui minimise la k-ème valeur propre parmi tous les domaines d'aire donnée, et que vaut cette valeur propre? Ce dernier trouve son origine dans les théorèmes de Faber-Krahn et Krahn-Szegö, qui règlent le cas de la première et de la deuxième valeur propre d'un domaine de l'espace euclidien. Des méthodes en optimisation de forme ont été élaborées pour proposer des domaines candidats à être solution pour des valeurs propres plus élevées ainsi que pour d'autres surfaces sous-jacentes comme la sphère et l'espace hyperbolique. Cela a donné lieu à des observations sur la comparaison de valeurs propres associées à des domaines sur différentes surfaces. Le problème du placement d'un obstacle circulaire à l'intérieur d'une boule afin de maximiser les premières valeurs propres est aussi abordé dans cette thèse.

2012, Hassannezhad, Asma, Colbois, Bruno, El Soufi, Ahmad, Ranjbar-Motlagh, Alireza

The purpose of this thesis is to find upper bounds for the eigenvalues of natural operators acting on functions on a compact Riemannian manifold (M, g) such as the Laplace-Beltrami operator and Laplace-type operators. In the case of the Laplace-Beltrami operator, two aspects are investigated: The first aspect is to study relationships between the intrinsic geometry and eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator. In this regard, we obtain upper bounds depending only on the dimension and a conformal invariant called min-conformal volume. Asymptotically, these bounds are consistent with the Weyl law. They improve previous results by Korevaar and Yang and Yau. The proof relies on the construction of a suitable family of disjoint domains providing supports for a family of test functions. This method is powerful and interesting in itself.
The second aspect is to study the interplay of the extrinsic geometry and eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator acting on compact submanifolds of R^N and of CP^N. We investigate an extrinsic invariant called the intersection index studied by Colbois, Dryden and El Soufi. For compact submanifolds of R^N, we extend their results and obtain upper bounds which are stable under small perturbation. For compact submanifolds of CP^N we obtain an upper bound depending only on the degree of submanifolds and which is sharp for the first eigenvalue.
As a further application of the introduced method, we obtain an upper bound for the eigenvalues of the Steklov problem in a domain with C¹ boundary in a complete Riemannian manifold in terms of the isoperimetric ratio of the domain and the min-conformal volume. A modification of our method also leads to have upper bounds for the eigenvalues of Schrödinger operators in terms of the min-conformal volume and integral quantity of the potential. As another application of our method, we obtain upper bounds for the eigenvalues of the Bakry-Emery Laplace operator depending on conformal invariants and properties of the weighted function.