Colbois, Bruno

2013, Straubhaar, Régis, Besson, Olivier, Colbois, Bruno

Le spectre de l'opérateur de Laplace-Dirichlet défini sur un domaine borné d'une surface lisse et complète est une suite strictement positive, croissante, tendant vers l'infini. Le but de cette thèse est d'approcher les premières valeurs propres de cet opérateur de manière numérique à l'aide d'une méthode d'éléments finis, puis de considérer le problème d'optimisation suivant: quel est le domaine qui minimise la k-ème valeur propre parmi tous les domaines d'aire donnée, et que vaut cette valeur propre? Ce dernier trouve son origine dans les théorèmes de Faber-Krahn et Krahn-Szegö, qui règlent le cas de la première et de la deuxième valeur propre d'un domaine de l'espace euclidien. Des méthodes en optimisation de forme ont été élaborées pour proposer des domaines candidats à être solution pour des valeurs propres plus élevées ainsi que pour d'autres surfaces sous-jacentes comme la sphère et l'espace hyperbolique. Cela a donné lieu à des observations sur la comparaison de valeurs propres associées à des domaines sur différentes surfaces. Le problème du placement d'un obstacle circulaire à l'intérieur d'une boule afin de maximiser les premières valeurs propres est aussi abordé dans cette thèse.

, Crevoisier, Fabien, Besson, Olivier, Colbois, Bruno

Cette thèse, dont les programmes joints constituent un élément indissociable, traite du spectre du Laplacien sur des domaines de surfaces et plus précisément du calcul numérique des valeurs et fonctions propres pour des conditions au bord de Dirichlet et de Neumann.
Une fois la formulation variationnelle du spectre du Laplacien établie, nous adaptons aux domaines de surfaces la bien connue méthode des éléments finis pour les domaines du plan. La convergence des solutions est démontrée et la mise en oeuvre numérique de la méthode est précisée. On aborde en particulier les questions de maillage (par macro-éléments ou de Delaunay) et de traitements de triangulations (renumérotation des noeuds et raffinement local). La construction et la résolution numérique du problème matriciel associé sont également détaillés; sont notamment abordés la question du mass-lumping et l'algorithme itératif de Lanczos.
Deux applications aux domaines du plan (mais éventuellement généralisables aux surfaces) sont ensuite présentées: premièrement, la démonstration de la convergence des valeurs et fonctions propres d'un domaine à anse fine vers les solutions de deux problèmes limites indépendants, l'un correspondant au problème sur la partie épaisse du domaine, l'autre à un problème associé à l'anse (essentiellement unidimensionnel mais toutefois non trivial selon la géométrie de l'anse); deuxièmement, la mise en oeuvre d'un algorithme de minimisation des valeurs propres de Dirichlet, basé sur une méthode de variation du bord.
Une série d'exemples d'utilisation de ces algorithmes est proposée, contenant des résultats numériques et des explications concernant leur modélisation: tores, sphères, couples de domaines isospectraux, domaines à anses planes et cylindriques fines, ainsi que les 10 premiers domaines optimaux déterminés par l'algorithme d'optimisation de forme.
Une description du fonctionnement et de l'utilisation des programmes développés pour ce travail sur la base des algorithmes cités plus haut est finalement donnée.