Colbois, Bruno

2003, Jammes, Pierre, Colbois, Bruno

On considère le laplacien agissant sur les formes différentielles d'une variété riemannienne compacte orientée. On sait que si la première valeur propre non nulle du laplacien tend vers zéro quand on fait varier la métrique en maintenant bornés la courbure sectionnelle et le diamètre, alors son volume tend aussi vers zéro, c'est-à-dire qu'elle s'effondre. Ce phénomène de petites valeurs propres soulève deux questions : à quelles conditions (topologiques ou géométriques) existe-t-il des petites valeurs propres quand une variété s'effondre, et, s'il en existe, à quelle vitesse ces valeurs propres tendent-elles vers zéro par rapport au volume ? La première partie de la thèse consiste à étudier de manière détaillée le comportement du spectre dans le cas simple (mais cependant topologiquement assez riche) de fibrés en tores sur le cercle munis de métriques homogènes et s'effondrant sur leur base. Nous montrons comment le nombre de petites valeurs propres dépend à la fois de la topologie du fibré et de la géométrie de l'effondrement. En outre, nous exhibons des exemples simples de fibrés pricipaux qui mettent en évidence le fait que cette hypothèse supplémentaire sur la topologie modifie sensiblement le comportement du spectre. La seconde partie est consacrée à l'étude du spectre du laplacien agissant sur les 1-formes différentielles d'un fibré pricipal en tores quelconque. Nous montrons que lorsque le fibré s'effondre sur sa base, la première valeur propre non nulle du laplacien reste minorée par le carré du volume du fibré, que multiplie une constante dépendant de la géométrie de la base et des bornes sur la géométrie du fibré