Long time behavior of stochastic population models

L'objectif de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique de deux classes de modèles stochastiques de population qui peuvent être vu comme des petites perturbations aléatoires d'une dynamique de population déterministe. Le premier de ces deux modèles est une chaîne de Markov à temps discret qui modélise l'évolution d'un jeu de population à N joueurs et d types. Le second modèle est un processus de diffusion sur un compact qui modélise l'évolution d'un système de population à d espèces avec du bruit. Ces deux processus modélisent des systèmes de population où, à l'infini, toutes les espèces sauf une s'éteignent. <br> Ce travail consiste en l'étude du comportement transitoire de ces processus avant extinction. Plus précisément on donnera des résultats concernant les temps d'absorption et les mesures quasi-stationnaires en reliant le comportement de nos processus avec celui du système dynamique déterministe qu'ils approximent. Dans le premier modèle les outils idoines viennent de la théorie des algorithmes d'approximation stochastiques à pas constant, tandis que, dans le second cas, notre modèle manquant de régularité, nous serons amené à prouver des résultats à la Freidlin-Wentzell., The object of this thesis is the study of the asymptotic behavior of two classes of stochastic population models that both can be viewed as small random perturbations of a deterministic population dynamic. The first of these models is a discrete time Markov chain modeling the evolution of a population game with N players and d types. The second model is a constrained diffusion process modeling the evolution of a d-species system with noise. Both these processes model population dynamics where all species but one ultimately go extinct. <br> In this work we investigate the transitory behavior of these systems before extinction. More precisely we will give results about the absorption times and the quasi-stationary distributions by linking the behavior of our systems with that of the deterministic dynamics they approximate. In the first model the appropriate tool will be the theory of stochastic approximation algorithms with constant step size. In the second model, our model lack of sufficient regularity will lead us to prove some Freidlin-Wentzell-like results.

Keywords: Markov chain, diffusion process, stochastic approximation algorithm, quasi-stationary distributions, large deviations, chain recurrence Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2014