Laplacians in riemannian geometry: a spectral comparison through discretization

Le but de cette thèse est d'étudier le spectre de laplaciens apparaissant en géométrie riemannienne (laplacien sur les fonctions, laplacien de Hodge sur les formes différentielles et laplacien brut sur un fibré vectoriel) au travers de la discrétisation. Plus précisément, il s'agit de comparer uniformément le spectre de ces laplaciens à des laplaciens discrets (laplacien combinatoire associé à un graphe, laplacien combinatoire associé à un complexe de cochaînes de Čech et généralisation du laplacien magnétique discret) agissant sur des espaces vectoriels de dimension finie construits grâce à la discrétisation. La comparaison spectrale se veut uniforme dans le sens qu'elle est valable pour une famille de variétés riemanniennes fixée par un certain nombre de paramètres géométriques dont dépendra exclusivement la comparaison. Plusieurs applications de ces comparaisons spectrales sont alors présentées. Citons en particulier la minoration de la première valeur propre non-nulle du laplacien de Hodge, en fonction du volume de la variété (et des paramètres fixés lors de la discrétisation) et l'encadrement de la première valeur propre non-nulle du laplacien brut sur les fibrés vectoriels plats, en fonction de l'holonomie.

Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2006 ; 1898