La théorie des groupes est la formulation mathématique de la notion intuitive de symétrie. Les groupes sont des objets algébriques qui, du fait de la nature géométrique de la symétrie, font le pont entre l'algèbre et la géométrie. En fait, un groupe G porte une géométrie intrinsèque: il y a une famille de graphes associés à un groupe, les graphes de Cayley de G, qui permettent de visualiser la structure algébrique.

Quand il s'agit d'étudier des groupes infinis, on peut faire appel au paradigme standard en mathématique: approcher un objet infini par des objets finis. Ici, les objets finis sont les quotients finis de G. Une question qui sera fondamentale dans ce projet est la suivante: supposons qu'on nous donne un graphe de Cayley pour chaque quotient fini de G; que pouvons-nous en déduire sur G? Le cas le plus simple de la question est: si on se donne la famille des cycles de longueur n (pour tout n) et qu'on sait qu'elle provient d'un groupe infini, pouvons-nous affirmer que ce groupe est le groupe additif des entiers? (la réponse est oui, dans ce cas simple). L'étude des graphes de Cayley débouche sur la théorie géométrique des groupes, un des domaines les plus actifs des mathématiques contemporaines.