The geometry of logical opposition - Moretti, Alessio (My University, 2009)
Notre étude est consacrée à l’exploration d’éléments formels suggérant, depuis quelques années, la possibilité d’élaborer une véritable géométrie propre au concept d’ « opposition ». Ce dernier est très important et omniprésent (quant à ses applications), aussi bien en philosophie qu’en sciences et il admet, depuis plus de 2000 ans, une paradigme logique : la théorie de l’opposition d’Aristote, dont le point culminant au niveau formel est le « carré des oppositions ». En un sens, toute notre démarche consiste dans le fait de découvrir et d’ordonner selon une géométrie un ensemble infini d’« avatars » de cette structure carrée traditionnelle (le « carré logique » ou « carré d’Aristote »). Les résultats obtenus ici vont bien au-delà des attentes les plus optimistes, car il s’avère qu’une telle géométrie existe véritablement et offre à la science grand nombre d’intuitions conceptuelles et d’instruments formels. Ses principaux algorithmes sont les « bi-simplexes logiques de dimension m » (qui ouvrent à la n-opposition) et, au-delà, les notions de pq-sémantique » et de pq-treillis » aristotéliciens (qui ouvrent à l’opposition p-valuée et, plus généralement, à des oppositions plus fines) : la première est un moyen jeux-théorétique d’engendrer des « catégories d’oppositions », le deuxième donne la structure des « cadres oppositionnels » qui contiennent et ordonnent les catégories d’opposition. Avec ces moyens formels, cette notion atteint à un niveau de clarté conceptuelle jamais connu auparavant. La naturalité de cette théorie est maximale par rapport à son objet d’étude, cette géométrie semble donc pouvoir prétendre au rang de nouveau standard scientifique pour traiter de phénomènes d’opposition. Toutefois, une question philosophique et épistémologique peut troubler : cette théorie, conquérante, montre que des propriétés fondamentales de la logique sont intrinsèquement géométriques : par les notions de « simplexe », de « symétrie centrale n-dimensionnelle », et par d’autres du même genre. Or, malgré les apparences (qui laisseraient croire cela déjà vu), ce fait est révolutionnaire. Il réveille un débat ancestral, toujours actuel, sur l’essence des mathématiques et de la rationalité, opposant par exemple le géométrisme (Euclidien) philosophique et scientifique de Platon à sa critique transcendantaliste par la logique d’Aristote. La géométrie des oppositions montre de manière choquante que le carré logique, le cœur stratégique du dispositif transcendantal anti-platonicien d’Aristote, est en fait une jungle formelle platonicienne, qui contient élégamment d’infinis hyper-polyèdres. Qui plus est, cette découverte d’une géométrie infinie au cœur même de la logique est également liée à un terrible débat de fond entre les partisans d’une « philosophie guidée par la logique » (les philosophes analytiques et les cognitivistes) et ceux qui, inspirés plutôt par les mathématiques, commencent de plus en plus à avancer que la logique est intrinsèquement incapable de formaliser, en elle-même, le concept de « concept » (l’ingrédient principal de la philosophie), qui requière plutôt l’aide de la géométrie afin de déployer naturellement les « espaces conceptuels » (Gärdenfors). Nous proposons donc quelques réflexions au sujet de ce débat et de ses liens profonds avec la nature des concepts. En guise de résultat épistémologique, nous avançons que la théorie géométrique des oppositions révèle, par contraste, le danger inhérent à la réduction des « structures formelles » aux « langages symboliques » (i.e. à la logique non géométrique), ainsi que le fait pourtant, paradigmatiquement, la philosophie analytique. Nous proposons en lieu de cela de réanimer, suite au brillant exemple de la géométrie des oppositions, le paradigme alternatif du « structuralisme », puisque la notion de « structure » est bien plus riche (ne se réduisant pas à la seule logique) et ouvre à des formalisations systématiquement perdues par le fétichisme de la « logique pure »., The present work is devoted to the exploration of some formal possibilities suggesting, since some years, the possibility to elaborate a new, whole geometry, relative to the concept of “opposition”. The latter concept is very important and vast (as for its possible applications), both for philosophy and science and it admits since more than two thousand years a standard logical theory, Aristotle’s “opposition theory”, whose culminating formal point is the so called “square of opposition”. In some sense, the whole present enterprise consists in discovering and ordering geometrically an infinite amount of “avatars” of this traditional square structure (also called “logical square” or “Aristotle’s square”). The results obtained here go even beyond the most optimistic previous expectations, for it turns out that such a geometry exists indeed and offers to science many new conceptual insights and formal tools. Its main algorithms are the notion of “logical bi-simplex of dimension m” (which allows “opposition” to become “n-opposition”) and, beyond it, the notions of “Aristotelian pq-semantics” and “Aristotelian pq-lattice” (which allow opposition to become p-valued and, more generally, much more fine-grained): the former is a game-theoretical device for generating “opposition kinds”, the latter gives the structure of the “opposition frameworks” containing and ordering the opposition kinds. With these formal means, the notion of opposition reaches a conceptual clarity never possible before. The naturalness of the theory seems to be maximal with respect to the object it deals with, making this geometry the new standard for dealing scientifically with opposition phenomena. One question, however, philosophical and epistemological, may seem embarrassing with it: this new, successful theory exhibits fundamental logical structures which are shown to be intrinsically geometrical: the theory, in fact, relies on notions like those of “simplex”, of “n-dimensional central symmetry” and the like. Now, despite some appearances (that is, the existence, from time to time, of logics using some minor spatial or geometrical features), this fact is rather revolutionary. It joins an ancient and still unresolved debate over the essence of mathematics and rationality, opposing, for instance, Plato’s foundation of philosophy and science through Euclidean geometry and Aristotle’s alternative foundation of philosophy and science through logic. The geometry of opposition shows, shockingly, that the logical square, the heart of Aristotle’s transcendental, anti-Platonic strategy is in fact a Platonic formal jungle, containing geometrical-logical hyper-polyhedra going into infinite. Moreover, this fact of discovering a lot of geometry inside the very heart of logic, is also linked to a contemporary, raging, important debate between the partisans of “logic-inspired philosophy” (for short, the analytic philosophers and the cognitive scientists) and those, mathematics-inspired, who begin to claim more and more that logic is intrinsically unable to formalise, alone, the concept of “concept” (the key ingredient of philosophy), which in fact requires rather geometry, for displaying its natural “conceptual spaces” (Gärdenfors). So, we put forward some philosophical reflections over the aforementioned debate and its deep relations with questions about the nature of concepts. As a general epistemological result, we claim that the geometrical theory of oppositions reveals, by contrast, the danger implicit in equating “formal structures” to “symbolic calculi” (i.e. non-geometrical logic), as does the paradigm of analytic philosophy. We propose instead to take newly in consideration, inspired by the geometry of logic, the alternative paradigm of “structuralism”, for in it the notion of “structure” is much more general (being not reduced to logic alone) and leaves room to formalisations systematically missed by the “pure partisans” of “pure logic”.
Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2009 ; Th. 2116
Keywords: géométrie des oppositions; n-opposition; carré des oppositions; carré logique; hexagone logique; bi-simplexes logiques; poly-simplexes logiques; contradiction; logique modale; concept; logiques spatiales; géométrie n-dimensionnelle; symétrie centrale; simplexes; pq-sémantique aristotélicienne; pq-treillis aristotélicien; espaces conceptuels.; geometry of oppositions; n-opposition; square of opposition; logical square; logical hexagon; logical bi-simplexes; logical poly-simplexes; contradiction; modal logic; concept; spatial logics; n-dimensional geometry; central symmetry; simplexes; Aristotelian pq-semantics; Aristotelian pq-lattice; conceptual spaces.