Inégalités géométriques pour des valeurs propres de Steklov de graphes et de surfaces - Perrin, Hélène (My University, 2023)
Cette thèse est consacrée à l’obtention d’inégalités géométriques pour des valeurs propres de Steklov de variétés riemanniennes de dimension 2 et de graphes. Les résultats obtenus concernent différentes situations. D’un côté, je m’intéresse à la géométrie de la première valeur propre non nulle de Steklov σ1 d’un graphe à bord. Pour cette valeur propre, je donne une borne inférieure qui dépend d’une borne supérieure sur le diamètre extrinsèque du bord et d’une borne supérieure sur le nombre de sommets du bord. Un autre résultat est une borne supérieure pour certains sous-graphes d’un graphe de Cayley à croissance polynomiale, qui montre en particulier que σ1 tend vers 0 lorsque le nombre de sommets du sous-graphe tend vers l’infini et généralise ainsi un résultat de Han et Hua obtenu pour des sous-graphes de Zn. Un deuxième but de la thèse est d’obtenir des bornes inférieures pour la première valeur propre non nulle de Steklov σ1 d’une variété riemannienne M dont le bord a plusieurs composantes connexes. Dans ce cas, la géométrie de M loin du bord peut avoir une forte influence sur σ1. Afin de préciser la forme de cette relation on étudie les variétés riemanniennes dont le bord a un voisinage cylindrique. En dimension 2, en supposant que la courbure de Gauss de M est bornée inférieurement, je donne une borne inférieure qui dépend d’une borne supérieure sur le diamètre extrinsèque du bord, d’une borne supérieure sur la longueur du bord et d’une borne inférieure sur la rayon d’injectivité des points d’un certain sous-ensemble de M. Finalement, je donne des bornes inférieure et supérieure pour les premières valeurs propres de Steklov d’une surface hyperbolique à bord géodésique en fonction de la longueur de certaines familles de géodésiques qui séparent le bord. Ce résultat est similaire à un résultat classique de Schoen, Wolpert et Yau pour les valeurspropres du laplacien d’une surface hyperbolique fermée. Abstract The aim of this thesis is to obtain geometric inequalities for Steklov eigenvalues of 2-dimensional Riemannian manifolds and graphs. The results obtained relate to different situations. On the one hand, our interest focuses on the geometry of the first non-zero Steklov eigenvalue σ1 of a graph with boundary. For this eigenvalue, we give a lower bound which depends on an upper bound on the extrinsic diameter of the boundary and on an upper bound on the number of vertices of the boundary. Another result is an upper bound for some subgraphs of a Cayley graph with polynomial growth, which shows in particular that σ1 tends to 0 when the number of vertices of the subgraph tends to infinity and thus generalizes a result of Han and Hua obtained for subgraphs of Zn. A second goal of the thesis is to obtain lower bounds for the first non-zero Steklov eigenvalue σ1 of a Riemannian manifold M whose boundary has several connected components. In this case, the geometry of M far from the boundary can have a strong influence on σ1. In order to specify the form of this relation we study Riemannian manifolds whose boundary has a cylindrical neighborhood. In dimension 2, assuming that the Gaussian curvature of M is bounded below, we give a lower bound which depends on an upper bound on the extrinsic diameter of the boundary, an upper bound on the length of the boundary and a lower bound on the radius of injectivity at the points of a certain subset of M. Finally, we give lower and upper bounds for the first Steklov eigenvalues of hyperbolic surfaces with geodesic boundary, which depend on the length of some families of geodesics that separate the boundary.This result is similar to a classical result of Schoen, Wolpert and Yau for Laplace eigenvalues of a closed hyperbolic surface.
Acceptée sur proposition du jury : Prof. Bruno Colbois, directeur de thèse, Université de Neuchâtel, Suisse Prof. Alexandre Girouard, rapporteur, Université Laval, Québec, Canada Prof. Asma Hassannezhad, rapporteure, University of Bristol, Royaume-Uni Prof. Alain Valette, Université de Neuchâtel, Suisse Soutenue le 1er juin 2023 No de thèse : 3043
Keywords: géométrie spectrale; problème de Steklov; opérateur Dirichlet-Neumann; valeur propre; borne inférieure; borne supérieure; graphe à bord; surface hyperbolique; spectral geometry; Steklov problem; Dirichlet-to-Neumann operator; eigenvalue; lower bound; upper bound; graph with boundary; hyperbolic surface