Geodesic growth of groups - Brönnimann, Julie Marie (My University, 2016)
L’objectif de cette thèse est d’étudier la croissance géodésique de groupes finiment générés.
Premièrement, nous étudierons les produits directs, libres et produits en couronne. Plus spécifiquement, nous donnerons des bornes inférieures du taux de croissance géodésique minimal pour des groupes abéliens et des bornes supérieures du taux de croissance géodésique minimal de produits directs. De plus, nous donnerons le taux de croissance géodésique minimal d’un produit libre de la forme C2 ∗ Cn, une borne inférieure du taux de croissance géodésique d’un produit libre, par rapport à l’ensemble générateur standard, et prouverons que chaque produit libre dont le taux minimal géodésique est atteint est Hopfien. Enfin, nous étudierons plus en détails la croissance géodésique des groups de Lamplighter et donnerons le taux de croissance géodésique des groupes L2 et L3 par rapport à l’ensemble générateur standard.
Ensuite, nous étudierons le taux de croissance géodésique de groupes agissant sur des arbres enracinés k-réguliers, des groupes connus ou conjecturés pour avoir une croissance sphérique intermédiaire. Nous prouverons, en utilisant les graphes de Schreier, que ces groupes, à l’exception du groupe de Gupta-Fabrykowski dont la croissance géodésique est encore inconnue, ont tous une croissance géodésique exponentielle.
Enfin, nous étudierons la rationalité de la série génératrice de la croissance géodésique pour le cas des produits de graphes et les produits en couronne. Nous prouverons que le produit libre et le produit direct de deux groupes à croissance géodésique rationnelles ont tous deux une croissance géodésique exponentielle par rapport à l’ensemble générateur standard. Par la suite, nous prouverons que le produit en couronne A ≀ G, où A a une croissance géodésique rationnelle et G est fini et agit sur A, a une croissance géodésique rationnelle. Nous démontrerons aussi que les groupes de Lamplighter L2 et L3 ont une croissance géodésique rationnelle par rapport à l’ensemble générateur standard. Finalement, nous donnerons un exemple de groupes qui, par rapport à des systèmes de générateurs bien précis, ont la propriété h-FFTP mais n’ont pas un langage de géodésiques réguliers., The objective of this Thesis is to study the geodesic growth of finitely generated groups.
Firstly, we study direct, free and wreath products of groups. More specifically, we give lower bounds for the minimal geodesic growth rates of abelian groups and upper bounds for the minimal geodesic growth rates of direct products of two groups. Moreover, we give the minimal geodesic growth rate of a free product of the form C2 ∗ Cn, a lower bound for the geodesic growth rate of a free product of two groups, with respect to the standard generating set, and prove that every non trivial free product whose minimal geodesic growth rate is achieved is Hopfian. Also, we study the geodesic growth rate of Lamplighter groups and give the geodesic growth rates of L2 and L3 with respect to the standard generating set.
Secondly, we study the geodesic growth rate of some groups acting on regular rooted trees, groups which were known or conjectured to have intermediate spherical growth. We prove, using Schreier graphs, that almost all of these groups have exponential geodesic growth. The exception is the Gupta-Fabrykowski group, for which we show that it is not feasible to prove that the geodesic growth is exponential using Schreier graphs.
Finally, we study the rationality of geodesic growth series for graph products and wreath products. We prove that the free product and direct product of two groups of rational geodesic growth have rational geodesic growth with respect to the standard generating sets. Afterwards we prove that the wreath product A ≀ G, where A has rational geodesic growth and G is finite and acts on A, has rational geodesic growth, and that the Lamplighter groups L2 and L3 have rational geodesic growth. Finally, we give an example of a group which has the h-FFTP property and a non-context-free geodesic language.
Thèse de doctorat : Université de Neuchâtel, 2016
Keywords: Croissance géodésique; série génératrice de croissance géodésique; croissance sphérique intermédiaire; produit direct; produit libre; produit en couronne; langage de géodésiques; rationalité; propriété h-FFTP; Geodesic growth; geodesic growth series; intermediate spherical growth; direct product; free product; wreath product; geodesic language; rationality; h-FFTP property