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    Some applications of combinatorics: from group theory to mathematical ecology
    (Neuchâtel, 2021)
    Cette thèse comporte quatre chapitres qui, à première vue, peuvent sembler n'avoir pas grand-chose à faire ensemble. Cependant, un fil rouge est toujours présent : la théorie des graphes et la combinatoire. Chaque chapitre applique des outils de combinatoire, de la théorie algébrique des graphes en passant par les fonctions génératrices, nous appliquons des méthodes combinatoires pour attaquer divers problèmes. Au fil des chapitres, nous passerons de la théorie géométrique des groupes à l'écologie théorique.
    Dans le premier chapitre, nous nous penchons sur les "dessins d'enfants" (surnommés ainsi par Grothendieck) ou également appelés cartes combinatoires (et leurs généralisations). Nous prouvons que ces objets peuvent admettre tout groupe fini comme groupe d'automorphismes. En prouvant cela, nous exhibons un algorithme permettant de générer une grande variété de cartes combinatoires ayant pour groupe de symétries un groupe fini donné.
    Le second chapitre traite de l'énumération asymptotique des sous-groupes des groupes de Hecke. Nous associons à chaque sous-groupe d'un groupe de Hecke un graphe de manière canonique. Ensuite, en utilisant la théorie combinatoire des espèces de structures, nous énumérons les graphes et donc ainsi les sous-groupes.
    Le troisième chapitre se consacre à l'étude de l'espace des graphes 3-réguliers. Ces graphes sont un modèle pour les décompositions en pantalons de surfaces et donc l'espace de tous ces graphes, reliés par des transformations appelées mouvements de Whitehead, sont un modèle d'une partie de l'espace de Teichmüller d'une surface de genre g. Nous prouvons dans ce chapitre que cet espace n'est pas expanseur, pour une définition d'expansion adaptée au cas d'une famille des graphes dirigés dont le degré est croissant.
    Finalement, le dernier chapitre est une incursion dans le monde de l'écologie théorique. Nous étudions les réseaux trophiques et les réseaux de cooccurrence et proposons une nouvelle approche pour détecter des nœuds dont le rôle est crucial pour la stabilité et la cohésion de l'écosystème en question. Notre approche prend en compte à la fois le réseau trophique dans son ensemble ainsi que la position trophique de chacune des espèces considérées.
    Abstract
    This thesis is composed of four apparently different chapters that each showcase applications of algebraic combinatorics and algebraic graph theory to the study of diverse subjects. The problems tackled here range from enumeration of combinatorial and algebraic structures to mathematical biology.
    In the first chapter, we investigate dessins d'enfants, meaning "children's drawings". This name was given by Grothendieck. Nowadays they are called combinatorial maps and in the first chapter we focus on them and their generalizations. We prove that such combinatorial objects can have any finite group of automorphisms, and we describe an algorithm to construct such a combinatorial structure with given symmetry group.
    The second chapter looks at enumerating subgroups of Hecke groups. By trying to enumerate graphs and using the powerful tools of generating functions, we give asymptotic estimates regarding the number of finite index subgroups of such groups.
    The third chapter looks at a space of graphs as a combinatorial model for pants decomposition of surfaces. Closely related to Teichmüller space, this combinatorial model focuses on the so-called \emph{wide part of the moduli space}. We look at the expansion properties of this graph of graphs.