CONGRUENCES POUR QUELQUES
SUITES CLASSIQUES DE NOMBRES;
SOMMES DE FACTORIELLES ET
CALCUL OMBRAL
THESE
présentée à la faculté des sciences, pour obtenir
le grade de docteur es sciences, par
Anne Gertsch Hamadene
UNIVERSITE DE NEUCHATEL
Institut de mathématiques
Rue Emile-Argand 11
Case postale 2
CH-2007 NEUCHATEL (Suisse)
IMPRIMATUR POUR LATHESE
Congruences pour quelques suites classiques de
nombres; sommes de factorielles et calcul ombrai
de Mme Anne Gertsch Hamadene
UNIVERSITÉ DE NEUCHATEL
FACULTÉ DES SCIENCES
La Faculté des sciences de l'Université de
Neuchatel sur le rapport des membres du jury,
MM. A. Robert (directeur de thèse), U. Suter,
et L. van Hamme (Vrije Uni. Bruxelles)
autorise l'impression de la présente thèse.
Neuchatel, le 18 février 1999
Le doyen:
F. Stoeckli
Avant-propos
Le présent travail de thèse est constitué du texte ci-après ainsi que des
deux articles [7] et [8]. Dans l'article [7], nous avons démontré de nouvelles
propriétés de congruence pour les nombres et les polynômes de Bell, et ce
en utilisant des méthodes originales de calcul ombrai. Dans l'article [8], il
est démontré plusieurs propriétés de divisibilité des nombres harmoniques
généralisés conjecturées par Y. Matiyasevich.
Les 6 premiers paragraphes du texte ci-après constituent une étude di-
versifiée de problèmes liés à des sommes de factorielles.
Le paragraphe 1 énonce les deux conjectures qui ont motivé ce travail,
à savoir l'irrationnalité de la somme (infinie) des factorielles en analyse p-
adique et l'hypothèse de Kurepa concernant les sommes finies de factorielles.
On rappelle ensuite quelques définitions et propriétés du système des po-
lynômes de Pochhammer ainsi que des nombres de Stirling de première et de
deuxième espèce.
Le paragraphe 2 introduit une fonction génératrice qui, tantôt sous la
forme d'une série de Mahler, tantôt sous celle d'une série de puissances,
permet d'exprimer les problèmes de sommes de factorielles liés aux deux
conjectures du paragraphe 1. D'autre part, l'hypothèse de Kurepa est mise
en relation avec l'analyse combinatoire : le nombre de permutations sans point
fixe des éléments d'un ensemble fournit un énoncé équivalent à l'hypothèse
de Kurepa.
Dans le paragraphe 3, on démontre des congruences fortes mettant en
relation les nombres de Stirling de première espèce avec ceux de deuxième
espèce.
Les congruences du paragraphe 3 permettent de construire un lien entre
des sommes partielles (finies) de factorielles et les polynômes de Bell; en
particulier, un énoncé reliant l'hypothèse de Kurepa aux nombres de Bell
constitue le point fort du paragraphe 4.
Le paragraphe 5 reprend, éclaire et améliore certains résultats de B. Dra-
govich ([5], [6]) à propos de formules qui font intervenir des sommes, finies
ou infinies, de factorielles.
Au paragraphe 6, des méthodes de calcul ombrai permettent en particulier
d'améliorer un résultat de B. Dragovich,
Enfin, le paragraphe 7 consiste en une généralisation des congruences
fortes pour les nombres de Bell qui se trouvent dans [7]. Cette généralisation
î
s'applique aux polynômes de Bell-Carlitz, à savoir à la généralisation de L.
Carlitz des nombres de Bell. Les méthodes utilisées sont analogues à celles
de [7].
Je tiens à remercier chaleureusement toutes les personnes qui m'ont aidée
à mener à bien ce travail.
Mes remerciements vont en priorité à mon directeur de thèse, Monsieur
Alain Robert, qui m'a sans cesse encouragée au cours de ces quatre années.
A de nombreuses reprises, j'ai bénéficié de ses exposés, tous plus intéressants
les uns que les autres. Il m'a en outre fait partager son goût pour les rai-
sonnements mathématiques clairs et astucieux. Son enthousiasme et sa dis-
ponibilité de chaque instant m'ont permis de travailler dans des conditions
optimales.
Je remercie sincèrement Messieurs Ulrich Suter et Lucien van Hamme qui
ont accepté de faire partie de mon jury de thèse.
Je remercie aussi Messieurs Maxime Zuber et Christian Vonlanthen qui
m'ont beaucoup encouragée et orientée au début de mon travail, ainsi que les
collègues - et néanmoins amis - qui se sont succédés dans mon bureau, à savoir
Paul-André Garessus, Valérie Schüren, Eva Schlaepfer et Alexandre Junod.
us m'ont été d'un grand soutien, aussi bien mathématique que psychologique.
Mes remerciements vont également à mon mari Slimane Hamadene ainsi
qu'à toute ma famille, qui, toujours présents, m'ont encouragée lors des bons
et des mauvais moments de ces quatre années...
Pour terminer, je remercie tous les professeurs et les assistants de l'institut
de mathématiques qui, à plusieurs reprises, m'ont soutenue et conseillée dans
mon travail. Ils m'ont habituée à. une ambiance de travail chaleureuse et
sympathique.
ii
Table des matières
1    Introduction                                                                                     3
1.1    Deux conjectures.........................     3
1.2    Polynômes de Pochhammer et nombres de Stirling.......     4
2    Une fonction génératrice                                                                4
2.1    Série de Mahler..........................     4
2.2    Analyse combinatoire.......................     5
2.3    Série de puissances........................     7
2.4    Tronquées de /..........................     9
3    Congruences fortes pour les nombres de Stirling                      Il
4    Polynômes et nombres de Bell                                                     16
5    Sommes de factonelles selon B. Dragovich                                18
5.1    Sommes infinies..........................    18
5.2    Sommes finies...........................   23
6    Calcul ombrai                                                                                 26
6.1    Une autre application.......................   27
7    Polynômes de Bell-Carlitz                                                           29
7.1    Quelques congruences polynomiales...............   29
7.2    Calcul ombrai...........................   30
7.3    Les polynômes de Bell-Carlitz..................   33
1
1    Introduction
Pour un nombre premier P1 on désigne par Zp l'anneau des entiers p-adiques,
par Qp le corps des nombres p-adiques, complété de Q pour la valeur absolue
p-adique usuelle |.|p (normalisée par |p|p = 1/p), et enfin par Cp le complété
de la clôture algébrique de Qp.
1.1    Deux conjectures
La motivation de ce travail est basée sur les conjectures ci-après.
Conjecture 1.1.- La somme
n>0
convergente dans Qp, est un nombre irrationnel (i.e. S € Qps Q). Plus fort :
S est un nombre transcendant.
Conjecture 1.2 (hypothèse de Kurepa).- Soit p un nombre premier
impair; alors la somme
/cp=    £    n!
0<n<p-l
n'est jamais congrue à zéro modulo p (i.e. \kp\p = 1 pour tout p premier
impair).
REMARQUE.- Pour p premier impair, kp est pair et kp/2 est impair dès que
p > 3 ; en d'autres termes, kp = 2 mod 4 pour p > 3.
Exprimons quelques valeurs de kp modulo p.
P	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47
kp mod p	0	1	4	6	1	10	13	9	21	17	2	5	4	1$	18
A priori il est étrange que l'on ne puisse rien dire de ces sommes alors que
53„>o n-n\ est. bien connue : elle vaut —1 dans Z„ !
Une approche naïve du problème consiste à considérer un diviseur premier
q > 2 de «p. Si q = p, alors l'hypothèse de Kurepa est fausse. Si q < p, alors
q divise n! pour n: q < n < p — 1, donc q divise ]Co<n<a-i n\ = Kq et
l'hypothèse de Kurepa est fausse.
Ainsi, l'hypothèse de Kurepa est équivalente à l'énoncé suivant.
"Soit q > 2 un diviseur premier de kp; alors q > p".
3
1.2    Polynômes de Pochhammer et nombres de Stirling
On considère le système de polynômes de Pochhammer {(x)n}n>o défini par
(x)0 = 1 et (xJn = x(x - 1)... (x - n + 1) = n\(*n) (n > 1). Le degré de
(z)n vaut n et ces polynômes forment donc une base de Q[x).
PROPOSITION l.l.- Pour y > Ì et p un nombre premier impair, on a la
congruence de Bauer généralisée [7]
(x)p* = {xp-xfl modp"Zp[x]       (1).
Pour p =s 2, la même congruence est valable modulo 2""1Zj[X].
Les nombres de Stirling de première espèce m (n,k > 0) sont les entiers
positifs définis par la formule
m. = E f"l (-1)
n
k
0<fc<n L   J
n-kxk
Ils vérifient la relation de récurrence
n + 1
Jk
+
n
Jfc-1
(2).
(3).
Les nombres de Stirling de deuxième espèce j £ \   (n, /fc > 0) sont les entiers
positifs définis par la formule
Ils vérifient la relation de récurrence
¦=E{2}w.   w-
(THH+^1) (5)-
2    Une fonction génératrice
2.1    Série de Mahler
On considère le développement formel
1-«+.*(*-1)-¦*(* ^ !)(* - 2) ±... = J3(-1)"(*)B,
4
qui s'écrit aussi
§<-"-¦<:)¦
Puisque les coefficients Cn = (—l)nn! tendent p-adiquement vers 0, il s'agit
d'une
d'une série de Mahler dans Zp et cette série définit une fonction continue
Zp. L'évaluation en x = — 1 donne
n>0
On voit aisément que / vérifie la relation
.     /(X) = I-XZ(I-I),
relation dont on tire les valeurs particulières
n	...    -3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6  ...
/(»)	... 5/2 - 1	5-1	S	1	0	1	-2	9	-44	265 ...
En particulier, si S est irrationnelle (resp, transcendante), alors /(—n) l'est
aussi pour tout n € N.
2.2    Analyse combinatoire
Considérons le groupe Sn des permutations de l'ensemble {1,2,..., n} ; soit
Dn le nombre de permutations sans point fixe de {1,2,..., n} ; ces permuta-
tions sont parfois appelées "dérangements" de {1,2,..., n}.
On connaît les formules [26]
Dn = {n- I)[Dn-! + Dn^2)      {Do = 1, D1 = 0),
Dn = nDn-!+(-l)n       (D0 = I).
et de manière explicite
Dn = (n)» - (n)B_! + (n)n_2 * ... = £ ^(-I)V
Remarque^.- 1) Les formules de récurrence présentent des analogies avec
celles qui définissent la factorielle. En effet, on a
n! = (n - l)[(n - 1)! + (n - 2)!]       (0! = 1,1! = 1)
et                       n! = n(n - 1)!       (0! = 1).
2) Le nombre Dn est l'entier le plus proche de — =-----------.
e            e
Reprenons notre fonction
/M = D-1J4W*-
Pour x = n 6 N, on obtient
/w = D-i)*(»)* = (-1)" E (-0^(H)4 = (-I)-Dn.
k>0                                         0<k<n
PROPOSITION 2.1.- Pour n = p — 1, auec p un nombre premier impair, on
a
Dp-i = K1, mod p.
Preuve.- On calcule simplement
DP-i = /(P - 1) = /(-1) = kp mod p.                        D
COROLLAIRE 2.1.- L'hypothèse de Kurepa est équivalente à l'énoncé
Dp-i 0 0 mod p
quel que soit p premier impair.
Rappelons qu'une permutation est dite pâtre si elle s'écrit comme produit
d'un nombre pair de transpositions, et impaire sinon. Soient JV+, respective-
ment JV", le nombre de permutations paires, respectivement impaires sans
point fixe de l'ensemble {1,2,..., n). On connaît la somme JV+ + JV" = Dn.
On a de plus
JV+-JVn" =(-1)^(,,-1).
Pour n = p — 1, p premier impair, il s'ensuit
tfpti - ^L1 = ~(P - 2) = 2 mod p
alors que
JVp+-! + JV~_, = Dp-! = Kp mod p.
On en tire les congruences
Kp = 2(JVpL1 - 1) mod p    et     kp = 2(JVJL1 + 1) mod p.
Soit G un groupe et X un G-ensemble (i.e. G agit sur X via a : GxX —? X).
Rappelons le lemme de Bumside [24].
6
LEMME 2.1.- Supposons que X et G sont finis; soit N le nombre de G-
orbites de X ; alors
où F(t) est le nombre de points x G X fixés par t € G.
APPLICATION.- Soit G = Sn; alors [G\ = n! et N = 1 (G est transitif).
Dénotons par a,-, 0 < i < n, le nombre d'éléments de Sn qui ont i points
fixes. Alors ao = Dn et
|5„| = n!=  £ Ui = Dn-T £ a;.
0<«'<n                        !<«'<»
D'autre part, le lemme de Burnside fournit
\Sn\ ^nI= Y, FW= X>;=  J^ ta.-.
On obtient donc
Dn=n!-  £a<=  X) (i-l)o(
Kt<n            l<.'<n
et l'hypothèse de Kurepa (n = p — 1) est équivalente à
Y"]   (t — l)a,- ^ O mod p
i<«<p-i
ou encore à
y^   a,- + 1 5É O mod p
l<«<p-l
grâce à la congruence (p - 1)! = —1 mod p (Wilson).
2.3    Série de puissances
Les résultats suivants vont permettre d'exprimer / soub forme de série de
puissances.
PROPOSITION 2.2,- Les congruences
y+j    = O mod p"
sont valables pour tous v > 1, O < k < p"-1 et j € N.
7
PREUVE.- Pour p > 2 (le cas p = 2 se traite de manière analogue), on tire
des relations (1) et (2) (voir 1.2)
^-V-1-!)'"-1=   £   M (-if-kxk mod /ZJx].
Dans le membre de gauche, la première puissance de x apparaissant est xv"   ,
ce qui implique que
= 0 mod pv       {0<k<f-1).
Par induction sur j, on montre alors aisément que
= 0 mod p"        (i/ > I1   0 < k < p""1, j e N),
k
et ce grâce à la formule de récurrence (3) (voir 1.2) appliquée à n = p" + i
et à k < jf-1.                                                                                         D
COROLLAIRE 2.2.- Pour tout k > 0, la suite ( \mîk\) converge vers 0 dans
Zp lorsque m —> oo.  On peut donc définir
m>0 L             J
(car Zp est complet) pour tout k > 0.
PREUVE.- Soit k € N fixé et v > 1 tel que p"-1 > fc; alors, pour tout pi>u
etm> p*1, on a
["fi-M-0"-*
et on en déduit la convergence de  *"£    vers 0.                                        G
Grâce à la formule (2) (voir 1.2) et au corollaire 2.2, la fonction / s'écrit
maintenant en série de puissances
/w = E E [;1 (-i)'** - 5>**
n>0  0<Jb<n L   J
ou
— (-»'E ; =(-D'E
n>k
m>0 L
*>0
m + k
k
8
COROLLAIRE 2.3.- La fonction f est localement analytique; elle est analy-
tique dans toute boule stricte B<i(m) C Cp,    m € {0,1,..., p — 1}.
PREUVE,- Comme jat| < 1 VA: > 0, f(x) est analytique dans la boule
B<i(0) C Cp. En vertu de l'égalité
/(-I)-^.
/ est aussi analytique dans B<i(l) C CP, et par extension dans toute boule
B<iHcC„    m €{0,1,...,p-1}.                                                      G
On a de plus
s = /(-iH£<.t(-i)' = £E[*]=£"!;
k>0
Jt>0   n>Jt
n>0
c'est la somme (par colonnes) de tous les nombres de Stirling de première
espèce! Or, sachant que   "JM = n!, on a aussi
* = !> = £
«>0
n>0 L
ce qui correspond à la somme des éléments d'une colonne du tableau des
nombres de Stirling de première espèce ! Il en découle en particulier
k>2   n>k L   J
E E [21 = -1-5:-"1-
n>0
En dérivant successivement la relation /(x) = 1 — xf(x — 1), on obtient
/W(x) = -nfln-l\x ~ 1) - x/W(* - 1),    n > 1.
En particulier /(n>(0) = -n/^H-l) et donc
S = /(-1) = -/'(O)- J>!.
n>0
2.4    Tronquées de /
Pour un nombre premier p, considérons les p premiers termes de la somme
définissant / en posant
0<T1<JI-1
On a alors
Q<n<p-1
Proposition 2.3.- La relation
/(l)=Kp(x)-(«)p/(l-p)
es( valable pour tout nombre premier p.
PREUVE.- On a simplement
m>0                                                    m>0
=    Kp(x)-(X)P/(X-P)-                                                                         Ü
Il s'ensuit que
/(x)   =   Kp(x)   - (x)p   £   (-I)^x-P)n
0<n<p-l
0<n<p-l
-(x)3p  £....   - ...
0<n<p-l
=      Kp(x) - (x)pKp(x) - (x)2pKp(x) - ...   mod pZp[x]
et au total
f(x) = /Cp(x) (1 - (x)p - (x)3p - ...) mod p Zp[x].
Sachant que (x)nj) = (x)£ mod pZp[x], on peut encore écrire (dans Qp(x))
1-(X)P-(Z)31,-... =2-^)^2--4^-   modPZM
et donc
f(x) - Kp(x) \2 - 1_x9+    ) = Kp(x)   1_XxP + xX   mod pZp[x].
On a vu que /(—1) = 5Zrl>on' = Kp mo(* pZp ; modulo p2, on obtient la
10
Proposition 2.4.- On a
/(-1) == (1-p)k„ mod p2Zp.
Preuve.- On écrit
£n!   =   Kp+p!(l + (p+l) + (p+l)(p + 2) + ...)   mod p%
=   KP+p(p-l)!/cp   mod P2Zp
et le résultat découle de la congruence de Wilson (p — 1)! = —1 mod p. G
REMARQUE.- Modulo p3, on obtient de manière analogue
/(-l) = En! = Kp + p!    Y^   (P + fc)fc+2P2*P modp3Zp
qui s'écrit aussi
/(-1)   =   En!   =   kp + pÎKp -f 2p2Kp + p • p!   £   fcîjfc  mod p3Zp
n>0                                                                        0<fc<p-l
=   Kp + p\Kp + p3 I 2«p -    ^    fc!i/k)    mod p3Zp
V         0<fc<p-l        /
où /ft représente le fc-ième nombre harmonique. Dans le cas général, on a la
formule
/(-l)=En!   =     E(W!    E   (lp+k)kmodp^lZp
3    Congruences fortes  pour  les  nombres  de
Stirling
À l'instar du triangle de Pascal formé des coefficients binomiaux , on peut
considérer les triangles de Stirling formés des nombres de Stirling de première,
respectivement de deuxième espèce. Appelons Ti le triangle de Stirling de
11
première espèce et Ti le triangle de Stirling de deuxième espèce ; on a
	1 0	1			
	0	1	1		
	0	2	3	1	
	0	6	11	6	1
T1 =	:    0	24	50	35	10
0    120      274       225       85       15       1
0    720     1764     1624     735     175     21     1
0   5040   13068   13132   6769   1960   322   28   1
et
r2 =
1			
0   1			
0   1	1		
0   1	3	r	
0   1	7	;6	1
0   1	15	25	10
1
0   1    31     90      65       15       1
0   1    63   301    350     140     21     1
0   1   127   966   1701   1050   266   28   1
Les relations de récurrence (voir 1.2) permettent de calculer les éléments de
la (n -f l)-ième ligne du triangle à partir de ceux de la n-ième ligne.
Considérons maintenant les triangles r«p) et T3(p) formés des éléments des
lignes (et des colonnes) d'indice 1,..., p — 1 de 7\ et T% calculés modulo p ;
pour p — 3,5,7,11, on observe
Tf =
Yl       -       1     1	i2    —	1 1   1
1 1     1 =    2   3   1 1111	Xf> =	1 1   1 1   3   1 12   11
12
Tf =
1
1    1
2   3   1
6   4   6
3     1   O
T(ii) =
111111
1
1    1
2    3  1
6   0 6  1
2   6 2 10   1
10  10 5  8   4   1
5   4  7  9   10  10 1
2   0 9 4   2   3 6 1
5   268   9   4731
1    111    1    11111
	1
	1 1
r<7> =	1   3   1 10   6   1
	114   3   1
	13   6   2   11
	1
	1 1
	1 3 1
	176 1
r(u) _    1 4 3 10  1
17            1 9 2 10 4   1
18 4  9   8 10 1
169  7   5   2 6 1
1 2 0  4   10 6 0 3 1
1 5 2  5   10 2 6 2 1 1.
On observe que les lignes de Tf' deviennent les colonnes de T^ \ lues depuis
la droite et de bas en haut. En d'autres termes, on observe les congruences
M ¦ (::.1
mod p,        1 < n,k < p— 1.
Pour p premier impair, on va démontrer une généralisation de ces congruences.
Partons de la congruence polynomïale (1) du paragraphe 1.2, qui s'écrit aussi
E Kl(-i)t+1*'^ E (^y^r^-^'-^mod,fZM-
0<fc<p*
0<«"<p"
Dans le membre de droite, aucune puissance de x n'apparaît entre xp" & 1^
et X^'. On en tire les congruences
[/-J ¦
= 0 mod p",        1 <fc<p-l        (?).
Lemme 3.1.- On a
p"-l
= 1 mod p",        1 <fc<p-l.
13
Preuve.- On a K_J   = 1 qui règle le cas k - 1. Supposons que  J*l)   =
1  mod p" soit satisfaite pour un / : 1 < / < p — 1 et utilisons la relation de
récurrence (3) (voir 1.2) ; grâce à (*), on obtient
0 =

= (P" - 1)
y-i
+
p*-i
p^-C' + i)
mod p"
=. 1  mod p".
a
et finalement par hypothèse L*l#7+i)
THÉORÈME 3.1.- Soit p un nombre premier impair; les congruences
son/ valables pour 1 < », j < p — 1,  j/ > 1.
PREUVE.- Considérons le triangle Tj ' formé des p" — 1 premières lignes
(sans celle d'indice 0) du triangle de Stirling de première espèce modulo p" ;
on obtient
t(p") =
M M - [«] i ... i
(les 1 pour les p — 1 derniers termes de la (p" — l)-ième ligne proviennent du
lemme 3.1).
Intéressons-nous maintenant plus particulièrement au triangle T constitué
des p— 1 dernières colonnes (et lignes) de Tf . En posant £>C] = Sij pour
alléger les notations, on a
T =
«SI
Ip"-(p-i)J
Êtï
p"-l
P--1
Sp-I1P-I
SilP-i
... Su
14
et les dernières observations fournissent
1
*     1
T =     \    '•,    "-.                mod p".
+   -...*      1
1    .........   1
On construit T (modulo p") à l'aide de la relation de récurrence (3) de 1.2,
qui devient ici
p"-(m-l)
=   <P*-0
p"-/
p--(m-l)r- \f-m
+
p"-l
?
-(m Ll)] + [^- m]   mod?-
Dans la notation abrégée, cela donne encore
$i,m = Sj-I1Jn-I + l • £i,m-i mod p*
Considérons le triangle
r =
Sl, 2        02,2
Sl.p-1       ......     Sp-I1JJ-I
obtenu de T par une symétrie axiale. On a
1
1   1
*
1   *..
mod p"
*   1
mod  p",    1 < j' < p — 1
mod   p",     1 < t <p-l.
De plus, la relation 5i,m = 5(_iifn_i + l ¦ Si,m-i mod p*, valable pour
1 < /, m < p — 1, est la même que celle des nombres de Stirling de deuxième
espèce (5) (voir 1.2). Par induction, on en conclut que
Sj,i = j U   modpf,        l<i,j<p-l,
ce qui prouve le résultat annoncé.                                                             D
15
GÉNÉRALISATION.- Les congruences
T?
-i']S{j}   m0d^
valables pour 0 < j < i < p - 1 (^ > 1), le sont encore pour p < i < p",
i — p -f 1 < j < t,  i/ > 1.
PREUVE.- Cela découle des relations de récurrence (3) et (5) du paragraphe
1.2 ; pour 1 < j < i + 1 < p, on a
=   j
an-	-.}	
?:;]*	p"-0-i) p"->	mod
P"-(J-I) p"-i	-(P^-J)	P"-J
f-3 P*-(* + l)	mod p"	
mod p"
et on conclut par induction sur t.
Q
4    Polynômes et nombres de Bell
Les polynômes de Bell Bn(x) (n > 0) sont définis par
0<*<n
En particulier On(I) = 53o<fc<„ \ t.\ = Bn représente le n-ième nombre de
Bell, défini également comme étant le nombre de partitions d'un ensemble à
n éléments. Voici les premières valeurs
n	0	1	2	3	4	5	6	7	S	9	10	
Bn	1	1	2	5	15	52	203	877	4140	21147	115975	
et B0{x) = 1, B1(X) = x, B%(x) = x3 + *, Bz{x) = x3 + 3x3 + s,
B4{x) = x4 + Gx3 + 7x2 + x ...
PROPRIÉTÉS.- 1) Pour un nombre premier p, on a la congruence (due à
C.Radoux, [16])
Bp(x) = x -r xp mod pZ[x];
16
on en tire en particulier Bp = 2 mod p.
2) La relation de récurrence (5) de 1.2 montre que
Bn(x) = ï(B„_i(x) + SU(i))       (" > I)-
Co
mme
"+1    = ml
j     = m!, on constate que
*>= E n!= E (p-— in= E
0<n<p-l     0<n<p-l                                0<n<p-l L
p-n
1
Grâce aux congruences du paragraphe 3, on obtient le
THÉORÈME 4.1.- Soit p un nombre premier impair; alors
0<n<p-l   ^             *
La conjecture suivante constitue alors un corollaire équivalent à l'hypothèse
de Kurepa.
CONJECTURE 4.1.- Pour p premier impair, le (p— l)-ième nombre de Bell
Bp_i n'est jamais congru à 1 modulo p.
Les mêmes congruences permettent d'exprimer
—     2Jo<*<p-l Z/k<n<p-l( — 1)    [k\x
S   l+Ei<*<p.iEi<»<p.*(-l)fc {'»*}** mod PZ9[X)
et au total
kp(i)=1+    Yl   {-l)kBp.kxk modpZp[x].
i<*<p-i
On retrouve
Kp = Kp( — 1)   =        2_1      Bk   =   Bp-1 ~ *   rn°^ P'
0<k<p-l
Revenons maintenant aux polynômes de Bell Bn(x) = £0<Jt<n {£[ xk qui
vérifient Bn(I) = Bn. On va démontrer une congruence pour des sommes
partielles de factorlelles.
17
PROPOSITION 4.1.- Soit p un nombre premier impair; alors
£    H = (-I)^1BJP1(I)+ K9 mod pZP        (l<k<p)
0<i<fc-l
ou de manière équivalente
Y   «'! = (-l)fc^.(l) mod pZp       (1 < A < p).
PREUVE.- Les propriétés 1) et 2) permettent d'obtenir la formule
l+x"-1 S Sp_i(*) + £p-i(*) modpZp[x)
ou en d'autres termes
B'v_x{x) s I-B9-^x) +aTl modpZp[x].
En dérivant successivement cette expression, on obtient
BjSM s (-I)*"1 f   £   ^-^-ViW + l)  modpZp[x],
\0<t<fc-l                                           /
pour 1 < fc < p. En £ = I1 cela donne l'expression
Y    «'! = (-I)4-1BA(I) + ßp-i - 1  m«f pZp,        (1 < k < p)
0<i<k-l
dont on tire le résultat souhaité.                                                               D
5    Sommes de factorîelles selon B. Dragovich
On fera appel ici à quelques résultats de B.Dragovich [5J1 [6].
5.1    Sommes infinies
Considérons les séries
£,(/) = 5>!)7(»),        u > I1
n>0
où / G T est une fonction N -* Z„ ou une fonction bornée N -+ Qp (pour
assurer la convergence de la série dans Qp). Soient les opérateurs
<rv:       T   —>   T                 et          t :       T   —>   T
/(„)   h-*,   „"/(n)                             /(«)   _>¦/(„+ 1);
18
on pose encore T„ := tu» — I où I est l'opérateur identité.
Formule de sommation.- Soit g e T ; on a
Su(Tu9) = -5(0);
en d'autres termes
5>I)'((n + l)"*(n + 1) - 9(n)) = -fl(0).
n>0
Preuve,- On calcule simplement
Su(g)  = s(0) + Enai(»!)"ff(«)
=   S(O) + £n>0(n!r(n + l)"s(" + 1) = p(0) + 5„(t^j).      D
Corollaire 5.1.-5¾/e*wte$€ ^teWe que f(n) = (n+l)"s(n + l)-0(n),
c'esi-à-dire si f est dans l'image de l'opérateur Tv, alors on peut calculer la
somme
M/) = £("!)7(n) = -s(0).
n>0
Étudions l'image de l'opérateur Tv dans le cas où / est un polynôme à coef-
ficients dans Q. Si le polynôme g € Q[x] vérifie g € ImT», alors Su(g) est
rationnelle!
PROPOSITION 5.1.- La codimension de l'image de T» : Q[x] —> Q[x] uatif
C«fim(Jmr,) = u.
PREUVE.- L'image par T11 du polynôme de base /*(n) = nk (degfk = k)
vaut T„/* = (n + l)*+v - n* et </eff (T„/t) = k + v.                                    Q
REMARQUE.- L'élément /o(n) = 1 n'est pas dans ImT\ ; en particulier on
ne peut rien dire de 5Zn>0n\ ...
Cas PARTICULIER.- Soit f(n) = Cp(rt), où g G F et ( G /ip_i C Zp est une
racine (p — l)-ième de l'unité. On regarde alors la somme
^(3):=M/) = D"0Tyn)
n>0
et l'opérateur T^iV — ra^M — /où o-^vg(n) = Cn"ff(n). Construisons la matrice
M<>" de T0, |Q<n_„+1[r], de taille (n + 1) x (n - u + 1) ; on a
ïWx*-") = C(x + I)* - **- = C J]  (*)*<- **-
19
d'où
Mi-" =
/C-I        C              C
co cet1) -1 cm
CO   CCI1) c(T) -1 '
CCr1)
c
O
C     \
c(ï)
\   o

••  '•,   CC1)
...    o        c      /
Dans le cas particulier où u = 1, on obtient alors une matrice M£ de taille
(n + 1) xn que des opérations élémentaires de ligne permettent de mettre
sous la forme
MS
/uf    «<    ...
C     O    ...
O    C2     O
V o   .....
O
O
O
Cn /
On obtient alors une base de l'image Qk{x) — C*n* + ti[oùuj[ est donné par
la relation de récurrence
.<
=  C-I

20
En posant u£ = —1, on écrit aussi cette suite
„<—i, «ï = c-i et ^+1 = „<- £ (" +Vw«f,
0<i<n ^          '
i*"i- E ("^y-'+'^v+cr1" (»>d.
0<i<n+l  ^          '
De là, on calcule la suite {vk)k^i vérifiant
n>0
On obtient
4 = 0,4 = -i et ^+1 = *-£(" î Vi+,»f,
0<.<n ^          '
0<»<»+l ^          '
Les cas C = ±1 sont étudiés dans [5], [6]. Pour £ = 1, on trouve les suites
d'entiers (u*)*>i et (ujt)*>i qui vérifient
^n\(nk + uk) - vk.
r>>0
Dans ce cas particulier, explicitons les premières paires (u*,«jt) et quelques
égalités auxquelles elles donnent lieu
d'où
k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
«Jb	0	1	-1	-2	9	-9	-50	267	-413	-2180
V*	-1	1	1	-5	5	21	-105	141	777	-5513
1)
2)
3)
4)
5)
J>!n = -1
n>0
Ên!(n3-1) = 1
j>!(n«-2) = -5
n>0
]r„!(„s-)-9) = 5.
n>0
21
REMARQUE.- L. van Hammenous a signalé que, pour Ç — -1, on obtient des
paires (u*, Vk) faisant intervenir les nombres de Bell. Les premières valeurs
sont en effet
k	0	1	2	3	4	5	6	7	S	9
«Ä	-1	T-2	-5	-15	-52	-203	-877	-4140	-21147	-115975
û*	0	-1	-3	-9	-31	-121	-523	-2469	-12611	-69161
et l'on observe que
û* = -Bjt+1    {k > 0).
Par conséquent, la somme
5^(-1)^(^ + (-1)**1¾+!) = ¾
n>0
est rationnelle pour tout k >1.
Considérons maintenant l'équation sous sa forme générale
£»»!(Ctn' + Cfc-in*-1 +... + Co) = D*,  C0,...,C*.U4 € Q.
PROPOSITION 5.2.- L'équation ci-dessus est vérifiée pourC0 = Ei<,<t^;'uj
et Dk = Y,i<j<kCM-
REMARQUE.- Les résultats Bönt analogues pour £ = —1-
Tout le problème de l'irrationnai ité de $Zn>on' réside dans la question de
l'unicité de Ia paire («*, Vk) (k > l). On démontre aisément les trois résultats
suivants.
PROPOSITION 5.3.- S'il existe k > 1 tel que («*,*>*) n'est pas umçue dans
Q, alors *jßn>on1- M' rationnelle dans Qp.
PROPOSITION 5.4.- Si £n>0n' est rationnelle, alors I]fl>0n*!n! est ration-
nelle pour tout k > 1.
PROPOSITION 5.5.- Si (par exemple) (u7,v7) — (1,1) est l'unique solution
rationnelle de £n>o n'("2 + ua) — V2, alors É«>0 n\ est irrationnelle.
22
5.2    Sommes finies
On obtient des résultats analogues pour des sommes finies du type
0<i<n-l
Formule de sommation.- Soit g e T; on a
^(T,p) = -ff(0) + (n!r5(n);
en d'autres termes
E   ti!)"((i + I)W + 1) - S(O) = -5(0) + (n!)*s(n).
0<i<fi-l
PREUVE.- On a en fait
&*(*)   =   9(0) + Ei<«n-i(«'!)W)
=   ff(0) + Eo^n-^'!)^' + I)W + 1) - (»0"*M
=   s(0) + S^(r^)-(n!)WO-                                    G
Corollaire 5.2.- 5» p est un nombre premier et g prend ses valeurs dans
tZpi alors on a
SViV{T»9) = -9(0) modp?Zp,
c 'est-à-dire
E   ("0"((* + l)W»+ !)-*<«)) = -9(0)  modpZp.
0<n<p-l
CAS PARTICULIER.- Soit /(n) = eng(n), où g e ^" et e est l'élément de F£
vérifiant C = e mod p,   C € /*p-i C Zp. On regarde alors la somme
sw(s)=   E WV5(O-
0<»<n-l
REMARQUE.- Les suites (u\) et (u£) étudiées précédemment vérifient évidem-
ment
E    n!en(eV + uj) = t>£ mod p.
0<n<p-l
B.Dragovich [6] traite du cas particulier où v — 1( £ = ±1 et / est un po-
lynôme à coefficients dans Q. Pour e = lt soit Pk(i) = ** + "*€ ImTi1 u* e
Q, i.e. il existe Ak-i € Q[X] tel que
•* + Uk = (i + I)A^1(I +1) - ilfc-i(i);
23
on a alors u* = Ak-i(l) - At-i(O) et la somme
£   ,!(•* + !!*)= -i4*-i(0) + fli^-i(n)
0<i<n-l
est entièrement déterminée par le polynôme Ak-i-
REMARQUE.- Pour n —? oo, on retrouve la formule
£•!(•* +U4) = -4^(0) = I*
du paragraphe précédent.
Posons <7*(n) = £0<,<n_, *'**'   * € N.
THÉORÈME 5.1.- La relation de récurrence
ffjt+i(n) = -fcö-fc(n) -    5^    (    ,    Wn) +n!n*
est valable pour k>\.
Cette formule permet également d'obtenir les relations de récurrence pour
«ti Vk et i4fc_i(n). Les premières valeurs donnent Heu aux identités
1)          £   Ui =-1+n!
0<t<»-l
2)           Y,   ilii1 + 1) = 1+.n!(n-l)
0<t<n-l
0<t<n-l
4)          J!   »V-2)=-5 + n!(n3-3n3+5) .
0<i'<n-l
THÉORÈME 5.2.- Soit P*(i) = £o<r<fc CPir,   Cr € Q ; a/ors /a relation
0<t"<n-l
«( tm/a&Je /orsçue C0 = £1<r<AC-ur,   w* = Hi<r<* C>«r   et Qk-i(n) =
Observons encore quelques relations de congruence. On a
J^    i!(i* + tit) = vk + n\Ak-i(n) = vk mod n\.
a<i<n~l
24 '
On voit que les propriétés de divisibilité de £0<i<n-i *• P11" ^5 facteurs de n\
sont liées à celles de ]Co<;<t>-i i!:'* sauf si u* est nul, i.e. si A^i(I) = Ak-i{0)
(ce qui ne semble être le cas que si k = 1).
On va énoncer des résultats équivalents à l'hypothèse de Kurepa dont la
plupart figurent dans [6]. L'entier p désigne un nombre premier impair.
Considérons la matrice
M =
/-2    2      0
-1    -1     3
-1     0    -1
-1    0
V-i   o
o   \
0
0
0
-1 P-I
0      -1   /
de taille (p-l)x(p-l).
THÉORÈME 5.3.- Les assertions suivantes sont équivalentes.
i) L'hypothèse de Kurepa est vraie,
H) dei Af ^ 0 mod p,
Ui) Up_! ^ —1 mod p,
iv) Vp £ —1 mod pt
v) il existe k>\ tel que u* ^ 0 mod p et £0<t<p_i *ï *fc ^ Vk  mod p.
Preuve.- i) 4=* H) : Un calcul montre que
detM=    ^P   i\ = Kp.
0<t<p-l
i) <=>. v) : Cette équivalence découle de la relation
0<i<p-l                              0<><p-l
ut) =$>¦ i) : Si l'hypothèse de Kurepa est fausse, alors kp = 0 mod p et
y^   il ip~l = Up_i mod p.
0<i<p-l
Grâce au petit théorème de Fermât, on obtient
0<.<p-l                     0<i<p-l
25
iti) ¢=½ iv) : La relation de récurrence définissant la suite (v*) fournit
vp - Up_i -    22    ( • )"'' = vp~1 mo^ ?•
i<.<p-i ^*'
i) =>¦ tv) : Cette dernière implication sera démontrée à l'aide du calcul
ombrai dans le paragraphe 6.1.                                                                 D
6    Calcul ombrai
Soit A un anneau (A — Z ou Zp) ; considérons l'opérateur linéaire
¢:   A[W]   -V   Af[X]]
(x)n    *—>   xn
pour lequel on a $(xn) = Bn(x) (n-ième polynôme de Bell) (voir [7]).
Reprenons f(x) = £n>o(-1)n(*)» ; alors
*/W = Ef-1^ = TT
et
$kp(:e) =    E   (_:E)0 = T4^       (p impair);
0<n<p-l                   1 + »
modulo p, on obtient
*«p(*) = (1+*)P_I modpZp[x).
D'autre part, comme kp(x) = I + J2i<k<P-i(-^)k^p-kx>c  mod pZp[x], on
a
*«p(*)sl+    E   (-l)*B,-tflfc(a:) modpZ,[*],
i<jkp-i
d'où la relation
(1+«)'-' = 1+    E   (-l)*^-*ft(*)  morfpZ,[*].
i<fc<p-i
26
6.1    Une autre application
Pour a,ß € Zp et e € {0 —,p— 1}, considérons la suite
al = a,   a\=ß   et   <+1 = < - £ (" t ^c"''+1«?,    n>l
t.e. a» = "(ac+e)n+,n,    n > 1.
Soit ^e : Zp[x] —? Zp l'opérateur linéaire défini par
0,(x*) = al (k > 0).
Alors
vv((x+er1)= £ ("tV-'+y=«;=^^"). *>i-
0<i<»+l ^     *     '
(Pour n = 0, V«(l) = «5 = a et Vv(z + e) = eu + ß.)
Posons P(x) =   J^   CnX* Ç Zp[x] ; alors
0<n<m
<M(x + e)P(x + e))   =   V-J   E  c-Gt + er1)
\0<n<m                        /
=   Cb(ea + j0) + &(   £¦ ex")
=   <fc(ea + /?) + &(P(a:))-coa
=   («(e -1) + /?)P(0) + 0,(P(«)).
Pour P(x) = (x+e)(x+2e).. .(x+(n-l)e) (n > 1), on a P(O) =.e»~J(n-l)!
et (x + e)P(x + e) = (x + e)(x + 2e)... (x + ne). Ainsi
&((x+ ¢)...(* +ne))   «   tf«((*+ e)...(x + (n - l)e))
+(a(e-l)+/J)C-1Oi-1)1
=   0.((i+e)...(x + (n-2)c))
+[e"-2(n - 2)! + e»-»(n - l)!](o(e -1) + /3)
=   *.(* + e) + (a(e-1) + 0)   J]   £**!
l<Jt<Tl
=   ö + (a(e-1)+/3)   E   e*fc!.
KJKn-I
0<fc<n-l
27
Pour n = p, on obtient
if>e((x + £)...(x + pe))   =   ij>c(xp-x)   mod p
=   aep — ß          mod p
et donc
ap = a + /? +(a(e-l) + /?)-    J]   efcfc! mod p.
Les mêmes calculs, effectués avec la suite (f£)n>o définie par
au lieu de la suite (e£)n>o> conduisent au résultat analogue
bep = a + ß+(ß-a)    £   (-I)Vk! mod p.
0<k<p-l
Cas particuliers.- 1) a£ = —1, aï = e — 1 : on a a\ = u| et
Up = e — 2 mod p.
2)  ag = 0, a\ — — 1 : on a-aj = u£ et
p-i
t>p = —1 —    y^    e*/;! mod p   ou encore    Yje*/c! = — 1 — vf moa" p.
0<*<p-l                                                       Jt=O
N.B. Les suites (ti|)jt>i et (v%)k>i satisfont
£    e"n!(«*"*+ «*) = «*•
0<n<p-l
Pour e = 1, on retrouve les suites (u,-) et (ut) de Dragovich, qui vérifient
Up = —1 mod p   et   vp = — 1 — Kp mod p.
Cela montre que l'énoncé vp ^   —1   mod p est équivalent à l'hypothèse de
Kurepa et achève ainsi la preuve du théorème 5.3.
3)  a - ß f 0 : alors
bp = 2a mod p     (indépendamment de e).
28
Pour a = ß = e = 1, on obtient la suite des nombres de Bell (fîn)„>o pour
laquelle
Bp = 2 mod p.
4) ß = a +1 : alors
if - 2a - 1 =    ]T   (-l)Vfc! mod p.
0<k<p-l
7    Polynômes de Bell-Carlitz
À l'aide du calcul ombrai, nous allons montrer que la congruence
Bnp = Bn+i mod npZp
pour les nombres de Bell [7] s'étend à la généralisation de Carlitz des nombres
de BeU.
7.1    Quelques congruences polynomials
Soient p un nombre premier et P(x,y),Q(xyy) € j4[x,y] des polynômes à
coefficients dans l'anneau A = Z ou Zp.
Lemme  7.1.- Si P(x,y) ~ Q(xty) mod pM[£,y], alors
P(x,yy = Q(x,y)" mod^A[x,y).
Prenons maintenant un polynôme à une variable P(y) 6 A[y], et considérons
le produit de p termes décalés
0<k<p
LEMME   7.2.- Si p est un nombre premier impair, alors ta congruence sui-
vante est vérifiée
fi   P(y-kp») = P(y)p mod p^M[y].
Considérons maintenant les polynômes de Pochhammer (y)n   (n > 0), qui
forment une base du module A[y],
29
LEMME 7.3.- Pour v > 1, et p un nombre premier impair, les polynômes
(y)pi. = y(y — 1)... (y — pv + 1) vérifient la congruence
(y)p, = (yP - y)P"_l  modp»A[y\.
Les preuves de ces trois lemmes se trouvent dans [7].
LEMME 7.4.- Soit v>ï etp un nombre premier impair; dans l'espace des
polynômes à deux variables, la congruence suivante est vérifiée
((x + y)' - (x" + y)f = (y* - yf mod f*lA\z,y]-.
PREUVE.- On a la congruence
(x + y)p - (xp -r y) = y" -y mod pA[x, y].
Le résultat souhaité découle alors directement du lemme 7.1.                    D
7.2    Calcul ombrai
Sur le module A[x, y), dont la famille {xx(y)j, i,j > 0} forme une base, on
définit un opérateur linéaire $ par
¢: A[x, y]   —>   A[x]
Sty),-      H->_X'\
Sur v4[i,y], considérons la relation d'équivalence, notée  ~, définie par
f  ~  g   si et seulement si   ¢(/) = ii(g) mod pM[x}.
LEMME 7.5.- Si S,T : j4[x,î/] —? ^[^M/] sont deux opérateurs linéaires
qui commutent et v > 1 un entier tels que Sf ~ Tf pour toute f €
A[x, y\, alors Skf ~ Tkf pour tout k € N et pour toute f € A[x,y).
PREUVE.- Procédons par induction sur k. Le cas k = 1 correspond à l'hy-
pothèse du lemme. Supposons alors que l'équivalence S*-1/ ~ T*"*1/ est
vraie pour toute / € Afa;, y]. Alors
Skf = Sk~lSf £ Tk~lSf = STk~lf £ TTk~lf = Tkf.            D
30
LEMME   7.6.- Pour tout n 6 N et toute f € A[x,y], on a l'égalité
*((y)n/(x,y_n)) = *(/(*, y)).
Preuve.- On a 1¾),,+* = x'(y)„(y - n)kl d'où
* ((y)nx*(y - n)k) = * (x'(yW) = x' = * (x;(y)*).
Or, la fonction / peut s'écrire f(x, y) = J2i,k °»fcx'(!')*î des égalités précéden-
tes on tire ainsi
*((y)»/(*,¥-n)) = *(/(*,»)).                             Ü
LEMME   7.7.- 5» p est un nombre premier impair, v > 1  un entier et f E
A[X1Xj]1 alors la congruence suivante est vérifiée
f £ (C* + »)p-(*p + id)p'"7.
PREUVE.- Dans le lemme 7.6, posons n — p" et réduisons l'égalité
modulo p". On obtient
D'autre part, le lemme 7.3 énonce la congruence
(y)p* = fy-y)"""1  modp»A[y]ì
on en tire / ~ (yp — y)p"_1/i et Ie lemme 7.4 permet de conclure.           D
THÉORÈME 7.1.- Si / e A[x,y], e > 1 et p est un nombre premier impair,
alors la congruence suivante est vérifiée
(x + yY"f   C   (x'+l+y)"""1/.
PREUVE.- Nous allons procéder par induction sur v. Pour v = 1, le lemme
7.7 donne / ~ ((x + y)p — (xp + y)) /, formule dont on tire immédiatement
(x + y)pf ~ (*' + i + !0/.
Supposons maintenant que la congruence (x + y)p"f ~ (xp 4-1 + y)p"~ /
soit valable pour tout n < u et toute / G A[x,y]. Il s'agît de montrer que
l'on a
31
Du lemme 7.7, on tire
(*)             / P~+1 ((x + vY-(xp + y)ff-
Développons ce dernier terme à l'aide du binôme de Newton. On obtient
o<k<P" \K/
= (x + yf+l - (^ + yf +  £   (K) (* + y)kp(-xP - vy~k-
Considérons le coefficient binomial I     J. Il existe m premier à p et a,
0 < a < i/, tels que k = mpa. On a alors
\kj      \mppj     y        m \mjf -XJ              F
De plus, pour /(x, y) = (—xp - y)p"~fc, l'hypothèse d'induction et le lemme
7.5, en prenant pour S et T les opérateurs de multiplication par (x + y)p°+l,
respectivement (xp + 1 + y)p°, donnent lieu à la congruence
(a+yM-x'-y)'"-* = («+y)"^1/ P~' (xp+l+y)m>af = (x»+l+y)kf.
H s'ensuit que
Ç) (« + y)*(-*' - yf-k "-' g) (x' +1 + y)'(-*' - y)^.
Au total, nous avons donc établi la formule
E Ç)(*+vVi-* - y)'~-k "-' E ¢)(*"+1+»)*(-*' - »r-*-
où la somme porte sur les k : l < k < pv — I. Or, le membre de droite
s'exprime aussi par
E (K)(*p+i+y)k(-*p-y)pV-k = i-^+i+yr+^+yr.
Utilisons finalement (*), qui donne
/   P~|   ((* + y)p-(*' + y))p,7
P~ '    ((* + y)""*' - (*p + y)p" + 1 - (xp + 1 + y)p" + (x" + y)"") /
„"+i
(x + y)^'f + f-(xP + l + y)Vf.
32
Ainsi,   (x + y)*"   f    ~    (xp + 1 + yY" f   comme souhaité.                    D
REMARQUE.- Cette congruence est également valable pour p = 2 si v = 1,
Pour p = 2 et f > 1 a lieu la congruence
\v   »r1   /~p . i  i_..w"
En effet, on perd un facteur p(= 2) dans la preuve du lemme 7.2.
7.3    Les polynômes de Bell-Carlitz
Rappelons que le  n-ième nombre de Bell Bn  est défini par la fonction
génératrice
Intéressons-nous alors à une généralisation de ces nombres due à L.Carlitz
(étudiée dans [13]). On définit le n-ième polynôme de Bell-Carlitz B„(x) par
On remarque alors que Bn = B£(0), et on a
m>0               k>0                       n>0 0<m<n   V    /
formule dont on tire la relation
En dérivant cette dernière relation, on obtient
ce qui signifie que ces polynômes forment une famille d'Appell. On observe
par ailleurs que
^(1)= E £)«• = *«•
0<m<n
Reprenons maintenant l'application $ du paragraphe 7.2.
33
Proposition 7.1.- L'image par <P de «V est x'Bj.
PREUVE- Dans [23], G.C.Rota montre que si (p : A\y]_—? A envoie (y)j
sur 1, alors l'image par (p de y* est Bj.                                                  Q
COROLLAIRE 7.1.- Pour n € N   et p un nombre premier impair, les po-
lynômes de Bell-Cartitz vérifient la congruence
Bnp(x) = B<(l+*>) mod npZp[s].
PREUVE.- Il existe fcçN premier à p, et v > 1 tels que n = fcp""1. Par
ailleurs, on a, grâce au théorème 7.1 et au lemme 7.5
(X + !,)**"/ ~ (xp + l+!/)*p*"1/.
Observons que
0<t<Jfcp" ^        *
0<>'<*P
et que
«((«" + l + y)**"1) = B^1(I+ x"),
et prenons / = 1. On obtient alors la congruence
BK*) = B^il+x") modpM[x],
et donc     B£p(:r) s B<(1 + xp) mod npZp[r].                                          D
REMARQUES.- 1) Pour x = 0, on trouve Bnp(Q) = B=(I) mod npZ„; il
s'agit de la congruence de Comtet-Zuber
Bnp = Bn+i mod npZp.
2) Pour p = 2, on a la congruence
B^n(X) = B^(I + i2) modnZ2[x]     (puisqu'on perd un facteur 2).
34
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