PROPRIETES p-ADIQUES DE POLYNOMES CLASSIQUES THESE présentée à la faculté des sciences, pour obtenir le grade de docteur es sciences, par Maxime ZUBER UNIVERSITE DE NEUCHATEL Instijtut de Mathématiques Chantemerle 20 2000 NEUCHATEL (Suisse) IMPRIMATUR POUR LA THÈSE Propriétés .p-adi ques... de ..polynômes classiques de Mons i eur ..Maxi me .Zuber. UNIVERSITÉ DE NEUCHÂTEL FACULTÉ DES SCIENCES La Faculté des sciences de l'Université de Neuchàtel sur le rapport des membres du jury, MM..J.es...professeurs...A.....BQber.t9...U....Suter et D... Barsky...(Paris);..................................... autorise l'impression de la présente thèse. Neuchàtel, le .3 décembre 1992......... Le doyen : A. Robert A Claudia, Valentin et Marina " On n'est pas vieux tant que l'on cherche. " Jean Rostand Ö m a (h e muli quei sevèra, je ne vous ai pai oubliées, depuis que vu utml« Jeçonj, plus doue« que Ie mief, filtrirenl dans mon coeur, comme une onde rafraîchissante. Comte de Lautréamont Avant-propos Au printemps 1989, dans le cadre du colloque de l'Institut de mathématiques, Daniel Barsky nous présenta les remarquables propriétés de congruences que vérifient les polynômes de Legendre. Etablies à l'aide de la théorie des groupes formels par T. Honda, les congruences en question trouvaient, dans cet exposé, une preuve élémentaire qui fut le point de départ de nos recherches. Comprise, puis généralisée. la démonstration de Barsky constitua l'outil de premières investigations visant d'au- tres familles classiques de polynômes. Au travers des résultats établis pour les polynômes de Tchebychev, de Bernoulli et d'Euler, nous vîmes bientôt nos efforts récompensés. Toutefois, !e caractère cal- culatoire des méthodes utilisées rendaient nos démonstrations particulièrement in- digestes. Celles-ci se décantèrent à Ia lumière de deux théorèmes: Ic Lemme de l'équation fonctionnelle et /e Théorème des accroissements finis p-adiques. Le pre- mier, emprunté à la théorie des groupes formels, est un résultat purement algébrique (voire combinatoire) de Hazewinkel, qui permet d'impressionnants raccourcis dans certaines manipulations de séries formelles. Comme son nom l'indique, le second énonce le succédané p-adique du principe des accroissements finis (réel). On le doit à Alain Robert. Aussi, les raisonnements exposés dans cette thèse se distinguent-ils souvent par l'alternance d'arguments algébriques et analytiques. Outre certaines conventions de notation ainsi que la présentation d'éléments d'analyse p-adique et de théorie des groupes formels, le chapitre introductif a pour vocation essentielle de mettre en place et d'énoncer les deux résultats auqueis nous venons de faire mention. ¦ Nous consacrons le chapitre 1 à toutes les généralités qui concernent une famille de polynômes satisfaisant à la relation de congruence dite "de Honda". Dans ce contexte, la méthode mise à !'épreuve des polynômes de Legendre par Barsky, prend la forme d'un théorème (du même nom). ii Le chapitre 2 traite du cas particulier d'une famille de polynômes d'Appell. Nous y développons une méthode s'appliquant, de façon concluante, aux polynômes de Bernoulli et d'Euler. Sans prétendre à une entière originalité, nous présentons des preuves p-adiques de certains résultats relatifs aux nombres de Bernoulli. Accessoire- ment, nos calculs nous donnent l'occasion d'améliorer sensiblement un théorème de J.-L. Brylinski sur les polynômes de Gegenbauer. Le ciiapitre 3 est complètement dévolu à l'étude des polynômes de Tchebychev de première espèce. L'établissement de la fonction arcsini en tant que limite d'une sous-suite particulière de ces polynômes en constitue le point fort. Finalement, l'approche que nous faisons, dans ie chapitre 4, des polynômes de Legendre par l'intermédiairedeceuxde Coster, apporte peut-être un nouvel éclairage- aux travaux de Honda , Landweber et Yui. La présente thèse a vu le jour grâce à un travail d'équipe. Toute son élaboration a bénéficié de l'émulation du Groupe d'analyse ultramétrique de l'Université de Neuchâtel. Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Alain Robert, mon directeur de thèse. Ses précieux conseils, ses encouragements inconditionnels et sa disponibilité de tout instant m'ont permis d'effectuer quatre années de recherche dans des con- ditions optimales. Je n'oublierai pas son art d'agrémenter les pauses-café de petits exposés mathématiques, dont chacun valait bien une demi-journée de lecture atten- tive. Mes remerciements vont aussi à Christian Vonlanthen: l'ami avec lequel j'ai com- mence mes études et partagé quatre années de collaboration fructueuse, au cours desquelles je l'ai vu jouer les rôles d'auditeur, de correcteur, de conseiller et même parfois celui de psychanalyste. Ma reconnaissance s'adresse particulièrement à Daniel Barsky, tout d'abord pour m'avoir inspiré le sujet de cette thèse, puis pour son invitation à présenter mes pre- miers résultats au Groupe parisien d'analyse ultramétrique et finalement pour avoir fonctionné en tant que membre du jury. Je remercie également UeIi Suter de sa sollicitude et de l'intérêt qu'il a manifesté pour mon travail ainsi que Akimou Osse pour les indications bibliographiques et les remarques de styles qu'il m'a dispensées. in Je dédie cette thèse à Claudia, mon épouse. Sans sa compréhension et son abnégation, rien de tout ceci n'aurait été possible. Qu'elle trouve ici l'expression de ma très profonde gratitude. Mou tier, le 5 septembre 1992 Maxime Zuber The theory or Groups is a brunch of inalhematicj m vii ice ozi e dots something (o something and compir« the resuit obi mined from domi the same thing to something else, or something else Io ihe same clung. J. B. Newmann (The World of MaihemaiirsJ INTRODUCTION Quelques principes d'analyse p-adique Soit p un nombre premier; en accord avec les notations de Y. Amice [2], Zp désigne Panneau topologique des entiers p-adiques, Qp = Frac(Zp), le corps des nombres p-adiques et Cp, le complété de la clôture algébrique de Qp. La valeur absolue sur Zp1 Qp et Cp est normalisée par \p\ = _-. Nous rappelons1 ici, quelques principes fondamentaux qu'entraîne le caractère ultramétrique de cette valeur absolue. Considérons une suite (Gn)n>o dans A', corps value ultramétrique complet. Le cas typique K = Cp va nous intéresser. La suite (an)n>o est convergente si et seulement si Jan+1 — an| —? O lorsque n —* 00. De même, la série £„>o Qn converge si et seulement si son terme général Gn tend vers O, et si ceci est le cas, alors E«» < sup |on[ = max JonI. II en résulte que la série de puissances / = £„>oau£n possède un rayon de conver- gence Tj caractérisé par le fait que EnX)OnI" converge pour |i| < 77 et diverge pour \x\ > tj. Ce rayon de convergence est donné par O < Tj = sup{t : |an(n| -+ 0} < 00 ou par la formule de Hadamard 1 r/ = ïï limsup |a„|'/n Par exemple, la série de puissances log(l+ x) = Y,K-J—z- n>[ " 1Cf. p« exemple [2), [33),(36). 2 converge pour \x\ < rtog = 1. tandis que le rayon de convergence re de !a série exponentielle exp(*) = £ ^7 eal égal à r„ = \p\"-'. Si le coefficient général an de la série de puissances / = £„>0 ini" tend vers 0 lorsque n —» oo (on dit dans ce cas que / ë Cp{x} l'anneau des séries formelles restreintes), alors la nonne uniforme ||/|| de f est donnée par 11/11 := sup |/(i)| = max |d„|. Le théorème des accroissements finis p-adi'ques, résultat dû à A. Robert [32], occupe une position centrale dans cette thèse, eu égard au nombre de simplifications tech- niques qu'il permet. Théorème des accroissements finis p-adiques. - Pour une série formelle res- treinte f[x) = En>o"nzn e Cp{x}f on a l/W -/toil < Il/Il-1*-»I, dès que k-y| "/(*) ¦-¦ Ainsi /(* + O - fi*) = {etD - !)/(*) = * ' (1T^) WW) = ' ' PM*)- On doit établir que l'opérateur tD _ J ,n-l tD ^1 n! 'Noua reproduisons ici la preuve de [32]. 3 bien deJini sur Cp{x}, a une norme < 1. Pour J(| < r,. on vérifie que de sorte que [ïn_1/n!| < 1 dans le disque fermé |f| < tc. De plus, si / £ Cp{i} a tous ses coefficients entiers, alors ||/j| < 1 et il en est de même de g = /'. Ainsi liu-'sll < î, P?-1*!! - o, ce qui achève la démonstration. Alternativement, puisque ^*"=^)* * ("^0)- on en déduit \\Dk/k\\\ < 1 et -D" DT' n (n-1)! Pour montrer que J|T|| < 1, il suffit de montrer C- 0 et C- < 1. L'inégalité pour n = p requiert déjà |i| < re et si elle est satisfaite, toutes les conditions sont remplies! ¦ Remarque.- L'application de ce théorème a la fonction J(x) = xp, en i = 1, montre que |U+*)p-1|I "¦ f-11n+1 L(x):=!og(l+*) = £!^— x", n>l " alors E(x) : Ga(x:y)-*G„(x,y) et L(x) : Gm(x,y)^Ca(x,y) définissent deux isomorphismes stricts inverses l'un de l'autre. Autrement dit, les groupes formels additifs et multiplicatifs sont strictement isomorphes sur A = Q 6 (remarquons que ce n'est phis Ic cas. par exempta si A = A" est un corps do carac- téristique non nulle). Nous avons souligné, plus liant, l'importance fondamentale que revêt Je théorème des accroissements finis p-adiques dans notre propos. Parallèlement, le lemme de l'équation fonctionnelle de M. Hazewinkel [IS] constitue notre second puissant outil. Il permet d'impressionnants raccourcis dans tas manipulations Formelles tendant à établir certains résultats d'intégralité, tels les ihéorèniRS de Dieudonné-Dwork (proposition 1.2.2) et de Barsky (théorème 1.3.1). Lemme de l'équation fonctionnelle de Hazewinkel. Soient A un sous-Anneau d'un anneau K1 I un idéal de A. p un nombre premier, g une puissance de p. a : K —* A* un homomorphisme d'anneaux et (i une suite d'éléments de K. Supposons que ces "ingrédients'' remplissent les conditions suivantes Opel; 2) SiI C A pour tout i > 1 ; 3) ITo~{b) C / pour tout b £ A' et tont r entier. Pour g(x) £ ^[[^]): convenons de noter fs(x) la série formelle solution de l'équation fonctionnelle /,(*) = *(*) +E *ói (*'')¦ .>] (où tr*J(x) = £„>, (7'K)X" si' f[x) = £„>, anxn). Soient encore SM = T, 9n^n ^ A{[x}}, avec 9l Ç A' et k{x) = *£ hnxn Ç A[[x\). n>l n>l On a alors 0) ^8M !>) ¦= /,"' (Is{t) + Mv)) € 4[*.ïl) et donc, Fs(x,y) défìnit une loi de groupe formel sur A ; M Z1T1 (AM) e/«[*]]; (Hi) Il existe Jt(Jr) € <4[[j:]] teile que Mh(x)) = M*) î (iv) Soit a(x) e A[[x]] , 8{x) € K[[x}\ etr> 0; alors Of(x) = ß[x) modITA[[x}] si et seulement si /,(a(x)J = Mß(x)) modJTA[[x]]. Preuve.- Cf. [IS], p. 9-15. Remarque.- L'équation fonctionnelle se traduit par une formule de récurrence pour les coefficients de sa solution fg[x). Plus précisément, si 9(X)=^gnX" et fs{,) = £ fnx\ n>l n>] alors {(7n si 7 ne divise pas n; 9n + Si=I sia' (/n/q') si n = mqr avec r > 1 et q ne divisant pas m. Définition. On appelle ''type' de ("équation fonctionnelle, la donnée des ingrédients K. A, I. q, (^ï),>i. a apparaissant dans l'énoncé du lemme de I équation fonction- nelle Par abus de langage, on dit qu'une série formelle est du type de l'équation qu'elle vérifie. Corollaire. Si Mx) et f?(.r) sont deux séries formelles de même type et si. de plus /ï(0), Zi(OJe A", aiors h ^/^ Of1: Ffay)-> F,(x.y) ( où Fi(x.y) := f~l(fi(x) + fid/)) ), est un isomorphisme de groupes formels, qui est strict si et seulement si J-^(O) = /J(O). Preuve.- Le point (H) du lemme de l'équation fonctronnef/eétablit que h(x) € A[[:r]]. Comme /[(0) et /J(O) sont des unités tie A, h est inversible, au sens de la composition, dans A[[a;]j. En outre AoF1(I1J/) = f^o J1 of^iMx)+ My)) = UHMx) + My)) = F2(h(x),h(y)). Finalement h(x) = i mod deg 2 , si et seulement si /J(O)"1 ¦ /{(0) = 1. ¦ Bien que le lemme de l'équation fonctionnelle soit le fait de M. Hazewinkel, il con- vient de citer la contribution (parallèle et indépendante) de T. Honda. Dans son article: ~*On the theory of commutative formal group*" (20], T. Honda développe s une théorie basée sur des méthodes non commutalives de calcul de séries formelles. Il y démontre alors, pour le cas particulier d\in corps K de caractéristique 0 muni d'une valuation discrète, des résultats correspondant aux quatre points du /emme de l'équation fonctionnelle. Le mérite de M. Hazewinkel est d'avoir su établir un énoncé tout à fait générai et, partant, d'application plus vaste. Pour notre part, nous n'étudierons qu'un type bien particulier d'équation fonction- nelle (dont nous empruntons la dénomination à T. Honda) : le type p—T, qui fait l'objet du chapitre I. Notation.- Lorsqu'il s'agira, dans la suite, de nous référer au ^Lcmmede l'équation fonctionnelle", nous le ferons à l'aide du sigle abréviatif: "LEF". TABLE DES MATIÈRES 1 LES CONGRUENCES DE HONDA 11 1.1 Le type p-r............................... 11 1.2 Applications du LEF relatives au type p — T.............. 13 1.3 Le théorème de Barsky.......................... 15 1.4 Pseudo-puissances............................. 17 1.5 Limite définie sur une lemniscate.................... 18 1.6 Limite définie sur Zp(I) ......................... 21 1-7 Polygones de Newton........................... 22 2 FAMILLES D'APPELL 27 2.1 Famille d'Appell et congruences de Honda............... 27 2.2 Les polynômes An(O = (1 +()"..................... 31 2.3 Nombres et polynômes de Bernoulli................... 35 2.4 Polynômes d'Euler............................ 51 2.5 Polynômes d'Hermite........................... 59 3 POLYNOMES DE TCHEBYCHEV 63 3.1 Définitions et propriétés......................... 63 3.2 La congruence de Honda...............-,............ 65 3.3 Une fonction limite................"*........... 68 3.4 Polygones de Newton........................... 70 3.5 Relation avec la fonction arcsini .................... 76 4 POLYNOMES DE COSTER.ET DE LEGENDRE 83 4.1 Polynômes de Coster........................... 83 4.2 Polynômes de Legendre.......................... 8S 4.3 Les congruences de Kazandzidis..................... 99 9 C'est la grande généralisation, Ji mi (ce par un un /icureu.ï cai particulier, qui fail Ia conception fructueuse. A. N. Whitehead Chapitre 1 LES CONGRUENCES DE HONDA 1.1 Le type p — T Dans toute la suite, les ingrédients /, q, (s,-)i>i, intervenant dans renoncé du LEF seront fixés ainsi I = pA . q = p, S\ = -, Si = 0 pour tout i > 2. V Définition 1.1.1 Une. série formelle. fg{x) € A'[[z]j est de type p — T (sur A), si elle vérifie l'équation fonctionnelle fB(*)-^f,{*v)=9(z), (1) pour une certaine série formelle donnée g(x) £ <4{[^]]- Soit maintenant A = Z(pj, K = Q et a = id^. Considérons les séries formelles {Y*{np)=i n x" si Pest i^paJr; Proposition 1.1.1 Si fr(x) et fh[x) désignent les solutions de l'équation fonction- nelle (l) de type p — T avec second membre égal à f(x), respectivement k(x), alors fe{x) = \og{l-rx) et n>0 P 11 12 Chapitre 1. LES CONGRUENCES DE HONDA Preuve.- On a Mi + *)= E- LiL_,n + ^L_y_x^ (2) Kp)=I " n>l 71P En effectuant la soustraction (2)-(3), on obtient 1 f_lin+L /_iv»p+i _ f_i\»+t log(l + x)--log(l+xp) = E *" + E —------- ^" + E (n.p)=l " (n.p)=l "P (-1)-1^ + 1 _(_l)-P+t. np' -a: Si /J est impair, les coefficients des deux dernières séries du membre de droite de l'égalité ci-dessus s'annulent, de sorte que log(l+s) --log(l+x') = E ^^x" = f(x). P (.,)=1 n Par ailleurs, si p=2, alors log(l +r)-|log(l+xs)= E -~2 E ?=<(*)¦ ù n impair " n impair "* Finalement, pour la série formelle H{x), on a P n>0 P P n>0 P La série formelle L(x) := log(l + x), qui joue bien plus que le rôle de simple exemple dans la suite de notre propos, engendre Ie groupe formel multiplicatif, par la formule Gm(x,y) = L-l(L(x) + L(y)). Cette propriété motive la définition suivante. Définition 1.1.2 Si un groupe formel F(x,y) Ç. A{[x,y]\ et une série formelle f(x) = x mod deg 2 sont tels que F(x,y) = f-\f(x) + f[y)), alors on dit que /(x) est te logarithme du groupe formel F(x,y). Ainsi, le point (*) du LEF fournit, dans un même temps, le logarithme et la méthode de construction d'un groupe formel sur un anneau particulier A. 1.2. Applications du LEF relatives au type p — T 13 1.2 Applications du LEF relatives au type p — T Les series formelles H(x) et L{x) — log(l + x) sont toutes deux de type p — T et donnent lieu, en application du point (i) du LEF, aux groupes formels Gm(x,y) = L-\L[x) + L(S)) et H(x,y) = #-'(#(*) 4- H[y)). L'application du point (U) du LEF montre alors que L-HH(X)) = frHhi*)) = exp(ff(z)) - 1 e Z<„[[*]], ce qui établit la proposition suivante. Proposition 1.2.1 L'exponentielle de Artin-Hassc1 ( xp xp2 \ Ep{x) := exp \x + — + — + • ¦ ¦ L a ses coefficients dans l'anneau 2(pj. De plus £p(x)-l : H(x,y)—>Gm(x,y), est un isomorpkisme strict de groupes formels. En vue d'illustrer, une fois encore, la puissance simplificatrice du LEF, démontrons une version particulière d'un autre "résultat d'intégralité": le théorème de Dieudonné- Dwork2 Proposition 1.2.2 (Théorème de Dieudonné-Dwork) Soit A = Zp[[i\], K = Frac(A) et l'endomorphisme a de K qui envoie t sur V. Alors pour F(x) = 1 + on + a2x7 + ... £ K[[x\]\ série formelle à coefficients dans K, les propriétés suivantes sont équivalentes (i) F(x) G AM, (*) ^el+^[[,| 1TeIIe que définie dans [16]. 1La version la plus générale est énoncée Jans [18]. 14 Chapitre 1. LES CONGRUENCES DE HONDA Preuve.- Los ingrédients A. A*. a (et comme fixés initialement / = pA, ài = -, Xi ~ 0 pour ' > 1) satisfont aux hypothèses du LEF. Comme o n'affecte pas les coefficients de la série formelle L(x) = log{l + x), celle-ci est de type p — T sur A. Autrement dit L(x) = Mx). Supposons que F(x) € -4[[rc]]. Par le point (Hi) du LEF, il existe une série formelle k(x) G A[[x]\. sans terme constant, telle que ft[F[x) -l) = A(x). Ceci se traduit par L(F(x) - l) - -a.L(F(x") - 1) = k(x); P ou encore, puisque a € End(K). par piog(F(x)) - logos')) = pi(:r) e M[[*H- En prenant l'exponentielle de cette dernière expression, on obtient F(x) 2 et l'endomorphisme a de K qui envoie t sur tp. Ces ingrédients qui, de façon évidente, remplissent les conditions énoncées dans le LEF, resteront ainsi fixés dans tout ce qui suit. L:usage a été jusqu'ici, de résoudre l'équation fonctionnelle AW--I " les propositions suivantes sont équivalentes (i) f{x) est de type p — T ; (U) an £ A si p ne divise pas n et anp(t) = an(*) = an(tp) fnodnpA, pour tout n > 1 ; (Ui) exp(f(x)) e A[[x\] . Preuve.- En préambule, rappelons que la série formelle L(x) = log(l + x) est de type p — T puisque ses coefficients sont invariants par a. (i) => (iii): Si f(x) est de type p - T ( tout comme L(x) ), alors du point (n) du LEF, il suit que L-1U(Z)) = exp(f(x))~l £ A[[x}); 16 Chapitre 1. LES CONGRUENCES DE HONDA ce qui établit (Ui). (Hi) => (r): Puisque h(x) := exp(/(ij) - 1 a ses coefficients dans .4. alors en vertu du point (Hi) du LEF. il existe une série formelle k(x) £ A[[x]] telle que /(*} = L(h(x)) = Mx). Ceci signifie précisément que f(x) est de type p — T. (i) <=> (ii): Si l'on pose g(x) = £„>t g„xn. alors l'équation fonctionnelle s'écrit, in extenso Par identification des coefficients des puissances de x. on obtient an — = On si p ne divise pas n > 1 et n ------------= g-np pour n > 1. np np Ou encore On = n • Qn si p ne divise pas n > 1 et anp = a^ + np- gnv pour n > 1. Supposer que /(i) est de type p — T revient à imposer que g„ € A pour tout n > 1. Dans ce cas, a„ Ç nA — A si p ne divise pas n et anp = n" rnod np/t pour n > 1. Réciproquement, si l'on admet (ii), alors de fait. gn Ç A pour tout n > 1, ce qui, par définition, prouve que j(x) est de type p—T. ¦ Définition 1.3.1 Nous donnerons le nom de congruence de Honda3 à la congru- ence anp(f) = Un(V) mod np A apparaissant dans l'énoncé du point (ii) du théorème de Barsky. Définition 1.3.2 [14] Deux suites («n)n>i cl(cn)n>\ satisfont à l'identité de Spitzer, si 'Par analogie avec les résultats concernant les polynômes de Legend re établis dans [21]. 1.4. Pseudo- puissances 17 Proposition 1.3.1 Si'deux suites (un)„>i ei(e„)n>i satisfont à l'identité de Spitzer, alors ne n = an + Y e>--an-k A11 > ^) \ k=l ort la sommation est étendue à tous les n-uples (nii,ni2.....mn) d'entiers positifs tels que rrt\ + 2m2 + ¦ ¦ ¦ + nm„ = n. /W = Zt1" et ff(ï) = 1 + Ee^a- Preuve4.- Posons En dérivant l'identité de Spitzer g(x) = exp(/(.r)), on obtient 9'(x) = f'[x)-explf(x)l ou encore X5V) = xf{x)g(x)t égalité dont le développement en séries s'écrit Y ne^n - Y a^n \l + Ye« La première relation s'obtient par identification des coefficients des puissances de x des deux membres de cette égalité. On trouvera une preuve de 2. dans [H]1 p. 73-74. ¦ 1.4 Pseudo-puissances Définition 1.4.1 On dit qu'un polynôme P(t) G. Zp[t] est une pseudo-puissance n si sa dérivée P'(t) appartient à nZp[t}. Exemples • Si q(t) € 1tp[t\, alors sa rt-ième puissance P(t) = q(t)n est une pseudo-puissance n (c'est l'origine de la terminologie); 4VoJr aussi [3Ol IS Chapitre 1. LES CONGRUENCES DE HONDA • le polynôme «le Tchebychev T„(t) := cos{n ¦ arccosi) est une pseudo-puissance n dans Zp[i], quel que soit p (cf. chapitre 3) : • le n-ièmc polynôme de Legendre Pa(t) est, simultanément, pseudo-puissance n et n -*¦ 1 dans Zp(ij, pour tout p impair (cf. chapitre 4). Proposition 1.4.1 Soit une suite (Pn(t))n>l C Zp[(] de polynômes vérifiant les congruences de Honda Pnp(t) = Pn[F) mod npZP[t\, (n > 1); alors Pn(I) est une pseudo-puissance n, quel que soit n > 1. Preuve.- Ce résultat s'établit par induction sur l'ordre p-adique de n. Soit v = ordp(n)\ si v = 0, alors n est une unité p-adique. Comme Pn(X) € Zp[(]. par hypothèse, alors Kl*) e "W) = ZpV]- Supposons maintenant que n = mp", avec v > 0 et ni premier à p. Après dérivation de la congruence de Honda /V(O = *V-i(*p) m«/mp%[l], on obtient /V(O = p ¦ /V-(O ¦ <"~l mod mP" Zp[*I- Par hypothèse d'induction, /V_,(() G mp"~'Zp[t], ainsi le second membre de la congruence précédente est nul modulo p"Zp(i], de sorte que ^P-(0Gmp"Zp[(]. 1.5 Limite définie sur une lemniscate Proposition 1.5.1 Soit (Pn(t))n>i C Zp[(] une famille de polynômes satisfaisant, pour tout n > 1, à ta relation de congruence de Honda Pnp(t) = Pn(I") modnpZp[t\. Si l'on considère, dans Cp, le domaine D de convergence de la suite (/377iP'-(o))1,>o (m entier fixé) et si irm désigne ta fonction définie sur D par irm(o) := lim PmJr(a), alors 1.5. Limite définie sur une lemniscate 19 a) Le domaine D contient la lemniscate p-adîque LTt = {a e Cp : \ap-a\ < r«.}; b) Sì a £ D et \a\ < 1, alors les racines p-ièmes aij,p de a appartiennent aussi à D. Deplus-m{a) = vm(a'h)- c) Si a € D, alors la boule B>{a) définit une suite conver- gente dans Cp, il surfit de voir que O11+I — b„ —* 0 lorsque u tend vers co. Mais !6,+i-M = |/V+i(<0-*V( 1. Si ^ —» co, la dernière égalité devient Ma"*) = *„(«). c) Si |a: — a| < re, alors Se théorème des accroissements finis montre que \Pmp»{x) - P>»Aa)\ - I?"I ~* O lorsque i/-»oo et par conséquent, que xm(x) = irm(a). ¦ 20 Chapitre 1. LES CONGRUENCES DE HONDA Remarque.- La lemniscate LTt est réunion disjointe de p boules de rayon re. Plus précisément, si l'on considère l'ensemble /ip., = {Ç€Cp : fH = l}cZ„ alors Ceci découle du lemme suivant. Lemme 1.5.1 Soient r < 1 et LT = [x £ Cp : \xp — x\ < r) la lemniscate p-adique de paramètre r; alors Preuve.- Pour x € Lr, l'inégalité \xp — x\ < r < 1 montre que |x| < 1. Ecrivons la factorisation |i'-x| = |i|- Ix-C1I.....|i-CP-jl, avec C1* G Pp-i C Zp et Ci = i mod pZp. Alors, ou bien |x| < I1 auquel cas \x" — x\ = |xj < r, et donc x G #o pour a e Cp fixé. Une autre possibilité de construire une fonction limite, à partir 3e la suite de polynômes (Pmp"(0)„>o' consistera à considérer une suite (Pmpv(O)1^0 en choisissant Çu dans une partie adéquate de Cp. Définitions 1.6.1 Pour h entier positif, considérons le groupe p,pk des racines pk-ième$ de l'unité dans Cp, i.e fip, = {( e cp : ck = i} c /o; avec Cj.- ^ /V e' Ct — V(C*+! ) = Clt+i ¦ Proposition 1.6.1 Si (Pn(O)nM C Zp[i] est une suite de polynômes vérifiant les congruences de Honda P„p(t) = P71(F) mod npZp[t], (n > 1), alors, quel que soit m > 1 et pour tout [C] 6 Zp(I).. Io limite jjrn Pmp"(C) existe et définit ainsi une fonction continue sur Zp(i). Preuve.- Soient donc m > 1 et un élément [Cj = (C)*>o àe Zp(l). La suite définie par b„ = Pmp"(Ci/) «st une suite de Cauchy car |6„-6„_,| = \PmAU - P^-MC^Î = 1^V(O-/V-(G)I < |p"l ¦ MC)I avec r„(t) G Zp[(] (congruence de Honda) < IpI; elle est donc convergente. Posons x ([Cl) = JImP^(CJ; la majoration ci-dessus entraîne alors la suivante |Pmp'(U-^V(Cr)I r>0). Cette dernière reste valable à la limite v —* oo et fournit I *([C])-JV(C)I < IpI- La continuité (relativement à la topologie de Zp(l) ) de la fonction x s'ensuit immédiatement. ¦ -).-1 Chapitre 1. LES CONGRUENCES DE HONDA 1.7 Polygones de Newton Définition 1.7.1 Soit P(t) = a0 + ait-\------f a„tn G Qp{t\, un polynôme de degré n > 1 à coefficients dans Qp. L'ensemble représentatif de P{t) est forme des couples Si = (i,ordp{(ii)) où i G {0.1,....«}. On appelle polygone de Newton de P(t), l'ensemble jVp des segments [s;,Sjj qui cons- tituent le bord de l'enveloppe convexe supérieure, (dans R}) de l'ensemble représentatif de P{t). Le polygone de Newton ,VV recèle toute l'information concernant les valeurs absolues des zéros de P[t) dans Cp (voir ['25], [2]). Plus précisément, on aies résultats suivants. Proposition 1.7.1 S/fs,-,.*,-] est un segment du polygone de Newton .Vp du polynôme P(I)1 avec Si = (*". U1-) - Sj = (j.Vj), (j > i), alors P(I) possède j — i zéros (comptés avec leur multiplicité} de valeur absolue égale à pA'>, oti Ay = 2^f" est h pente de [s„Sj] (avec la convention: p~'x = Q). Preuve.- cf. [25]. Définition 1.7.2 Si [s,.sj\ est un segment de pente A1-J du polygone de Newton Mp1 alors A,-; est appelée pente critique de Mp et le nombre r;j = pAij est rayon critique de À'p. Par abus de langage, on parlera de rayon critique ou de pente, critique du polynôme P(t)- Ainsi, r est rayon critique de /Vp si et seulement s'il existe a 6 Cp, avec P(a) = 0 et |fl| = r. Exemple.- L'ensemble représentatif du polynôme p(t) = (i + ty-i = J2Qtk t=i est formé des p + 1 couples (0, +ce), (1,1), ... ,(p — 1,1) et Ip1O). Il donne lieu à un polygone de Newton réduit à deux segments: l'un vertical de pente — oo, l'autre oblique de pente —^ (0^- ^S- 1-''.I). 1.7. Polygones ttc Newton 23 fig. 1.7.1 On en déduit, sans surprise, que P(O) = 0 et que. par ailleurs, les p — 1 autres zéros de P([) sont situés sur la sphère de rayon critique [p|p~' . Par définition. P{t) = 0 si et seulement si I -f ' € /V Ainsi, les racines /)-ièmcs de l'unité {autres que 1) se trouvent sur la sphère £=,.,(1) de Cp. La proposition suivante montre comment la congruence de Honda peut, dans certains cas, fournir une information sur les zéros des polynômes qui la vérifient. Proposition 1.7.2 Si (Pn('))n>i C Zp[(] est un système de polynômes tels que, pour tout n > 1, les conditions suivantes soient remplies 1. la congruence de Honda est satisfaite, i.e Pnp(t) = Pn[P) mod np Zp[I]; 2. le coefficient dominant de Pn(t) est une unité; 3. Pn(O) = O; 4. Pn(O) = n-u„ avec Un G Z* ; alors {A : A pente critique de P,p(t}} = \~ ¦ A pente critique de Pn{t)ï\jl-----— i . Plus précisément, si n = mp" avec v > 0 et m premier à p, les rayons critiques du polynôme P„(t) sont a) r = 0 lorsque n = \; 24 Chapitre 1. LES CONGRUENCES DE HONDA b) r = 0 f.t r = 1 lorsque n = m > 2: c) r = 0./\t = p~ »*<*-» =rxJ>L (Jb = 0,1,...,1/- I) si'm = ] et f > 0," d) r = 0, r= 1 ri rk = rlJpk (h = 0.1,... ,f - I) si m > 1 et v > 0. Preuve.-L'affirmation o) est évidente. b) Si n = m > 2, alors le polynôme Pn(O s'écrit Pn{t) = al + ¦ ¦ - + bt" avec a, 6 € Z*. Son polygone de Newton est donc formé d'un segment vertical et d'un segment horizontal, qui fournissent les rayons critiques r = 0 et r = 1. Le point c) s'établit par induction sur v > 1. La congruence de Honda /»,(O = P1(I") = bt> modpZp[t] (b e z;): donne la construction suivante du polygone Afp.. fig. 1.7.2 Les rayons critiques de Pv{t) sont donc i- = 0 et r0 = p~p~' = rB. Supposons (hypothèse dHnduction) que le polynôme Pp-(Oi (" > 0- possède les c + 1 ravons critiques r = 0 et r*, fc = 0,..., u - 1, provenant du polygone de Newton 1.7. Polygones de Newton fig. 1.7.3 La congruence de Honda permet de déduire le polygone de Newton de /y-n(i) de celui de />(')¦ En effet, si Si = ( t, V1) et Sj = (j, Vj) sont les extrémités d'un segment de AOy. alors 5; = (îp, U1) et Sj = (jpi»j) sont celles d'un segment de AOy+1- Autrement dit, si iy possède la pente critique A1 alors /y+i admet y comme pente critique. En outre, les points si = (l,i/ + 1) et sp = (p,c) sont les sommets d'un segment (de pente -rrr) du polygone de /y+i(i). Ainsi, le polynôme iy+i(() possède les e + 2 pentes critiques 1 A = -00 ,At = - (P-I)P* , * = 0, ¦ ¦ ¦, v. d) Soit m > 1; le polynôme Pm(t) possède la pente critique A = O: celle du segment d'extrémités (1,0) et (m,0). Il s'ensuit que r = 1 est rayon critique de Pmp»[t): Quel que soit v > 0. Le reste du point d) s'obtient de façon tout à fait analogue au point c). En fait, le polygone de Newton MpmpV est constitué d'un segment horizontal [(p",Q); (mp",0)] et du polygone de Newton AOy de Pp- entre les indices 0 et p". ¦ Exemple.- La famille de polynômes, (Qn(0)n>i C Zp[t], définie par Qn(O = (I+T-I- satisfait, de façon évidente, aux hypothèses 2, 3 et 4 de la proposition 1.7.2. Par ailleurs, ainsi que nous l'établirons dans le chapitre 2, la congruence de Honda Qnp{t)=. Qn(F) modnpZp[t] 26 Chapitre 1. LES CONGRUENCES DE HONDA est vérifiée pouf tout n > 0, Comme, par définition Qn(I) = O <=> C = I-He,v la proposition 1.7.2 fournit la proximité à 1 de ¢, c'est-à-dire la distance Ki = ii-a Par exemple, si Ce iip- -nP*-'.. pour un certain k > 1, alors Je crois que fa renine mil ( h em* I iq ne nous es! extérieure, que noire rôle esl de /a découvrir ou de l'observrr, el que les théorèmes que nous démontrons, en les qu&iitïanl pompeusement de "créations', sont simplement des notes sur nos a (verta I ions. G. H. Hardy L'apologie d'un mathématicien Chapitre 2 FAMILLES D5APPELL 2.1 Famille d'Appell et congruences de Honda Considérons une suite {Pn(t))n>0 C Zp[tf] telle que le polynôme Pn(I) soit, une pseudo- puissance n pour tout n > 0. D'après la définition donnée dans le chapitre précédent. ceci signifie que la dérivée Pn(t) appartient rcZp[f], Autrement dit, pour tout n > 0. il existe un polynôme r„_i(ï) G 2p[t], défini par Kit) I=TlTnMt). Ce caractère d'intégralité est la seule condition imposée à la suite (r„(f)); en par- ticulier, il n'existe aucune relation entre les polynômes Pn(i). L'exigence de com- patibilité, exprimée ci-après, définit les suites particulières de pseudo-puissances que nous nous proposons d'étudier. Définition 2.1.1 Une famille d'Appell1 est une suite (An(ï))n>0, de polynômes liés par les conditions Ai(I) = Q et A'n(i) = TiAnMt), (*>!)¦ Remarque.- Avec cette définition, le terme Ak d'une suite d'Appel! [An(t)) C ZP[t] est une pseudo-puissance k de degré h. Exemples,- Le présent chapitre se consacre, précisément, à l'étude de quelques exemples classiques de familles d'Appell. Les polynômes de Bernoulli et d'Euler font l'objet des sections 2.3 et 2.4, tandis que les polynômes Rn(^) :=(1 + t)n (ren- contrés dans le chapitre précédent) sont traités en section 2.2. Remarque.- Si deux polynômes P„p(t) et Pn{t) vérifient la congruence de Honda Pnp(t) = Pn(V) modnpZp[t], (1) 1PaUl Appell, mathématicien français né à Strasbourg (1855-1930). L'essentiel de son oeuvre se situe en analyse. 27 2S Chapitre 2. FAMILLES D'APPELL alors, clairement, leur évaluation en un quelconque entier p-adique a £ Zp amène la congruence . Pnp(a) = Pn(np) modnPZp. (2) Evidemment, la réciproque est fausse. Même si la congruence (2) a lieu en tout a g Zp, la congruence polynomial (1) n'en découle pas pour autant. A titre d'exemple, les polynômes PF{t) = 2f — t et A(O = f ne vérifient pas la congruence de Honda, bien que Pp(a) - Pi(ap) = a" - a = 0 mod pZp, pour tout entier p-adique a S Zp. En revanche, "la propriété d'Appell" entraîne le résultat suivant. Théorème 2.1.1 Pour une famille d'Appell (A„(t))n>0 dans Zp[t], les deux affir- mations suivantes sont équivalentes (i) Il existe un entier a £ Zp pour lequel Anp(a) = An(ap) mod npZp, quel que soit n > 0; (U) La congruence de Honda Anp(t) = An(P) modnpZp[t] est vérifiée pour tout n > 0. Remarque.- En tant qu'élément d'une famille d'Appell dans Zp[t], le polynôme -4„(() est une pseudo-puissance n. Ainsi, /e théorème des accroissements finis p-a.diques (appliquable ici puisque \ap — a\ < \p\ < rc) fournit la congruence An(a") ~ An(a) mod npZp. Dès lors, la proposition (i) du théorème 2.1.1 équivaut à la suivante (i)' Il existe un entier a € Zp en lequel la congruence Anp(a) = An(a) mod npZp est vérifiée quel que soit rt > 0. Preuve du théorème 2.1.1.- L'implication (H) =*• (i) est évidente. La réciproque (j)' =*¦ (ti) se démontre à l'aide du théorème de Barsky (théorème 1.3.1). Il s'agit de prouver que les polynômes Cn(O intervenant dans l'identité de Spitzer exp (^1An(I)-) =1 + E 9"CK. U) \n>l " / n>l 2.1. Famille d'Appell et congruences de Honda 29 sont à coefficients dans Zp. En dérivant chaque membre de (1) par rapport à la variable t, on obtient (z K(t)xA ^?{e MtfA = z ^(^ ou encore, grâce à la propriété d'Appell (E^-I(O*") (i + É^o*11) = E<(oxn. \n>] / V «ai / n>l L'identification des coefficients relatifs à la même puissance de x, fournit la formule (avec C0(O =0 ?;(0 = L^-*-i(09*(').(™>l-J- (2) Ainsi CiCO = È^-^MO = £^^(0^(0+ ^n(O- t=0 Mais, la proposition 1.3.1 affirme que 9.(0= "E A»-k(t)q„(t), (3) de sorte qu'on obtient la "*propriété d'Appell" Cl(O = "î«(0 + A>:(a)(t-«)k. (4) L'ancrage se déduit de l'équation (2). En effet, pour n = 1, celle-ci s'écrit ¢{(0 = Aoq0(t) = A0 et entraîne le développement ¢,(0 = ("*°)^(a)C - <0 + Çi(a}- Quant au pas d'induction, on l'établit en exprimant q'n+l{t), à l'aide de (4), comme suit Ci(O = (" + AoK(O = (»+/me ("" 1^+ Ao) 1. le polynôme appartient à Zp[rj. L'hypothèse (i)' postule que la série formelle -T. " est de type p — T ou, de façon équivalente (théorème 1.3.1), que les coefficients qn{a) sont dans Zp. Comme Aq G Zp, il en va de même des coefficients binomiaux (""1^ "). Ainsi, tous les termes du membre de droite de (4) sont entiers p-adiques; ce qui montre que ÇnfO 6 Zp((] pour tout n > 0 ou, de façon équivalente (théorème 1.3.1). que la série formelle yAM±xn est de type p—T. A ce titre, ses coefficients satisfont à la relation de congruence Anp(t) = An[P) mod npZp[t\. Remarque.- Soit (Çn('))„>i 'a suite de polynômes associée à une famille d'Appell Mn(O)0X) e Zp['l Par l'identité de Spitzer «pfe—«"i-l + EUO*". Au cours de la démonstration du théorème 2.1.1, nous avons établi les propriétés suivantes pour la suite (Çn(')Jn>o- a) Le polynôme ç„+i(') est une pseudo-puissance n + /lo; b) Si /I0 = 1, alors la suite (?B(0)n>o est une fami'e d'Appell. 2.2. Les polynômes Rn(t) = (1 + t)" 31 2.2 Les polynômes Rn(t) = (1 + t)" En guise de premier exempie tic familles d'Appelî. considérons les polynômes Rn(t):={l+t)\ («>0). Comme ^(() = ^1+0"-1 = HAn^1(O, («>l); A0(O = i ; An(O) = I, (n> 1); le théorème 2.1.1 s'applique et établit les congruences de Honda transcrites dans la proposition suivante2. Proposition 2.2.1 Pour tout n > 0, on a la congruence (I+*)"" = (1+ C)" mod npZ„[t]. Remarques.- 1) Le développement binomial de Rn(t) implique que les coefficients binomiaiix satisfont à la relation En effet, on a 4.(0-AOT = E(7)'l-Ê0'" p ne divin pai k = 0 mod npZp[t\. Ces congruences sont bien connues et ne représentent qu'une version plus faible d'un résultat de G. S. Kazandzidis {22], [23], [24], qui sera utilise au chapitre 4. 2) Notons que la proposition 2.2.1 se démontre aussi à partir du théorème de Barsky. En effet, la série formelle ti \ T^ ^"(0„n ¦Equivalente au lemme 1.4 de [7], :32 Chapitre 2. FAMILLES D'APPELL se laissant écrire sous la forme M - E^" = £«i-h)*}^ = -1Og(I-(Z), le développement de son exponentielle exp(/(x))=-^— = l + £9ll(Oxn, 1 rI n>l fait apparaître les polynômes qn(t) = i" € Zp[(). Ainsi, la série formelle f(x) est de type p — T, et de ce fait, ses coefficients vérifient les congruences de Honda. An passage, on trouve le groupe formel F(*,v) = rl(f[*) + f(v)) = * + y-txy: isomorphe sur Z[t) au groupe multiplicatif Gm[x,y) = x + y + xy. via !'isomorphism« A(z) = exp(/(x))- 1 = -2--1 = -^-=tx + (V + ---. 1 — IX 1 — IX Pour le cas particulier où n = pT avec r > O,la congruence de la proposition 2.2.1 s'écrit (1+,1"'41S(I + ^)'' morf/+%[!,]. (1) Maintenant, si y est choisi égal à y = -2/2 + i2, alors il existe un polynôme s(x,t) £ Zp[i, (] pour lequel y" = -2(pxp + xïp + ps(x, 0- Des lors, en appliquant le théorème des accroissements finis à Ia congruence (I), on obtient (1-2(1 + *2)''*' =. (l -2(pxp + xîp + ps(x,0)pr modpr+'Zp{x,t] = (l-2(prp + xîp)P' modpT+,Zp{x,t). 2.2. Les polynômes An(I) =(1 + 0" 33 Si (Ir(Lx) et qT+i[t.x) dénotent. ies polynômes définis par (l_9;.r4.x2)pr+1 = 1+9,+,((.1), ( 1 - 2/pxp + x^f = 1+C1-(C1X"), alors, la dernière congruence exprime le fait que t,r+1{t.x) = qAtp,x') mod pr+1ZPM- Soit maintenant fi € %v\ on a alors [l~2tx + x2)->*r" = {{\.~2tx + xY*'y'i = {l+9r+1(t,x)}-" = 1:(7)(9-^^ + ^^0}'. où u(x,i) est un polynôme à coefficients dans Zp. On en déduit la congruence (i-2(x + xVpr+1 = E(7)9r((P'xP,fc ™«*p'+,Zp[ 0, la congruence suivante est vérifiée (l-2ix + x2)""'r+' =(l-2t'V + x2'ï)"''pr mod pT+%[t]{[r]\. Définition 2.2.1 Les polynômes de Gegenbauer C„(i) sont definii formelle ment comme coefficients de ta fonction génératrice <}(x) = (l - 2(x + X2)'" = Y, Cvn{t)xn. 3VoIt[I]. [28]. 3-i Chapitre 2. FAMILLES D'APPELL Voici la liste des six premiers. Co(O = 1; CJ(t) = -i/ + 2y{l+i/)(3; C£(0 = -21/(1 + 1/½+ Wjf»"V; C4-(O = ^ - 2(1 + 1/)(2 + „)<3 + ^^")P+>»^)f4. Cs*(0 = vjï + 1/)(2 + v)t - -M^)^)^)^ + ^i+^)(3^C^)fS. Proposition 2.2.2 ics polynômes de Gegenbauer C%(t) vérifient les congruences suivantes • C£(0 = CM') mod upZp[t], (n > O1I/ e Z„); • CJf(O = 0 mod vpZp[t] si p ne divise pas n > 1. Preuve.- Par définition 9[x) =(i-2tx + x2)"" = I]Cn-(O^"; soit alors Tunique unité p-adique /iêZ telle que i/ = fipT ^ 0 , (r > 0). Appliqué à <7(a")p - c,g(r"), le lemme 2.2.1 fournit la congruence £ cj?(o*n - 5]c;(iy = (i-aï + ï')-'t,.(i-av + i'')"w' = 0 mod pr+1Zp[t][[*]l dans laquelle, l'identification des coefficients des puissances de x traduit les deux points de la proposition. ¦ Remarque.- Dans [7], .1-L Brylinski établit des congruences analogues à celles énoncées dans la proposition 2.2.2, mais seulement modulo p. Plus précisément, il démontre que si v est un demi-entier et si p est premier impair, alors • C£(0 = Cn-(O" mod p, (n > 0); • CJf(O = 0 mod p si p ne divise pas n > 1. Notre résultat représente donc une amélioration sensible. 2.3. Nombres et polynômes de Bernoulli 35 2.3 Nombres et polynômes de Bernoulli Une abondante littérature^ est consacrée à l'étude des nombres et polynômes de Bernoulli.5 Le but de cette section est. d'une part, d'établir les congruences de Honda pour les polynômes de Bernoulli et d'autre part d'apporter des preuves p-adiques aux célèbres résultats de von Staudt-Clausen et Kummer ainsi que d'énoncer de nouvelles congruences sur les nombres de Bernoulli. Définition 2.3.1 Le développement en série définit les polynômes de Bernoulli B„(t) qui ont pour coefficients constants, les nom- bres de Bernoulli bn := Bn(O). Citons les premiers de ces polynômes B0(O = i; B1(O = i-b B2(t) = (a-* + J; B3(O = ?-It*+ fr B4(O = t«-2*3 + t2-JL; B5(O = *5 - fi* + §*3 - J*. Ainsi io = 1, 6, = i, O2 = |, O3 = 0, b< = -£, b5 = 0, etc.. La proposition suivante dresse une liste des propriétés dont nous ferons usage dans la suite. Proposition 2.3.1 Les nombres et polynômes de Bernoulli ont les propriétés sui- vantes î) W = O, (n>i); 2) B'n(t) = nBn-1(t), (n>l); Ir 3) Bn(I+ I)-Bn(O = ni*"1, (n>l)î 4) Bn(O = LU G)M"', (">0)î «Cf. [27], [17]. 5Il s'agit ici des nombres de J arques Bernoulli (1654-1705) et des polynômes de Daniel Bernoulli (1700-1782). Le terme de "polynômes de Bernoulli" fut introduit par J.-L. Raabe en 1851. 36 Chapitre 2. FAMILLES D'APPELL 5) Sk[N) := £o<«,v C = B^~^\ {(V > 1); 6) Sn(I -O = (-l)"ßn(0, («>0Ï; 7) (-l)nß„(-0 = 5n(0 + n(B-1. (n>0); 8) Bn[mt) = m""1 Z^ B» (f + £) - (" > °-"> ^ 1J- Preuve.- En dérivant, par rapport à t. la fonction génératrice on obtient Ôb(x.t) i'e* ,, ( ¦ =.1:-6(1,0; Bt er - 1 une identité qui s'écrit, in extenso et qui entraîne que B'0(t) = 0 ams' °.ue 'a propriété d'Appel! 2) iOO = nBn-i{t). A l'aide de cette seule propriété, on établit, par induction sur n > 0 (tout comme dans l'équation (3) de la section 2.1), le développement binomial 4) A(O = Ef? W"'. t=o v^ Afin de démontrer la propriété 3), comparons les deux séries formelles b(x, t) et b[x,t+l). D'une part, on a MxJ + 1) - b(Xlt) = £{*„(* + ï) - Bn(t)}-, d'autre part ^ + i)-*-^, ce qui fait que Bn{t + 1) — Bn(I) = ni1"1, (n > 0). La fonction génératrice Ì(i,0 a également la propriété suivante -xelx -are1!'+1* 2.3. Nombres et polynômes de Bernoulli :37 Le développement, en séries des deux membres de (1) s'écrit, et fournit i'identité Bn(t + 1) = (—l)nBn(—t). Grâce à ia substitution ( y-* -t, on en déduit la relation 6) Bn(I-O = (-0"A-(O- En substituant la propriété 3) dans l'identité Bn(t + 1) = ( — l)nBn(-t), on tire (-l)"5„(-0 = Bn{t + 0 = Bn(I) + nt*-1; c'est-à-dire la propriété 7), dont l'évaluation en t = 0 établit 1). Grâce à la propriété 3). on a, pour k > 0 *_ Bt+1(I+I)-Bt+1Jt) k + l expression qui conduit à la relation avec les sommes de puissances Sk(N) = SV = -±- J: {Bk+l(t + l) - A+1(O). (=0 K + 1 (=0 Dans la dernière sommation, seuls subsistent le premier et le dernier terme. Autrement dit. 5) Sh{N) =--^Bm[N)-bM). Reste à démontrer l'identité dite "de Raabe" 8). Il s'agit de prouver que Bn(mt) = -mf:mnBn(t + -). A cet effet, multiplions numérateur et dénominateur de Ia fonction génératrice 6(1,0 par e"11 — 1 et développons o{ x, t ) = ----------------¦----------------¦ 1 mx-e* m_1 m emx 1 mxe 1 t=o fc=o I^ { x + k = — > ol mi,------- En identifiant les coefficients des puissances de .t correspondantes dans le développe- ment de cette dernière identité, on obtient 8). ¦ 3S Chapitre 2. FAMILLES D'APPELL Les nombres de Bernoulli sont rationnels; le théorème suivant, qui regroupe des résultats de von-Staudt. Ciausen et Kummer, fournit des renseignements aussi bien sur leur numérateur que sur leur dénominateur. La preuve que nous reproduisons ici. est celle que A. Robert a présenté comme exemple d'application du théorème des accroissements finis p-adiques lors de son cours du 2'me cycle à Lausanne [33j. Théorème 2.3.1 Les nombres de Bernoulli ont les propriétés suivantes 1) Si p — l ne divise pas Ic > 1, alors il existe r^ G Zp, tel qite k = k • n ¦ 2) Si p est impair et si p - 1 divise k > 1, alors il existe r* G Zp, tel nue bk = ^-i + k - rk . Preuve,- Considérons Sk[p) la somme des puissances fc-ièmes (k > l), des entiers strictement inférieurs à p St(P) = E*'*. Pour tout i < p — I1 il existe un unique entier p-adique (,',¦ tel que C,- = t mod p Zp. Alors p-i ^(P) = LCf= L C" mod p Z„. 1=1 Ce»,-! On raffine cette congruence à l'aide du théorème des accroissements Huis appliqué à la fonction f(x) = xk (pour laquelle f'(x) = fcx*-1} au voisinage de x = i. Comme C; = i mod p Zp, c'est-à-dire |Ç,- — i\ < \p\ < rci on obtient la majoration |cf-«Ì = 1/(0-/(01 < uni-le--ii < IM- L'inégalité ultramétrique entraîne alors la suivante sk(p)- £ c* < IM, 2.3. Nombres et polynômes de Bernoulli 39 que l'on transcrit sons la form« Skip)= E Cfc + *P-«A. avec «t € Zp. (1) Par ailleurs, rappelons la propriété 5) (proposition 2.3.1) qui s'exprime, à l'aide du développement binomial (propriété 4) de la proposition 2.3.1 de Bk+i{t), comme suit «*> = Fi1E(TK-.-*1 - U-O^ Le choix N = p fournit l'égalité Sfe(p) = P • fcjt + pk Y, .-/-,jJ ¦ _ 2 IP'"3 ¦ A-+1-M ou encore Mp)=P-^ + M-E (fc_i + 1)! • V -^+1-'-- {2) Dans le membre de droite de (2). le terme ^"7Ji ij est entier et le terme ^j- € Zp pour p £ 2. En effet i-S,(ï) i -•> - > -1 P-I A l'aide de l'équation (2), on démontre alors (par induction sur k), que pot est entier p-adique, que! que soit k > 0 et de plus, qu'il existe Vk ë ZP tel que Skip) = pk + Vk ¦ ut avec v* S Zr (3) 40 Chapitre 2. FAMILLES D'APPELL En comparant !es deux expressions (1) et (3) trouvées pour la somme Sk{p) on obtient Pbk= Y, C' + pi'Tt avec rfceZp. (4) lorsque Ic n'est pas multiple de p — 1, Ia somme apparaissant dans le membre de droite de (4) s'annule, de sorte que bk = hrk avec rk e Zp, tandis que si p — 1 divise A:, alors pbk = p - \ + pk • rki c'est-à-dire bk = ^- + Arjt avec rk eZp(p/2). Remarque.- Le théorème précédent montre que pbk G Zp pour tout p premier impair, ce qui est encore vrai pour p = 2. En effet, via l'identité (2) 5,(2) = 24* + k g ^.^, • — 2 ¦ òfc+w, (3) on montre, par induction, que 2¾ £ Z3 pour tout k, et ceci, grâce au fait que ordì (2^t-) = Sp[i) — 1 > 0. Mieux, le point 2) du théorème est vérifié pour k > 4 pair. Proposition 2.3.2 Si p = 2 et k > 4 est un nomire prtir, a/ors le nombre de Bernoulli bk admet le développement , p — 1 , 1 , ut = -------+ A: ¦ Tk = - + fcrt, auec r* g Z3. p 2 Preuve.- Rappelons que O0 = 1 et O3 = |. Ainsi ^ 6 2 3 fait bien exception. La proposition se démontre par induction sur k. Tout d'abord, pour k — 4, le nombre de Bernoulli b* = —^ admet le développement A =-1 = 1-! " 30 2 15 = l+4r4 2 „ avec r4 = -— G Z3; Jo 2.3. Nombres et polynômes de Bernoulli 41 ce qui établit l'ancrage. De même, remarquons que 2 1 10 42 2 21 ¦ !?•¦(-! = 5 +Gr6 avec ru = -— e Zï. D-J Supposons maintenant que k > 6 et écrivons l'identité (3) sous la forme f)k+i 2* 1 = 26, + fc(fc-i Jl^-A0+ *(*- I)I^1 + +"*->¦+ 'gïï^Ç •*?-- En admettant l'hypothèse d'induction et en utilisant ie fait que 2'/C! € 2 Z; si £ > 1. on obtient l=2fc + 2is4 + É X (fc-l)"-(fc-i>2)^-{l+2(& + l-t)ati-(}. avec it, r*+i_; tous dans Z2. Il s'ensuit que 1 = 26t + 2Hfc + 2A:«fc avec ut € Z5; d'où la proposition. ¦ Corollaire 2.3.1 (von Staudt) Pour k > I1 le nombre de Bernoulli 6¾ peut s'écrire sous la forme ht = - Y, - + m* où mk e Z. p-i|fc P Preuve [33].- Le nombre rationnel h-r E- P-H*'' est entier p-adique pour tout nombre p premier. Par conséquent, son dénominateur est 1. ¦ 42 Chapitre 2. FAMILLES D1APPELL Autre corollaire du théorème 2.13.1. le lemme suivant nous permettra de présenter une nouvelle démonstration des congruences dîtes rde Kummer" 6. Lemme 2.3.1 Si p— l ne divise pas n, alors le nombre rationnel n est entier p-adique, quel que soit a G Zp. Preuve.- On montre, par induction, que l'énoncé du lemme est vérifié par tout entier naturel a = k et on conclut en utilisant la densité des entiers naturels dans Zp. Si k — 0. alors le point 2 du théorème 2.3.1 montre que -ßn(0) = ^ 6 Zp. '¦ n n Puis, la propriété 3) de la proposition 2.3.1, qui s'écrit + k' n n établit le pas d'induction. ¦ Théorème 2.3.2 (Congruences de Kummer) Si p - 1 ne divise pas n > 2. alors ------------= — mod p Ti.. n+p-1 n r p Preuve.- II faut tout d'abord remarquer que les termes de la congruence sont tons deux nuls si n > 2 est impair. La congruence valable pour t. entier quelconque, entraîne la suivante Sn-i(N) = Sn-l+^[N) mod p, qui, traduite à l'aide de la propriété 5) de la proposition 2.3.1, montre qu'il existe une constante 0 < c < p — 1, telle que la congruence y ' n + p-1 n n+p-l n est vérifiée pour tout entier N. Donc, quel que soit l'entier p-adique a € Zp, on a R(a) = c modpZp. 5Gf. section V.8, (théorème 5) de [5] 2.3. Nombres et polynômes de Bernoulli 43 L'identité de Raabe [propriété S), proposition 2.3.1], évaluée en t = 1. fournit les égalités n+p-1 S n+p-1 ' K ' (3) En effectuant la soustraction (2) — (1), on obtient ' Ù>\ n+p-l n f Si m est premier à p. alors a ~ 1 -f ^ £ Zp pour tout A = 0.....m - î et mp_1 = 1 mod p. Le femme 2.3.1 donne alors lieu à la congruence fl(m) = m""1 J2 R [l + —) rnodpZp, . qui s exprime c = m" 1^c mod p Zp c(m" — 1) = 0 mod p Zp. Choisissons m tel que m :— m mod p soit générateur du groupe (Z/pZ)". Comme p — 1 ne divise pas n, la simplification est licite et amène bien Ia congruence de Kummer . _ «n+p-l On c =:--------------------= U mod p Z0- Ti + p - 1 n ¦ Remarque.- D'après le théorème 2.3.1, le nombre de Bernoulli 6„, pour p — 1 ne divisant pas n, s'écrit 6„ = nrn. Les congruences de Kummer établissent donc la (p— l)-périodicité modulo p dans la suite (rn)n>i (pour les n non multiples de p—1). Théorème 2.3.3 Les nombres de Bernoulli vérifient les congruences suivantes 1) 6np+t si,+* mod n ZP! (p^2, n > 1, t > O); 2) iapi-t = ft^p-fc modnZp, (p ^ 2, n > 1, 0 < fc < n(p - 1) ). La démonstration de ce théorème s'appuie sur les deux lemmes suivants qui ex- ploitent la relation entre les nombres de Bernoulli et tes sommes de puissances d'entiers. 44 Chapitre 2. FAMULI'S D'APPELL Lemme 2.3.2 Pour n > 0 et k > 0, on a la congruence Snp+k{}>) = Sn+k[p) modnpZp. Preuve,- Soit un entier l € {1,... .p — 1}; on a rp+* = fk . rp _ (k , {fpy = ft^ + iipp ayec u £ Zp Appliqué à la fonction i" au voisinage de x = l, le théorème des accroissements finis fournit Ia congruence rp+t = (*{£ +up}*= P-P = P+* rnodnpZ,. On somme sur t pour obtenir p-i p-i ^; r^* s J^r+* modnPzp. l=i fct Lemme 2.3.3 Si n > 1 et k > 1, a/ors S-+*(P) s p-W + £ A(A-I) • ¦ ¦ (A-;+2)-^in+t+w modulo { J*?' ^ J f * Preuve,- En utilisant la proposition 2.3.1 (propriétés 5) et 6)], on obtient l'expression suivante pour 5„+jt(p). B*+k+i(p) ~ frn+A+i £>+*(p) = n + A + 1 î "^1 /n + i + r n + * + 3 = p-in+t + fn + AJ^-fc.+t-i + n+fc+1 E j=3 +fc+'/n + fc + l\ 1 n+fc+l ;-2 + E (n + A)---(n + A-j + 2)-£---p-p6ri+t+i-J-. Rappelons que p ¦ b„ e Zp quel que soit n (théorème 2.3.1). Si p ^ 2, alors p*'7!]1- G Zp pour tout j > 2 et ainsi p» it.1 p> 5n+t(p) = p-bn+k + kZ-bn+k-i+^k---(k-j+ 2)-h; On+^1-J mod npZp l- j=3 J" fc+1 J = p ¦ bn+k + £ A • ¦ ¦ (A - j + 2) • — ¦ W+i-j mw* "P Zp i=2 J ¦ 2.3. Nombres et polynômes de Bernoulli 45 Si p = 2, alors p>~1 jj\ Ç. Z1, pour tout j > 2, et la congruence obtenue n'est vraie que modulo ri Z2- ¦ Preuve du théorème 2.3.3.- Démontrons, par induction sur k > 0. !a congruence Änp+jt = bn+k mod n ZF, [p ^ 2). Grâce au théorème 2.3.1, ou peut écrire (l) bn = 6{n)-^ + nrn P (2) bnp = S(np)-^~ + npr„p P avec r„ et rnp, deux entiers p-adiques et où 8(i) est définie par 0 si p - 1 ne divise pas ï; 8(i) = i , . . , . . 1I si p — 1 divise t. De la soustraction (1)-(2) (et du fait que 6(np) = S(n)). suit la congruence bnfì = bn mod n Zp, qui établit l'ancrage d'induction. Par le lemme 2.3.3 , on a fc+i pj' Sn^Cp) = p ¦ bnp+k + Y, * " ¦¦ (k ~ 3 + 2)^6np+fc+l_j mod V Zp. (3) J=2 r- 5n+fc(p) = p ¦ bn+k + £*¦¦•(*-; + 2)—W+i-i »norf "P7P- (4) j=î 3- En effectuant la soustraction (3)-(4) et grâce au lemme 2.3.2, on obiient 0 = Snp+k(p)-Sn+k(p) = p{l>np+k - bn+k) + Y, k ¦ " (k - J + 2)~(k.H-fc+1-i -*»+*+!-j) morfnpZp. J=S J- Mais si l'on admet l'hypothèse d'induction tnp+t+i_j - fcn+fc+i_j = 0 mod TiZp, (j > 2). alors — (ònp+jt+i-j - bn+k+i-j) = 0 mod TipZp ( et même morf?tp'Zp). •16 Chapitre 2. FAMILLES D'APPELL On en conclut que p{b«p+k - b„+k) = 0 mod npZp, d où la congrue-noè à démontrer. Le point 2) s'établit en utilisant successivement le point 1), coturno suit. bni>2_k = 6(np_fc}+np(p-i) avecn/>-fc>0 = fc{np-A-i+n(^-i) modnZp pat- le point 1) = 0 — ''n+nfp-ij-it modnZj, par le point 1) = bnp-k mod n Zp, ¦ Corollaire 2.3.2 Pour lotis entiers m > 0, k et t. la suite converge dans -Zp. (p ^ 2). Preuve.- Le théorème 2.3.3 stipule que 1) bmyV+k = bmp>.-i+k mod mp1"1 Zp (p ^ 2, m > I1 k > 0, u > 1); 2) bnp*.k = bmp^.k modmpv-2Zp (p î 2, m > I1 0 < k < mp"-2(p - I)). Cette autre formulation montre que, quels que soient m > 0 et k 6 Z. la suite (5«p-+fc(0))„>„ = (W+O^ converge (avec, ici. f0 défini de sorte que mp^ + k > 0). Ceci établit l'ancrage d'une induction dont le pas se démontre grâce à la propriété 3) de la proposition 2.3.1 qui s'écrit Bmp*+k((+l) = A1^+4(O + (mp" + k)rpU+k'\ Finalement, la propriété 6) de la même proposition, à savoir AnP-+*(-0(-ir+t = V+t(0 + (™pv + *)rp"+A-\ achève la démonstration. ¦ 2.3. Nombres et polynômes de Bernoulli 47 Après ces quelques résultats sur les nombres de Bernoulli, il est temps de revenir à l'étude des polynômes du même nom. Notons que ces derniers ne satisfont qu'à une relation de congruence de Honda affaiblie. Plus précisément, on a Théorème 2.3.4 Les polynômes de Bernoulli {BM))n>o 5"n' des polynômes d'Appell à coefficients dans -Zp; ils vérifient les congruences 1) Bnp(t) = Bn[F) modnZp[t]; (p#2, *>0); 2) B2M) = BM2) mod %Z-t[t], (n > 0). Preuve.- Le théorème de von Staudt (Corollaire 2.3.1) ainsi que la propriété 4) de la proposition 2.3.1 montrent que le polynôme Bn[I) a ses coefficients dans ^Zp[f]. Appliquons le théorème 2.1.1 à la suite (ßM))n>a définie par ßM) = WM)- Par construction, celle-ci constitue une famille d'Appel! dans Zp[t\. 1) Si p ^ 2, alors le théorème 2.3.3 implique la congruence MO) -A(O) = 2p[bnp - bn) = 0 mod npZp. équivalente, par le théorème 2.1.1, à la congruence polynomîale ß„M)-ßMP) = Ip(BnM) - BM")) = 0 mod npZp[t\, qui établit le point 1) du théorème. 2) Si p = 2, alors An(O)-A1(O) = 4 (O2n-M= { f 4O2 - 4*i = § S 0 mod 2n Z3 si n = 1 4bA - 4¾ = - jj = 0 mod 2n Z2 si n = 2 466 -4O3 = Ab6 = Q ™°d 2n Z2 si n = 3 4 [2nr2n — "r„) = 0 mod 2n Z2 si n > 4, (proposition 2.3.2) Dans tous les cas An(O) - A1(O) = 0 mod InZi, congruence équivalente (théorème 2.1.1) à la congruence polynomîale iBtM) = ^BJt2) mod2nZ2[t\. m 48 Chapitre 2. FAMILLES D1APPELL Corollaire 2.3.3 Pour p ^ 2, ta série formelle donne naissance à un groupe formel ri coefficients dans Zp[[t\\, défini par Fb(z.y) = b-l(b(x) + b(y)) et isomorphe au groupe multiplicatif G m(x, y). Preuve.- D'après le LEF, il suffit de vérifier que On calcule il U[X) ez,[['lf. a" T=O ^) r=0 = A-i + MO avec *(*) G Zp[t]. D'après le théorème 2.3.1, on a pbp-i = p - l + p(p - I)^1, avec rp_, £ Zp. Par conséquent pbp„t G Z*, si bien que pBP-i(t) G Zp([i]j . ¦ Corollaire 2.3.4 Pour p ^ 2 et v > 2, les rayons critiques du polynôme de Bernoulli Bp-(I) sont _____i___ _» 0, IeIr1=P (P-Hi-* = rpe , k = 0,..., v - 2, faiw/ï.ï cue pour p = 2. /e po/ynôme B^[V), [v > 1), possède l'unique rayon critique 2*. Preuve.- Supposons tout d'abord que p ^ 2 et considérons, cette fois, les polynômes ßn(t) ¦¦= *.,('). On applique alors le principe de la proposition 1.7.2 à la sous-suite (ßp»(t))v>0, pour laquelle 2. ßp{t) - ßp»-i{V>) = Bp,4i(i) - VC") = ° modpv Z?[t\. Autrement dit, la congruence de Honda est vérifiée. 2.3. Nombres et polynômes de Bernoulli 49 3. Le coefficient dominant de ßp*(t) est égal à 1 (donc d'ordre p-adique nul). En effet, ceci découle de la propriété d'Appell B'n{t) = nB„_i(()et du fait que B0[t) = 1. 4. ^p-(O) = bp*+i = 0, puisque p est impair. 5. Grâce au théorème 2.3.3, on a ß'p,(0) = B^1(Q) =p^V«-i = (P-1)?" rnodp+lZ,: donc /3^(0) € p Z*. 1. Le fait que deg(ßp*(t)) = deg(.op.~n(i)) = p"+1 modifie d'un rien les conclusions de la proposition 1.7.2. En fait, celle-ci montre que le polynôme ßp»-i(t) = Bv»{t) possède, outre 0 et —oo, tes v — 1 pentes critiques Remarquons que tout ceci provient du fait que le polynôme Bp{t) = pbp-it + ¦ ¦ ¦ + t" possède les pentes critiques 0 et —oo. Supposons maintenant que p = 2 et intéressons-nous aux pentes critiques de B-2»(t) pour v > 1. Le polynôme B2(t) = t2 — t + g, dont le polygone de Newton est représenté ci-dessous, possède l'unique pente critique ^. 1 0 Mb, 1 ^ Si -1 fig. 2.3.1 50 Chapitre 2. FAMILLES D'APPELL Le coefficient constant de B7»{t) est le nombre de Bernoulli A1* qui. par Ie théorème de von Staudt, a un ordre 2-adîque égal à —1, . Connue 53-+i(0 = £*¦(*"') mad 2""' Za[f], on déduit la construction du polygone de Newton de B2»*i(t) à partir de celui de Bi»{t) et on hérite ainsi de la seul« pente critique ^77. 1 ^+1 0 -1 2,+1 ^ fig. 2.3.2 Terminons cette section consacrée aux nombres et polynômes de Bernoulli, par l'étude de la fonction limite définie à la section 1.5. Proposition 2.3.3 Si fcm est la fonction définie sur la lemniscate p-adique Lr, = {aeCp : |ap-a|l); 2)^(0 = ^=0 0^(0)^, (n>0); 5)En(t + l) + En(t) = 2tn, (n>0); 4) Sï(N) := £o<«,v(-l)(+^ = i (-&(0) + (-IfE11(N)) , (N >l,k> 1); 5) En(I ~t) = (-l)nEn(I), (n>0): 6) (-1)-+^(-() = En(t) - 2f\ (n > 0). Preuve,- En dérivant la fonction génératrice par rapport à t., on obtient d 2e1' c'est-à-dire On en déduit que E'0(t) = 0 ainsi que la propriété d'Appel! E'n(t) = nEn~i(t). De cette dernière découle (par induction) le développement binomial 2) En(t) = t(t)Eki0)tn'k- La propriété 3) se démontre en considérant la somme des deux séries formelles e(x, t) et e(x,t + 1) qui vaut, d'une part e(*,< + l) + e(x,0= £{£.(< +1) + ^(0) S -Sn **• n>0 et d'autre part Ainsi, on obtient l'identité En(t + 1) + En(t) = 2tn. 2.4. Polvnômes d'Euler 53 La propriété 4) s'en déduit alors, comme suit = 5 Z (-i)'+1W + l) + fi*(fl} 1 1- 7^TT = l^TT = «(*•' + •)• s'écrit E i^-0(-i)"5 = ££»(' +US- Cela implique l'égalité En(t + 1) = (-1)^(-0, dans laquelle la substitution t i-> —i entraîne la propriété 5) (-1)"£„(*) = En(I-t). Finalement, en introduisant 3) dans l'identité £.(1 + 1) = (-1)^..(-0, on établit la propriété 6), à savoir (-\rEn(-t) = E„(l + l) = 2tn-£a(l). Corollaire 2.4.1 1) E-2n+i (\) = 0 pour tout n > 0 et donc, les nombres d'Euler e„ d'indice impair sont nuls; 2) E7n(O) = 0 pour tout n > 1. Preuve.- L'évaluation en ( = ^ de l'expression de la propriété 5 ) (proposition 2.4.1) fournit l'égalité <-.>¦<. G)-«. G). . qui montre bien que £n Q) = 0 si n est impair. Le point 2) se démontre en posant t = 0 dans la propriété 6). ¦ 5 0. Preuve.- Par définition, on a -*W = aE(';VI>.&--i)- teo^ d*k d* formule qui montre que E„(t) € Z[l/2][t] C Zp[t], (p ^ 2). Reprenons un argument analogue à celui exposé dans la preuve du lemme 2.3.2. Ainsi, soit un entier £ > 0: comme C = i mod p. Ie théorème des accroissements finis permet d'écrire rp = (( + up)" = r modnp Z„, (où u e Zp). Il suit que pour n > 1 et A' > 2, on a la congruence s;P(*) = £ (-i)/+l^= j: (-i)'+,r = s-(iV)m0rfBpzp. 1« 0, la congruence suivante est vérifiée Env Q) - En Q ~ Enp(0) - En(Q) mod npZ„. (2) 2.4. Polviiòmes d'Euler 55 • si ri = 0, alors les deux membres de (2) sont, nuis: • si n > 0 est pair, alors le membre de droite est nul (corollaire 2.4.1); • si n > 0 est impair, alors le'membre de gauche est, nu! (corollaire 2.4.1). Autrement dit, les congruences suivantes sont vérifiées pour tout n > 0 E*? (¾ - En (\) s 0 = Enp(0) - En(O) mod npZp. Corollaire 2.4.2 Pour p impair, les polynômes d'Euler vérifient les congruences de Honda £„„(() = En(P) modnpZp[t], (n > 0). Preuve.- La suite (En(t))n>l est une famille d'Appel! dans Zp[i] (p ^ 2). En a — 0 et a = 5, la congruence Enp(a) — En(a) mod npZp est vérifiée, quel que soit n. Le théorème 2.1.1 sTapplique et entraîne la congruence à démontrer. ¦ Corollaire 2.4.3 La série formelle e(x) = -£En(t)- donne naissance à un groupe formel Fe(x,y) = e-1(e(x)-re(y)) sur /'anneau des polynômes de Laurent en t — 1/2, Zp (,(( — |)_1 , {p •£ -)< 'so~ morphe au groupe multiplicatif. Preuve.- La série formelle e(r) = £n>1 E„(t)~- est de type p — T sur A = Zp [t,(t - A)"1]. Puis, comme B1(I) - t - \. alors E1"1 G A et le point (?) du LEF permet de conclure. ¦ Comme nous l'avons déjà vu dans le cas général (proposition 1.5.1) ainsi que pour les polynômes de Bernoulli, la congruence de Honda assure l'existence d'une fonction limite définie sur un domaine contenant la lemniscate LTt. Le lemme suivant, résultat élémentaire bien connu, nous permettra de déterminer la fonction limite propre aux polynômes d'Euler. 56 Chapitre 2. FAMILLES D'APPELL Lemme 2.4.1 Si x € Z , alors la suite (xp"j converge vers le nombre p-adique. C € Zp défini par ;' = x modpZp; C € /V-J- Preuve.- Comme xp = x mod pZp, alors xp" = (x + Up)"""' = x"""' mod pn Z„, (w G Zp). et ainsi |i,,"-ip""1|<|/ï',|. Donc, \x") est une su'te de Cauchy dans Z* complet. Si l'on pose (," = limn^cr!xpn, alors évidemment (1"p = £ c'est-à-dire C € /t^-i- La congruence £ =. x mod p Zp résulte du passage à la limite dans la relation xp = x mod p Zp. Proposition 2.4.3 Soit m un entier pair non nul et em la /onction définie sur la lemniscate p-adique (p ^ 1), LTt = {x S Cp : \xp — x\ < re) par limite tm(a):= jiin Emp»{a); n/ors • lt si bien que «m(0) = £(l) = 0. La propriété 3) de la proposition 2.4.1, qui s'écrit Emp,{a + 1) + Enr[a)^2amrf' se traduit à la limite v —* co, par (JJ1 avec (a Ç JIp-1 et (a = a mod pZp, si a ^ 0 mod pZp; Ua+I) = -Ua)+2 l 0 si^0m^pZp. d'où la proposition. ¦ Il existe une relation entre les nombres de Bernoulli et les coefficients constants des polynômes d'Euler. Celle-ci nous permettra d'établir l'existence d'autres fonctions limites issues de sous-suites de ces polynômes. Lemme 2.4.2 Pour n > I1 on a la relation 2f2"+t - 1) n + 1 Preuve,- En utilisant les définitions des fonctions génératrices concernées, on a V2(2"+1-l), £ _ _2V2^^±L^+2Vfc *" -g-^n-**'«! - \Ç,2 n + l»!+2g^(«+l)I _ 2V (2:)"+1 2V s"+1 2 f 2x 1 2 f x , »1 4 + ^-i e3i_l ' g«_i 2 -1 e' + l 5S Chapitre 2. FAMILLES D'APPELL Proposition 2.4.4 Pour tous entiers m > 0, l et k, la suite converge dans Zp. (p ^ 2). Preuve,- Le lemme précédent associé au théorème 2.3.3 montre que la suite converge. Le reste de la proposition se démontre par induction en utilisant les propriétés (3) Emp»+k(e+l) = 2r>"+k-Emp*+k(t) et (6) (-ir+t+1£mp.+fc(-*) = E~,r+k(() - 2rp"+* de la proposition 2.4.1. Nous terminons ce chapitre en nous permettant d'énoncer une conjecture concernant les polynômes d'Euler. Soit (çn(0)«>o 'a su'te ^ polynômes définie par l'identité de Spitzer exp [££„(<)— ] =1+ ^9n(t)xn. \n>l n / n>l Les premiers termes de cette suite sont ¢,(0 = E1(I) = I-I; ft(0 = '2-'-i; ¢3(0 = *3-}*' + §* +& a<(t) = ^-2(3+3(2 + 1(. a. *<0 = «s-{*« + }t3+ *('-*-£• On constate alors que ft(0 = ?l((3) TTU>rf3Z3[t], ç5(0 = n(t*) modÒ2s[i\. Plus loin ?io(0 = ?î((5) mo«*5Z5[(}, 99(0 = ç3((3) m«/9Z3[t]. Ces quelques essais numériques, ajoutés à bien d'autres, justifient l'affirmation sui- vante. Conjecture 2.4.1 Les polynômes qn(t) vérifient ies congiiiences de Honda qnp(t) = qn(t>) modnpZr[t],(pï2). 2.5. Polynômes d'Hermite 2.5 Polynômes d'Hermite Définition 2.5.1 Les polynômes Hn(I), définis par le développement en sont appelés polynômes d'Hermite. En voici la liste des six premiers H0(I) = 1; H1(I) = 2t; H2(t) = 4t2-2; H3(t) = S*3-12ï; H4(t) = 16^-48^ + 12; Bs(t) = 32i5 - 160(3 + 120(. Ils possèdent, entre autres, les propriétés suivantes. Proposition 2.5.1 1) La suite (Hn(l))n>0 satisfait la formule de récurrence Hn+1(I) = 2tHn{t)~2nHn^(t); 2) La dérivée H'n(t) s'écrit H'n(t) = 2nHn.1{t), (*>1): 3) Le polynôme Hn(t) admet le développement explicite Ä"(t) = I(-ir^W(2,ri"- Preuve.- Notons h(x,t), Ia fonction génératrice A(I1O = C2*'"*3: on a alors ô-h(x,t) = {2t-2x)h(x,t), et donc 3"+1 dn dn-1 g^h(x,t) = (2t - 2x)—h(x,t)-2n—h{.r,t). 60 Chapitre 2. FAMILLES D'APPELL [/évaluation en ;r = 0 de cette dernière égalité fournit exactement la formule de récurrence 1). En dérivant la fonction génératrice k(x.t) par rapport a t. on obtient n>0 "¦ n>0 "¦ identité de laquelle ressort la "propriété d'Appell" /ft*) = 2nÄ.-t(<). (">!)¦ La formule explicite 3) s'établit par induction et à l'aide de ia formule de récurrence I)- ¦ Proposition 2.5.2 Les polynômes d'Hermite vérifient les congruences Hnp(t) ~ Hn(V) mod n ZpM, (p^2,n>0). Preuve.- Remarquons tout d'abord que, par définition. Hn(I) es^ à coefficients dans Z. La propriété H'n{t) = 2nHn-](t) (n> 1), et le fait que M(M-I ° sin = 2m + l montrent que la famille (Hn(M définie par HM):= P-Hn(^), (n>0), est une famille d'Appell dans Zp[r], De plus, comme Hn(O) = 0 modn, on a HnP(O)=Hn(Q) madnpZf. Le théorème 2.1.1 montre alors que Hnp(t) - Hn(V) = Pffnp (I) - P"n (~) med npZp[t}. La substitution : <-* It fournit la congruence Hap(t) = HH(2rlt>) mod n Zp[tj. Grâce au théorème des accroissements finis, pour p j5 2, celle-ci peut s'écrire tin?(t) = Hn(I") modnZ,\i\. 2.5. Polynômes d'Hermite 61 Remarque.- Cette suite n'intervient, dans notre propos', qu'en tant qu'exemple d'application du théorème 2.1.1. En effet, le résultat suivant est plus fort et s'établii plus simplement. Proposition 2.5.3 On a la congruence Hn(t)~{2t)n modnZ[t\. Preuve8.- Remarquons tout d'abord que Hi{t) = 2t confirme la proposition. Con- sidérons la formule explicite Si m > 1, alors n\ _ n! (2m)! _ f n \ (2m)! _ m!(n-2m)! ~ (2m)!(n - 2m)! ' m! \2mJ m\ 2m\2m-\j ml ~"^2m-lJ m! = 0 mod n. Corollaire 2.5.1 1) Si [a„] e Zp(I) et m > I1 alors r u t \ J ° ai p = 2; lim !!„,,»{a») = i ™ ¦ , - "--co K IC2 si p est impair; 2) Si m > 1 et a € LTc! alors {0 si a £ £ 0 , r > 0 et a G Lrt, la suite (V+'(fl))>.>0 conueroe t/ans Cp. Ue p/«s, si l'on note km,r(a) sa limite, alors Am,i(«) = 2aAm|D(a); A1n^(O) = 2«Am,r^((i)-2(r-l)nrn,T_2(a). 'Pour d'autres résultats concernant les polynômes d'Hermite (congruences, polygones de Newton, etc ...) voir [37). 8Pour une autre démonstration, voir [H] 62 Chapitre». FAMILLES D'APPELL Preuve.- Si [a„] e ZP(1). alors af = 1. alors grâce au lemme 2.4.1, on a lim Hmp-(av) = lim 2mj>" = ( ° S] P =(2Î . v—x- "-«J I Ç,t si p est impair. De même, si a e Lr,, alors la limite lim H1nAa) = lim 2mp'' amp* existe et vaut • O si a e ß*"¦ Par exemple Toit) = 1; UQ(t) = 1; T,(() = t; U1(I) = 2i; T3(O = 2r2-l; [Z3(O = 4*a-l; T3(<) = 4*3-3(; [/3(() = S>3-4(; T4(O = Sf* — Si2 + 1; U4(I) = 16i4-12(*+l; T5(O = 16fs-20(3 + 5i; U5(I) = 32<* - 32i3 + 6i. L'objet de ce chapitre consiste en l'étude des polynômes de Tchebychev de première espèce. La proposition suivante dresse une liste de quelques-unes de leurs remar- quables propriétés. Proposition 3.1.1 Les polynômes Tn(t) ont ics propriétés suivantes 1) Tn+1(O = Krn(O-^1(O, (n>l); 2) rn(cosö) = cosnÖ, (» > 0); 3) Tn o T7n = Tnm = Tm o Tn, (n, m > 0); 4) Tn(O = HtWO, (n>l). 63 64 Chapitre^. POLYNOMES DE TCHEBYCHEV Preuve.- Nous allons montrer que g(x, t) := Y1 (Tn+1(O - 2/Tn(O + 7-,.,(0} *" = 0. A cet effet, appelons f{x,t) la fonction génératrice /(x, O = T0(O+E 2Tn(Ox". n>l On a alors S(x. 0 = f {/(*. 0 - To(O - 2T,(0x} - {*/(*, 0 - (T0(O) + § {/(*, 0 + T0(O) = '«-<-'+§)-è+!. - W^-M = o. ce qui établit la relation de récurrence 1). Des formules d'addition cos(n + 1)0 = cos nö cosò — sin nö sino, cos(n - 1)0 = cos n8 cos 8 + sin nd sin 0, on tire la relation cos(n + [)8 = 2cos0cosn0 - cos(rc - 1)0. Oa en déduit, par induction, la propriété 2), à savoir Tn(COSnO) = cos nfl, (n > 0). Et la propriété 3) est un corollaire immédiat de cette dernière. Finalement, l'identité (1 - X3) E ^n(O*" = 7W) + E 2Tn(O^" n>0 n>l entraîne la relation f/„(0 = 2Tn(O-^-J(O. (»>!). qui permet d'établir, par induction et grâce à la propriété 2), le fait que, pour n > 0 Dès lors, en dérivant, par rapport à 8, l'identité Tn(cos0) = cosn0, on obtient — siiiÖ ¦ T^(cos 9) = —nsinn0 ou encore [grâce à (2)j TXcaa9) = nUn-i{cos9), c'est-à-dire la propriété 4). ¦ 3.2. La congruence de Honda 65 Remarque.- Conformément à ce que nous annoncions en section L.4. cette propo- sition montre que le polynôme Tn[t) £ Z[t] est une pseudo-puissance n. 3.2 La congruence de Honda Théorème 3.2.1 1 Les polynômes de Tchebychev de première espèce vérifient la congruence 2Tnp(t)=2Tn(tp) modnpZp[t], (n > 0). Preuve.- U s'agit d'appliquer le théorème de Barsky (th. 1.3.1) à la série formelle en montrant que exp(/(x)) e Zp[(][[ar]]. Mais, puisque (cf. ["2S]) W+SW-IT^?' *>1 Jo \ î - 2ti+? ; ^ Jo 1-2^ + f2 Ç = -log(l-2^ + n[ = - log (l - 2d + s2) ; si bien qu'apparaît la remarquable relation 1 exp(/(i)) = 1 ~2tx + x2'- c'est-à-dire l'identité de Spitzer (découverte par C. Vonlanthen) exp(z2rn(*)^ì=£[/n(fK- \n>l n I n>0 1Ce théorème améliore tiès nettement la congruence 7^(0 = ^(0" modp, de R. Aatey, présentée dans (7j, (proposition 3.-1). 66 Chapitre 3. POLYNOMES DE TCHEBYCHEV En application du point {ii) du théorème 1.3.1, la congruence de Honda 2Tnp{t) = 2Tn[V) mod npZp[t) a donc lieu pour tout n > 0. ¦ Autre démonstration,- Le fait que Tn(cos0) = cosn6 se traduit par l'identité formelle Tn 2 On pose n = p impair et on effectue fe changement de variables / = 5^—, pour retrouver la congruence %{t) = ~-- = (^y-)P = '" ™ipZM en d'autres termes Tp(t) = T^) mod pZ,[t]. Maintenant, si n = mp", avec v > 0 et (m,p) = 1, alors, grâce au théorème des accroissements finis et aux propriétés 3) et 4) de la proposition 3.1.1, on obtient Tnp(t) = Tmp*r(t) = Tmpr(Tp(t)) = Tmp*(t" + pr(t)) avec T-(OeZpM = Tmp.(fp) mod pt+1 Z„\t] = Tn{tp) modnpZp\t}. Pour le cas p = 2, la congruence du théorème 3-2.1 peut être précisée comme suit. Proposition 3.2.1 Pour tout n > O1 la congruence suivante est vérifiée Tin(t) = (-l)n mod 2nZ,[l " donne naissance au groupe formel FAx,y) = r-l(r(x) + r(y)), défini sur Zp[(, t-1] et isomorphe au groupe formel multiplicatif. Preuve.- Le théorème 3.2.1 prouve que, pour p ^ 2, la série formelle t(x) est de type p — T et possède une inverse dans l'anneau A = Zp[(, t~1]. On conclut en appliquant le point (i) du LEF. ¦ Remarques,- 1) L'isomorphisme de groupes formels A(i) : Fr(z,y)^Gm(x,y) donné par h(x) = expfrfz)) — 1 1 -1 >/l - 2tx + x2 = E^CK, fait intervenir une suite (Pn[t))n>l: la famille des polynômes de Legendre. Comme nous Ie verrons au chapitre 4, ces derniers satisfont, eux aussi, aux congruences de Honda. Ainsi, à l'image de ce que nous conjecturions au sujet des polynômes d'Euler (cf. Conjecture 2.4.1), nous avons en main deux suites de polynômes (T,(ï))n>l et (P„(ï))n>i, liées par l'identité de Spitzer exp (E Tn(O^i =£i>n(0. Pour preuve, les différences suivantes U3(I)-U1It3) = 6<3 - At = -41 mod 3; Ut[I) - U1(^) = 3Oi5 - 32t3 + 6( = -2<3 -i- i mod 5. 3.3 Une fonction limite Le but de cette section est de déterminer la fonction limite relative aux polynômes de Tchebychev et définie par la proposition 1.5.1. Nous distinguons le cas p = 2 du cas p impair. Proposition 3.3.1 Pour tout a £ 5 0 lim Tm2"(a) = 1. Preuve.- En vertu de la proposition 3.2.1, il existe r„(£) e Z2Jf], tel que Tm3*(a) = 1 + m2"r,(o}, (v > 1). Puis, comme \a\ < 1. alors |r^(a)| < 1 et donc lim Tm2-(a) = l. V— OO ' ¦ Avant d'exhiber la fonction limite relative au cas p impair, énonçons un résultat concernant les points fixes de Tp(t). Lemme 3.3.1 Si p est impair et si Ço,(i, ¦ ¦ ¦ ,£p-i désignent les p points fixes du polynôme Tp(t), convenablement numérotés, c'est-à-dire les p solutions de l'équation Tp(t) = /, alors Çt £ Zp et (( = ( mod pZp, pour t = 0,... ,p- 1. Preuve.- La propriété 3) de la proposition 3.1.1 montre que Tk(Q) = 0 pour tout k impair; 3.3. Une fonction limite 69 en particulier I)(O) = 0. et on peut prendre & = 0. Considérons, maintenant, le polynôme Par la proposition 3.1.1, sa dérivée est A'(0 = ^-»{0-l- Soit Ce {l,...,p—1}. Grâce à la congruence de Honda, on a k(l)=Tp{t)-t=P-l = 0 modpZp-, (l) Par ailleurs, puisque Up-i(t) € 2v\t] 1/,'(0I = IPtVi(O-M-I: et donc h'(t)^0modpZp. (2) Les expressions (1) et (2) constituent les hypothèse dudit Lemme de Hensel ([2], [3], [36]). Ce dernier montre qu'il existe un unique entier p-adique (ti congru à i modulo p Zp et racine de A(O = 0, autrement dit, point fixe de Tp(t). m Il est maintenant loisible de déterminer la fonction limite à laquelle nous faisions allusion plus haut. Proposition 3.3.2 Soit p impair, m > 1 et tm la fonction définie sur la lemniscate LTt par la limite (m(a) = JHn TV-fa); soit encore {£a = 0,«i,.-.,Ép-i} l'ensemble des points fixes de Tp(t). Alors J Tm(0) SiflÉ%,(0); M J"l Tm(tt) *io€B(a)) = Tp{h(a)): (1) et comme 2>(i) s T, (ip") = ipt mod p Zp[x|, cela signifie que Jirn 7>(n) = Jjm Tp-(O = É moZp. (2) Il suit, de (1) et (2), que I1(Ci) est le point fixe de Tp(i) congru à f modulo pZp. m 3.4 Polygones de Newton Nous nous proposons de calculer tous les rayons critiques, dans Cp, du polynôme Tn(Oi à l'aide des résultats de congruences établis auparavant. Le lemme suivant nous permettra de traiter, d'abord, le cas "spécial" p = 2. Lemme 3.4.1 Soit, pour m > 1, le développement explicite du polynôme Tm(t) Tm(t) = £>**: alors (avec la convention ord2{0) = +coj OrU2(Ik) > k - 1. Preuve.- Les polynômes Ti(t) = t et T?(t) = It2 — 1 confirment l'affirmation. Pour m > 1, la formule de récurrence Tm+1(0 = 2(^(0-^(0 s'écrit, à l'aide des développements des polynômes y apparaissant, comme suit Admettant l'hypothèse d'induction, on obtient alors 3.4. Polygones de Newton 71 • an+i = 2bm, donc ord2(am+l) = ord2(b,n) + 1 > m: • am = 2bm.i, donc ord>(am) - ord2[bm_i) -f 1 > m - 1; • pour 1 < k < m — 2, at = 26t_i - c^ et donc 2t-i divise ajt, ce qui signifie que Or(Z2(At) > & — 1- • Finalement, comme T„(t) e Z[t] pour tout n, «o = -Cq £ Z. donc ordïiao) > 0. Proposition 3.4.1 Si m ^ l est impair, alors 0 ei1 2 sont les rayons critiques de Tm(t) dans C7. Preuve.- Comme m est impair, alors T1n(O) = 0. D'autre part, si alors «i = T1UO) = mt/m_,f0) = ±m et am = 2m_1. On tire de ceci et du lemme 3.4.1, la construction du polygone de Newton de Tm(t). m-i Jt-I 1 1 k m fig. 3.4.1 Ainsi que le montre la figure ci-dessus, celui-ci est constitué d'un segment vertical (de pente —co ) et d'un segment oblique de pente critique égale al. ¦ 72 Chapitre 3. POLYNOMES DE TCHEBYCHEV Proposition 3.4.2 Pour v > 1, le polynôme Tw(I) possède, dans C2, l'unique pente critique ^ = HT- Preuve.- Cette proposition se démontre par induction. Tout d'abord, si v = I. le polygone de Newton de T-ì(t) = 2t2 - 1, est bien réduit à un segment de pente ^ = A[. 1 ATt, , P = 2 1 2 fig. 3.4.2 Maintenant, si a e G* est un zéro de T2^i ((), Alors r2.+iCn) = o = T2,(r,( 0), sont simples. Preuve.- En préambule, notons que si c 6 C3 - {1}, alors les deux solutions, dans Cj1 de l'équation T3(O = a sont distinctes. En effet T2(t)-a = 2<2- I -a. Démontrons maintenant, par induction sur v > 0, que les zéros de 2V(f ) sont simples. Ceci est évident pour î\(f) = t et, comme on vient de le voir, pour T2(t). Soit a l'un des zéros (simples par hypothèse d'induction) de JV(ï). Comme TV(I) = 1, a n'est pas égal à 1 et alors, l'équation T2(I) = a, admet deux solutions b\ et O3, distinctes, pour lesquelles 7V+. (h) = T2. (T3(Oi)) = 2V(a) = 0. Ainsi, le polynôme 7V+i(r.) possède dans C3, les 2"+1 zéros distincts b a T{l(a), avec a zéro de T2-(I). Proposition 3.4.3 Pour m ^ 1 impair et v > 1, /es Jeux pentes critiques, dans C3, 1, le polynôme de Tchebychev T^(t) (pour lequel Tp-(O) = 0} possède dans Cp 9 M= P*-1 (P-I) zéros, de valeur absolue égale à |p|^>=^-\ k =1,...,1,. 3.4. Polygones de Newton /o Preuve,- Ce résultat est un corollaire de la proposition 1.?.2. En effet, puisque pour tout f > 0 • la congruence de Honda est satisfaite, c'est-à-dire Tp^(t)=Tp.(t") modpf+lZp[t]; • le coefficient dominant de T£(t), égal à 2P"_1, est une unité p-adique; • V(O) = O; . r;,(o] = P1^1(O) = :^; la suite des polygones de Newton A1V^, v > 1, se laisse construire récursivement. fig. 3.4.5 Ainsi, conformément à la figure ci-dessus, le polygone de Newton de Tp-(t) est cons- titué des segments reliant les points (pV-fc), Jb = O,...,*, ainsi que du segment vertical, provenant du fait que 2^(0) = O. Ceci traduit, précisément, l'énoncé de la proposition, ¦ Corollaire 3.4.2 Si p ^ I1 tes zéros de Tp-{t) sont simples. Preuve.- Si Tp*{à) = 0, alors, comme nous venons de le voir, \a\ < 1. Par suite T^a) = P*Vr-iia) ne saurait être nul. En effet, le polynôme (a)=Tm[Tp.(a)) = Tn(Q)=Q. D'autre part, le polygone de Newton de Tmp*(t) s'obtient en adjoignant, à celui de Tp-[t), te segment horizontal d'extrémités (p",0) et (mp",0), qui fait état de mp"—p" zéros de valeur absolue égale à 1. ¦ 3.5 Relation avec Ia fonction arcsina; Dans toute cette section, p désigne un nombre premier impair- fig. 3.5.1 A l'aide du polygone de Newton du polynôme Tp[t) construit en section 3.4, (cf. figure 3.5.1). on obtient la majoration suivante, pour Tp(i). 17*01 <* P»-{J* ï» Vw ti-"' De la propriété de composition Tmn = TmoTn> il suit, immédiatement, que lim î>(a) = 0 (1) 3.5. Relation avec la fonction arcsini quel que soit a € 5<](0) C C„. Mais, en regard de la majoration (1). il est préférable de considérer la suite plutôt que (TPv(a)) qui tend vers 0 trivialement; d'où l'énoncé suivant. Théorème 3.5.1 Quel que soit a G Bq. définie par P" converge dans Cp. Preuve.- Si \a\ < 1, l'inégalité (1) fournit l'existence d'un entier k > 0. pour iequel |î^(«)|(«)} Ip* î-p(rP^))-(-i)^p^(«)- Posons y = Tp*(a) et estimons Le polynôme 1^(3/)-(-1)^ py «(0~ Tp(O-C-I)8H* est divisible par I3. En effet, 7"p(f) a la parité de son indice et de plus 7^O) = PtV1(O) = (-l)^p. Ainsi, q(t) s1 écrit q{t) = a3*3 + ¦ ¦ ¦ + Op^1 7S Chapitre X POLYNOMES DE TCHEBYCHEV et alors \i(a)\ = |W - (-I)^w] < M3 • mgk-l IpI''-3 < M3. De plus, comme |fl| < rf, on peut affirmer que \y\ = |7>(a)| = |rp(7>-,(a))| < |p|-17>-,(«)| < - £ ÌpI'I«!- Ainsi, on obtient ¦ Il nous est. dès lors, permis de définir la fonction T : ß<,(0) —> Cp o _ TW^linw^-l)^^- Afin de déterminer sa nature, revenons au lien existant entre polynômes de Tchebychev et fonctions trigonométriques. Proposition 3.5.1 Pour tout n > O, on a les relations formelles 1) T1n[SInO) = (-l)"cos2nô; 2) T3n+1(Si0S) = (-l)nsin(2n + 1)0. Preuve,- Dans le but d'éviter l'évocation du nombre ir (quel sens dans Cp ?). nous effectuons une démonstration entièrement formelle basée sut la formule de récurrence définissant les polynômes de Tchebychev. Tout d'abord, si ti = O1 alors Tesino) = 1 et Ti(sin0) confirment bien nos affirma- tions. Procédons au pas d'induction en employant les formules d'addition des fonctions sinus et cosinus. D'une part, pour n > 1, on a 7at.+ i(sinÖ) = 2ain0-Tarsili*)-7fc,_i(sinfl) = (-l)n2sin0 ¦ cos2n0 - (-1)""1 sin(2n - 1)0 = (-I)n(2sin0cos2n0+sin2»0cosff-sin0cos2n0) = (-I)n(3in0cos2n0 + sm2n0cosfl) = (-l)"sin(2n + l)0; et d'autre part T2„(sintf) = 2sinO-r2n_1(sin5)-T3T1_î(sinfl) = (-l)*-l2s\n6ùa(2n - 1)0 - (-1)"-1 cos(2n - 2)0 = (-l)n{cos(2n-2)0-2sin0sin(2n-l)0} = (-1)" }cos(2n -l)ÔcosO + sinosin(2n - 1)0 - 2sinÔsin(2n - 1)0} - (-I)n{cos(2n-l)0cos0-sin0sin(2n-l)0} = (-I)ncos2n0. 3.5. Relation avec la fonction arcsinx 79 Corollaire 3.5.1 Pour tout v > 0. l'identité formelle suivante est satisfaite 7>(sin0) = (-I)1T1 sin p* 8 = (-l^'sin/fl. Preuve.- La première égalité traduit la proposition précédente. Pour démontrer la seconde, i] suffit de vérifier que (-1)^ = (-1)^, (I) De deux choses Tune: ou bien p = 1 mod 4. auquel cas JUJLÌsE^sOmorf? 2 2 et alors les deux membres de (1) sont égaux à 1, ou bien p = 3 mod 4, auquel cas ) 1 mod 4 si v est pair V et alors (1) s'écrit p l 3 mot/ 4 si v est impair (-1)^ = (-1)- = (-1)1^ Proposition 3.5.2 (sinus et arcsinus p-adiques) Les séries sini = 5(-ir(£^ " -inx = £^)(-,,.- définissent des fonctions sin : B . Preuve.- Intéressons-nous tout d'abord à la première égalité. Il est clair que si Tpkia) = O pour un certain entier fc, alors Tp-[a) = O pour tout u > k et donc T(a) = arcsin a = O. Réciproquement, soit a 6 5 (î>(0)) P* Ainsi Tpk(a) = 0 et la première égalité est établie. La seconde découle du lemme suivant. ¦ Lemme 3,5.1 Soit l'application J : Cp - {0} -—» C11, x Quel que soit v > 0 K J(/ip.) = Zér 2; nous appelerons polynômes de Coster, les polynômes à d variables Tn (ai,... ,aj) définis par Ie développement en série $1 + a,x + ¦ ¦ ¦ +(ItX* ^0 Exemple.- Lea premiers polynômes, correspondant au cas d = 2, sont ITo(O1, ûj) = 1; Jr1(Q11O3) = -\di\ T2(Oi1A2) = la\-\a3; M0I^i) = —haì + laia^ T8(Oi1Oj) = -^u?+ M0?0«" W0I0I La définition 4.1.1 trouve son origine dans l'article (15], que M- Coster consacre à l'étude de la série formelle définie par le développement de Taylor 1 + 53 ouï'1 ] = £u»*a. 83 84 Chapitre 4. POLYNOMES DE COSTER ET DE LECENDRE où ati....a( sont dans Z. En effectuant l'adaptation qui consiste à considérer les et;, non pas comme des nombres mais comme des indéterminées, nous héritons du résultat suivant. Théorème 4.1.1 Pour p = 1 mod d, les polynômes de Costei- vérifient les congru- ences fnP(ai,-.-,ad) = ""n(a5) modnpZp[ai,...,aa], (n > 0). Preuve.- H suffit de modifier, dans ]a démonstration de ([15], Théorème A, p. 51.)1, la congruence (10) comme suit avec les nouvelles notations d — e, a,- = a,-, Tn = u„. m Pour ce qui concerne le cas d = 2 (duquel relève la section 4.2), nous apportons,'au théorème 4.1.1, une preuve indépendante, Lemme 4.1.1 Les séries formelles x" fo(x) := £ff«-i(at>a3)— et n>l ° /i(z) := £ M0UOa)-I n>l " définies à l'aide des polynômes intervenant dans le développement ¦¦ ¦;¦ , := -¦>-------------!¦--------, = Y"* irn(ai,ai)xn. R(x) vl+û|ï + «a*3 nTo satisfont aux identités formelles Mx) = ^logl------ITTÏ^------J- /l(„ = -,og(^fM). 'Ce théorème établit les congruences vmpr = umpr-, mod p', (m, r > 1). 4.1. Polynômes de Coster 85 Preuve.- Ces identités s'établissent directement par dérivation. Ainsi h[X) R sfc O1 + 2a2x + 2^R ^R et on vérifie que 'Q1+2aix-\-2^2 R{xY log ûi +2^/ôï = 0 = /o(0). De même /](I)--------_ = /](x)- — 2 + Û1Ï + 2A + RX 2 + 2alx + 2a2x1 -2R7 Rx(2 + aix + 2R) = 0: de plus *f-*^L-'-«•>¦ Théorème 4.1.2 5i /ï esf premier impair, alors les polynômes de Cosier satisfont à la relation de congruence ^np(«i.a3) = JTn(Oj,aj) modnpZp[a-[,a2). (n > 0). De p/us, /a série formelle xs donne naissance au groupe formel F,(x,t,) = /r1 (/,(*) + /2{y)) e Zp[aj,ar\a5], isomorphe au groupe formel multiplicatif, via l'isomorphisme h^=2 + aix + 2R - 1. S6 Chapitre 4. POLYNOMES DE COSTER ET DE LECENDRE Preuve.- Si l'on considère A = Z,,(«j,02]) / = pA, a : n,- *-* af. (1) alors la série formelle /i(:c), qui s'écrit Z1(I) = - logfl + r(x)), avec r{x) € A[[x}\, est de type p—T. relativement aux "ingrédients", que (1) désigne. Ceci établit les congruences ~np(at,Oï) = ~n(api,al) modnpA, (n > 1). De plus, dans Zp[^1, a["\nï]< 'e coefficient /J(O) = Jr1(H11U2) — — ^ est inversible. Ainsi /T1 (M*)+ Mv)) est une loi de groupe formel sur Zf1[O1,... ,(Id]. ¦ Lemme 4.1.2 Si p = \ mod d, alors pour tout n > 1 et i € {1,...,(/} —Tn{fli,...,ad) G T)Zp(W1,... ,Od]. Preuve.- Comme p = 1 mod d, les polynômes Jrn («i,.. ¦ ,ad) ont leurs coefficients dans Zp. Ainsi, si v = ordp(n) = 0, alors ^- «"„(«i,..., Od) £ Zp(Gt,... ,Od] = TlZp[O1,... ,Od]- Supposons maintenant que f = ordp(n) > 0. En dérivant la congruence *\>p((ii:--->"d) = Tn («ï,..-, «S) mod np Zp[O1,..., ûd], du lemme 4.1.1, par rapport à o.j, on obtient ^-7Tnp(fl1:... ,Qd) = pof'^-T^aï,.. .,apd) mod TIpZpIa1,... ,O-]. Par hypothèse d'induction, le second membre de cette dernière expression est nul modulo npZpjfli,... , ad], ce qui prouve bien que ^-ir„p(ni,...,ad) £ npZJau..,,ad]. 4.1. Polvnòmes de Coster ST Corollaire 4-1.1 Si p = 1 mod d, alors la congruence v„(ai(t),...,ad(t)) ^xnW),.-.M*')) modnpZp[l] est vérifiée pour tout n > 0 et quels que soient les polynômes ai(t),...Mt) e 2p\t\. Preuve,- le théorème 4.1.1 stipule que *np (ai(().....oj(0) = -n Ia1[If,..., ad{tY) mod np Zp\t]. (2) Choisissons d polynômes ai(t),... , oy(0 E Zp[f], tels que ai(tY = a,(n + PQ1-(O- Grâce au lemme 4.1.2 et aux applications successives du théorème des accroissements finis (pour chaque variable), la congruence (2) peut s'écrire T.p(ai(0,..-,Orf(0) = *«(ai(tP)+P<*i(t),---Mt') + Pt*d(t)) modnpZp[t] = IrnW),...M*')) modnpZp[t]. Théorème 4.1-3 Pour p = 1 mod d, les polynômes de Coster vérifient les congru- ences dites de Schui2; c'est-à-dire que si n = ri0 + nip H-------(- nkp est le développement de l'entier n dans ta base p, alors Itn(Oi,...,ad) = TnQ (ai,..-, od) -Tt711 (au...,ad)?..-TTnt («i,..,, adf = Tn0(O1,..., Orf)-STn, (oît...,a5)-"ÎTnjk (fl" , . . . , (?d ) mod PZp[O1,... ,Oj]. Preuve3.-Posons /4 = Zp[O1,...,Oj) et p(x) = 1 + a^x -f-----1-ûjXJ- Puisque o1 divise p — 1, le nombre -J se laisse développer, comme suit, dans la base p 1 1, , P-I p-1 p-1 „ On a alors (l+aix + -" + ^)-4 ' ¦ ¦ 1^" fev - {(.+-™r1 (1 + Bi* + •¦• + O1^)T- = 1 mod (p4t],xp'""), 1On dit aussi que la suite ir„(«i)..., Od) satisfait à la propriété de Lucas, cf. [29|. 'Voir aussi [26], p.75. SS Chapitre 4. POLYNOMESDECOSTERETDELEGEiNDRE autrement dit p[x)~* = (ptx)2^"} mod (pA.xp"*X) . Puis, comme d divise p — 1. alors p{x)~ * est un polynôme de degré p - 1 en i, et p(ar)"3 = iro(«i,...,-i (a i,----ad)xp-1 morfp <4[:r). En effet p(.r)*ï = p(x)i (p(x)^)P = (l + TT1(O1,.. .,orf)x + ¦ • ¦ + )Tp-i(ûi,. • ¦ ,a*)*'-1 + **") (1 + **") mod pA[[x\] = 1 + Tifai, ¦¦ .,Id)^ + --- + ffp-! (O1,.. .,arf)xp-1 mod (p^[x],j:p) et Ie membre de gauche de cette dernière congruence est un polynôme de degré p - 1 en i. Ou parvient ainsi à la congruence mod [pA\x\,xr' J . L'identification des coefficients de i", pour n = ïi0 + nip + ¦ ¦ • + rtkpk < pu+1, donne lieu à la congruence de Schur Jrn(O1,...,^) =^(0(,...,0,() -JTr11 (au ..., ad)F - - - n„k (a,,..., ad)p mod p A. m 4.2 Polynômes de Legendre Définition 4.2.1 les polynômes Pn{t), définis par le développement en série 1 = Y PJt)X11, sont appelés polynômes de Legendre. Ainsi, avec les notations de la section précédente, pour tout n > O, on a l'égalité />„(*) = Tn(-2<,l). Réciproquement, en partant des polynômes de Legendre, on fabrique les polynômes de Coster, comme suit. ^jrn(ah...,od)i"= YiTïn(al,...iad)xn n>0 \n

0. on a ia relation *Jc.,a*) = (-OVoTa(^). Preuve.- Les fonctions sont liées entre elles, par la formule dont le développement en séries s'écrit n>0 \ Wa1/ n>0 Par identification, on trouve '.(...«.) = ft (-5^) 4 = (-^)"/>.(^). Voici la liste des premiers polynômes de Legendre A(O = i; A(O = t; A(O = if3-!; A(O « f*3-ft; A(O = ¥*«-¥<' + §; A(O = f 0, alors on a la congruence Pnp(t) = Pn(I") modnpZp[t}. Preuve.- En vertu du corollaire 4.1.1, la congruence T^(O1(O,O3(O) STn (a,(CVi(O) mod npZp[(], est vérifiée, quels que soient les polynômes aj(t),4ij(t) Ç Zp[t], (p impair). En particulier pour O1(O =-2i et A2(O = I, on peut écrire Pnp{t) = xnp(-2(,l) = r„(-2ip,l) = Pn[I") modnpZ,[i]. m Corollaire 4.2.2 Le polynôme Pn(I) est une pseudo-puissance n dansZp[t], (p / 2). Preuve.- C'est une conséquence directe de la proposition 1.4.1. ¦ 4.2. Polynômes de Legendre 91 Remarque.- Dans le contexte du corollaire 4.2.2, il convient de citer la relation bien connue [2S] et plus précise suivante ' " \-t2 Le théorème 4.2.1 ne vaut que pour p impair. A l'aide du changement4 d'indéter- minée t H-t 1 + 2t. il est possible d'énoncer et de démontrer "à la main", un résultat englobant, également, le cas exceptionnel p = 2. Lemme 4.2.1 Les polynômes Pn(I + 2t) sont à coefficients Hans Z et admettent te développement explicite ^+^Ê(i)("r>'><^>- Preuve.- On trouvera une preuve de ce lemme, bien connu [28]. dans [34}, par exemple. ¦ Théorème 4,2.2 Pour tout p premier et pour tout n > 0, les polynômes de Legendre satisfont à la relation de congruence Pnp(l+2t) = Pn(\+2?) modnpZp[t}. Preuve,- Grâce aux congruences (¾s ¢) mod">%" (remarque 1, section 2.2) et au lemme précédent, on obtient p ne divise p&a Je = 0 modnpZp\t\. 4L'astuce de ce changement de variables et In compréhension de son enjeu sont dues à A. Robert, cf. [34]. 92 Chapitre 4. POLYNOMES DE COSTER ET DE LEGENDRE En effet, il existe deux entiers /sadiques a,,,* et /?„,/. tels que (3=(3*1"°-" da sorte que si 1 < Jt < n. alors * CWîC:!K = O mo(/npZp. Remarque.- Si, pour p impair, on effectue, dans la relation Pnp(l +2() = Pn(I+2?) modnpZp{t], la substitution x — 1 „ , , on obtient U congruence Pn(X) = Pn[Z') modnpZp\x). En effet, il existe r(x) 6 Z1Jx], tel que 1 + 2i" = 1 + 2 ¦ 2"p(i - 1)" = x" + pr(x). Comme le polynôme P„{x) est une pseudo-puissance ti dans Zp[x] pour p =é 2 (c'est- à-dire que i^(.t) € nZp[x]), le théorème des accroissements finis fournit la congruence Pn (l + 2 ¦ 2"p(x - I)") = Pn (xp + pr(x)) = Pn(x>) mod npZp[x\. Ceci, pour montrer comment le théorème 4.2.1 découle du théorème 4.2.2. ¦ Corollaire 4.2.3 La série formelle /,(*) = E^1(I+20- n>l " 4.2. Polynômes de Legendre 9:j donne naissance à la loi de groupe formel Fi(Z* U) = £* (M*)+ Ml)), définie sur l'anneau Z[t, tt^Jc'- isomorphe au groupe formel multiplicatif, oia l'isomorphisme A(z) =---------------------,2 - 1. \-x-2tx + ^.r2 - 2(1 + 2t)x + L Preuve.- La série formelle /i(i)€ Q[Il(NI est de type/)—T. sur Ap — 2p[t,-^~]. Ainsi, quel que soit p, F^x.y) a ses coefficients dans Ap. Le reste de l'énoncé se déduit du théorème 4.1.2. ¦ Théorème 4.2.3 Si p est impair, alors pour tout n > l, on a ia congruence /Vi(O = Pn-i(t") mod np2p[i]. Preuve.- Si l'on considère Ia série formelle 71>1 alors le lemme 4.1.1 fournit la formule explicite ., , . , x - t + y/1 - 2rx + i2 fa[x) =e log 1- Il s'ensuit que ___________ iti u x-t + Vl-2tx + z* exp(/0(a:)) =-------:----—------------ a ses coefficients dans l'anneau A = Zp[f]. Autrement dit. la série formelle fo(x) est de type p — T sur ,4, ce qui prouve que ses coefficients Pn-\{t) vérifient les congruences de Honda. ¦ La preuve de Honda [21]s.- Comme dans la preuve précédante, considérons la série formelle pour laquelle d f< \ l dxJ"' ' y/i - 2tx + t2 5II s'agit plutôt, ici, d'une traduction de la preuve de Honda, dans Je langage du LEF de Haze winke]. 94 Chapitre 4. POLYNOMES DE COSTER ET DE LEGENDRE Lc changement de variables X = V(S)='---r* «2* + ¦¦¦ e Z[Ii(W]1 1—5' * = ^V) = ^ + ---ezp[«(/^2), donne lien à l'identité /oM^)) = log^=log(l-5)-log(l+S). Ainsi, la série formelle f0(x) = log (l - ^(X)) - log (l + V'l(x)) est de typep-T, sur l'anneau Zp[tf. En effet, Iog(l + x) est de type p-T et (z)) sont, tontes deux, de type p — T sur Zp\t\. m Corollaire 4.2.4 Le polynôme de Legendre Pn-1(O est une pseudo-puissance n dans Zp[I]1 sip $ 2. Preuve.- Par induction sur v ¦= ordp(n) et en utilisant la congruence du théorème 4.2.3. ¦ Remarque.- Comme précédemment, on dispose de la relation [2S], plus précise P1U(O = " l-t> Ici aussi, le changement de variables, t >-* 1 + 2t, permet un énoncé valable pour tout p premier, (p = 2 compris). Théorème 4.2.4 Pour tout p premier et tout n > 1, les polynômes de Legendre satisfont à la relation de congruence Pnp-i(l+20 = Pn-i-£(:)(":> on calcule la différence JVi(I+2*) - Pn^1(I+2f) = zY^:1i("^-V-ï:M("T1]< pk k=a \ *¦ / \ "- / i=o p ne divise pns k 96 Chapitre 4. POLYNOMES DE COSTER ET DE LEGENDRE Comme, putir p ne divisant pas k. on a fnp + k-l\ np(np+k-l\_ la dernier« somme est nulle mod npZp[t}. Maintenant pour k,n > 1 lixés. posons fnp\ fnp + kp\ fn\ fn + k^ b = kpj \ kp } \kj \ k }' np — l\ fnp + kp — l\ fn - l\ fn + k - 1 kp J \ kp J \ k j \ k np- 1\ fnp + kp— l\ fn - l\ fn + k - 1 Ap-lM kp-l k-l \ k-l En utilisant les identités 'n + k - l\ _ (n + A- l)...(n + l) « _ n fn + Jt-I (Jt-I)! "k~ï[ k-i O) n- 1 Jb n -1 A-I Jt v U-i n-k fn - 1 Jt U--î on obtient (2) _ n n + k J /np —A /np + Ap — 1 Û " jfc Jo-Iw- 1/ \ kP~l b = n— k ni fnp — I \ fnp + Ap — 1 Ap-lH Jtp-i n - l\ /n + k - 1 Jt-I1Jl1 *-l n-ï\(n+k-l Jt-U I A-I n(n + Jt) n(n - Jt) Il s'ensuit b = n-k n + k n-k M fnp + kp\ (V1A1-MAl n + k IW { "p ) Wl » lì n-k n + k IO + imp \ j ("+*)+W-+t)p}- ¦0 (¦:¦ 4.2. Polynômes de Legcndre 97 avec ti, t) E Zp n - k ( n \ . ,, Ji - k fn+k\ n - Ir1 ,, , ^[n-krn + k)p+ZïkUnp{ k j+^" + *)«™? n - 1 \ n + k-2kfn + k> Ivp+unp-------—;— \n — k — 1/ n + k \ k = n[ ( i \vp~runp-------——[ r I mod npZp 5 unp{V)-2unp^{V)modnpz> = —2unpj ) mod np Zp = 0 mod npZp. Remarque.- A nouveau, il convient de constater que le théorème 4.2.3 se déduit du théorème 4.2.4. En effet, supposons p impair et effectuons la substitution t=^€Zp[x) dans la congruence /V1(I + 2t) = f-it1 + 2t") mod npZpW- Puisque P„-i(t) est pseudo-puissance n dans Zp[i], la dernière congruence s'écrit, grâce au théorème des accroissements finis JVi(*) = JVi (1+21^*-I)*) = P»-i{xp + pr(x)), avec r(z) e Zp[i] = P»-x{xp) mod npZp[x]. Corollaire 4.2.5 La série formelle es( le logarithme d'un groupe formel défini sur Z[/]. Ce groupe, formel est strictement isomorphe au groupe moltiplicati}, via Visomorphisme 9S Chapitre 4. POLYNOMES DE COSTER ET DE LECENDRE Preuve,- Comme la série formelle fQ(x) est de type p—T sur Zp\l] pour tout p. la loi Fo(¦£¦!/) = / 1 et k e Z1 la suite cv+*(«)).,>.,, (P ï 2), converge en tout point de la lemniscate LTt. De plus, la limite fm.k(a) ¦= JiTO3 Pmp"+k{a) satisfait à la relation de récurrence L-UM = (2* - l)a/«.*-i(<0 - (* - l)/m,*-î(<0- Preuve.- Puisque les polynômes P„(t) et P„-t(t) sont des pseudo-puissances n et vérifient les congruences de Honda dans Zj,[t]t le théorème des accroissements unis permet d!établir la convergence des suites CV(U)Uo et CV-iHW La formule de récurrence nP„it) = (2n - I)(Pn-I(O -in- I)JVa(O. 7EIIe ne fuit aucune référence aux travaux de H&zeu-inkd. 4.3, Les congruences de Kazandzidis 9!J à laquelle satisfont les polynômes de Legendre (cf. [2S]). s'exprime, pour n = mp" + k et ( = a, sous la forme (m/+*)/V+t(a) = (2mp"+2k-l)-a-Pmp»+^l(a)-(mp" + k-ï)Pmp>+^(a). (I) On en déduit, par induction, la convergence de la suite en tout a 6 Lr, ainsi que la formule de recurrence que vérifie sa limite, à savoir. l'expression de (1) pour v —> co kfm,t{a) = (21c - I)UfnJ1-^a) - (k - l)/mJk_2(«). 4.3 Les congruences de Kazandzidis Comme nous l'annoncions dans ta section 2.2, la congruence fô)"Om0drtpZp ne représente qu'une version plus faible du résultat3 suivant, dû à G.S. Kazandzidis [22], [23], [24], qui s'énonce comme suit. Théorème 4.3.1 Soit p premier impair; si l'on dénote p(a) la plus hante puissance de p qui divise l'entier a, alors les coefficients binomiaux vérifient les congruences 0-(3-{r-i,0:;:ï-'"H-*)(:)}- On effectue, alors, immédiatement, la traduction. Corollaire 4.3.1 Pour tout p premier impair, on a les congruences On déduit de ce corollaire, le résultat suivant, concernant les deux congruences qui font l'objet de la section précédente. aCité dans [27], p. 350 et dans (2O]. 100 Chapitre 4. POLYNOMES DE COSTER ET DE LEGENDRE Théorème 4.3.2 Si1 pour p premier impair et n> I1 on pose H1 = P„p_i(l +2t) -/»„_,(!+&p) = 0 modnpZ„[t]; H-ï = Pnp{l+ 2t}-Pn(I+2tp) = 0 moti nPZp{t}; alors la congruence suivante est vérifiée. i/i + H2 =0 moti U7P2Zf[I]. Preuve.- Comme nous l'avons observé en section 3.2, H1 et H2 admettent le développement *-I'(v)rr 0"-SCr)C+:-1) -ë(t) (nr><-£(i)(T)- Si l'on pose np #i + ¾ = !>'*, alors on a a) d0 = 0; b) Si p ne divise pas k > 1, alors *-(T)K+V(V)(^r1 - ï(7:,,){(Vr,)+('*+*",'»+ ^T)-(Tr1MVr1 O, np fnp — l\ (np + h — l\ np /np^ /np + i - 1 T^fc-1 )\ h j +T\k)\ fc-1 »y JbM Jb - 1 I \ 4 - 1 - o—P* (np ~ ^ /np + * ~ 1 et donc dk = 0 mod nV Zp. 4.3. Les congruences de Kazandzidis c) Etudions, maintenant, le coefficient d^, avec k < ri. Celui-ci s'écrit 'h/A fnp + kp\ /n\ [n + k\ fnp - \\ fnp + kp — f ^={kp){ kp J-Wl k j + v kp j\ kp '»-A/n + fr-f k ){ k ou encore, avec les notations de la seconde preuve du théorème 4.2.4 n-k 2n dpk = a + b = a + —— a = ——o. y n + k n + k Par ie corollaire 4.3.1, il existe u et v dans Zp tels que ^ = ^{ö-^-)C)}{("ri+»^-"»"" 2n fn\ fn + k n + k U- 2 2 l / ,,in^/n + t-li , fn\ fn + k = 0 mod H2P2Zp. d) Finalement, encore une fois grâce au corollaire 4.3.1, on obtient «•-CHT = 0 mod p22n ¦ n ¦ n[ \ Zn = 0 mod 2nV Zp- Conjecture 4.3.1 Le théorème 4-3.S est aussi valable pour p = 2. Bibliographie [1] M. Abramowitz. t. A. Stegiin, Handbook of Mathematical Function?. Dover Pu- blications. Inc., New York, 1975. [2] Y. Amice, Les nombres p-adìques, P.U.F., collection Sup.. Paris, 1975. [3] G. Bachmann, Introduction to p-Adic Numbers and Valuation Theory, Academic Press, New York and London, 1964. [4] D. Barsky, Congruences des coefficients des. polynômes de Legendre. 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