UNIVERSITÉ DE NEUCHÂTEL FACULTÉ DE DROIT ET DES SCIENCES ÉCONOMIQUES Les plans d'expériences factorielles minimaux connexes: caractérisation et classification THÈSE présentée à Ia Faculté de droit et des sciences économiques pour l'obtention du grade de docteur es sciences économiques par Sylvie Gonano-Weber Imprimerie de l'Evole SA Neuchâtel 1994 Madame Sylvie Gonano-Weber est autorisée à imprimer sa thèse de doctorat es sciences économiques intitulée "Les plans d'expériences factorielles minimaux connexes : caractérisation et classification". Elle assume seule la responsabilité des opinions énoncées. Neuchâtel, le 24 février 1994 Le doyen de la Faculté de droit et des sciences économiques Daniel Haag A mes parents, mon mari et mes enfants Julien et Elsa vii Préface Les plans d'expériences factorielles minimaux connexes pourraient être con- sidérés a priori comme appartenant uniquement au domaine théorique de la statistique. Cependant, les contraintes économiques ont pris une telle ampleur ces dernières années, qu'ils sont devenus actuels dans de nombreux domaines économiques. Le but de cette thèse est d'énumérer tous les plans minimaux connexes a x 6 et a x & x c et de chercher parmi ces plans en compétition ceux qui sont optimaux par rapport à certains critères d'optimalité statistiques. Cette thèse n'a pas été écrite dans une optique de mathématique rigoureuse mais les nombreux exemples qui accompagnent toujours la théorie sont là pour clarifier les concepts et les rendre compréhensibles pour le néophyte. Le chapitre 1 contient des définitions et des notations concernant les plans d'expériences ainsi qu'un historique des connaissances acquises à ce jour. Le chapitre 2 donne le nombre exact des plans minimaux connexes à classifica- tion double ainsi qu'un algorithme de construction de ces plans. La partie la plus importante de ce chapitre comprend la caractérisation et la classification des plans minimaux connexes à classification double par rapport aux critères d'optimalité A et E. Le sujet du chapitre 3 est l'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations dans un plan minimal connexe à classification double. On classe ces nouveaux plans selon le critère d'optimalité A et on examine les conséquences d'observations supplémentaires en particulier sur les tests d'hypothèses et l'analyse de variance. Le chapitre 4 correspond aux chapitres 2 et 3 mais pour les plans minimaux connexes à classification triple. Dans le chapitre 5, on va traiter les approches graphiques des plans minimaux connexes ax&etaxòxc. Cette thèse s'achève par une brève conclusion ainsi que par les références des ouvrages les plus importants. Je ne vais pas terminer cette préface sans remercier Monsieur le Professeur Yadolah Dodge, directeur de thèse, qui a contribué, au travers de longues discussions et de cours très intéressants, à la naissance des idées originales de cette thèse. Par sa disponibilité et son intérêt, par ses conseils avisés et ses remarques pertinentes, il m'a aidé à mener à bien ce travail. Vili Mes remerciements vont aussi à Monsieur le Professeur Dominique Collombier qui m'a fait le très grand plaisir de lire et relire les premières versions de mon doctorat et d'y apporter tous les commentaires nécessaires. Par une correspon- dance active, il m'a aidée à éclaircir certaines de ses remarques mathématiques. Monsieur le Professeur Jacques Savoy a eu la gentillesse d'accepter d'être co- rapporteur de ma thèse de doctorat. Qu'il trouve ici l'expression de ma gra- titude. Je souhaite aussi exprimer ma reconnaissance à ma collègue et amie, Mademoi- selle Nicole Rebetez, sans qui les programmes informatiques n'auraient jamais existé. Finalement, je remercie toute ma famille qui m'a permis de poursuivre mes études, qui m'a toujours soutenue et encouragée et qui a supporté avec patience mes sautes d'humeur. J'espère que mes enfants et mon mari me pardonneront mes absences. Sylvie Gonano-Weber IX TABLE DES MATIERES Chapitre 1 Introduction 1 1.1 L'importance des plans d'expériences factorielles minimaux connexes et leurs champs d'applications............. 1 1.2 Notation mathématique...................... 3 1.3 Historique des connaissances acquises à ce jour dans le domaine 8 Chapitre 2 Caractérisât ion et classification des plans minimaux connexes à classification double 11 2.1 Nombre de plans minimaux connexes à classification double . . 11 2.2 Construction des plans minimaux connexes à classification double 12 2.2.1 Algorithme de construction des plans minimaux connexes a x (b+ 1).................... 12 2.2.2 Construction des plans minimaux connexes 2x3.... 13 2.3 Caractérisation et classification des plans minimaux connexes à classification double par rapport aux critères d'optimalité A et E 14 2.3.1 Notations et définitions de base.............. 15 2.3.2 Classification des plans minimaux connexes 2x2.... 17 2.3.3 Classification des plans minimaux connexes 2x3.... 19 2.3.4 Classification des plans minimaux connexes 2x4.... 20 2.3.5 Classification des plans minimaux connexes 3x3.... 23 2.3.6 Quelques généralités sur la classification des plans minimaux connexes a x b................. 27 2.4 Programme informatique pour la construction des plans minimaux connexes à classification double............ 30 Chapitre 3 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations dans un plan minimal connexe à classification double 33 3.1 Addition d'une ou plusieurs observations dans un plan minimal connexe à classification double.................. 33 3.2 Nombre de plans connexes à classification double........ 34 3.3 Caractérisation et classification des plans connexes à classifica- tion double par rapport au critère d'optimalité A........ 43 3.3.1 Classification des plans connexes 2 x 2.......... 44 3.3.2 Classification des plans connexes 2x3.......... 44 3.3.3 Classification des plans connexes 2x4.......... 44 3.3.4 Classification des plans connexes 3x3.......... 46 3.3.5 Quelques généralités sur la classification des plans a x b connexes........................... 54 3-4 Conséquences de l'addition de ces observations......... 55 Chapitre 4 Plans minimaux connexes à classification triple 57 4.1 Construction des plans minimaux connexes à classification triple 57 xi 4.1.1 Algorithme de construction des plans minimaux connexes a x b x (c + 1).................. 57 4.1.2 Construction des plans minimaux connexes 2x2x3.. 58 4.2 Caractérisation et classification des plans minimaux connexes à classification triple par rapport aux critères d'optimalité A et E 60 4.2.1 Classification des plans minimaux connexes 2x2x2.. 60 4.2.2 Classification des plans minimaux connexes 2x2x3.. 66 4.2.3 Quelques généralités sur la classification des plans minimaux connexes a x 6 x c............... 75 4.3 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations dans un plan minimal connexe à classification triple........... 78 4.4 Caractérisation et classification des plans connexes à classifica- tion triple par rapport au critère d'optimalité A ........ 78 4.4.1 Classification des plans connexes 2x2x2........ 79 4.4.2 Quelques généralités sur la classification des plans a x 6 x c connexes..................... 85 4.5 Programme informatique pour la construction des plans minimaux connexes à classification triple ............ 89 Chapitre 5 Une approche graphique des plans minimaux connexes 91 5.1 La théorie des graphes....................... 92 5.2 Plans minimaux connexes à classification double........ 94 5.3 Plans connexes a x 6 avec a + b observations .......... 96 xii 5.4 Plans minimaux connexes à classification triple.........105 5.4.1 Cas particulier.......................105 5.4.2 Cas général.........................108 Conclusion 111 Références 113 Annexe 1 119 Annexe 2 125 Annexe 3 137 Chapitre 1 Introduction 1.1 L'importance des plans d'expériences factorielles minimaux connexes et leurs champs d'applications Pourquoi les expériences sont-elles nécessaires? Parce que l'expérimentation est la base de l'approche scientifique de la con- naissance. C'est en partie grâce à elle que nous découvrons des lois inconnues et que nous pouvons tester des hypothèses. Elle confirme ou contredit nos sup- positions. C'est pourquoi elle s'avère être un outil important à toute recherche scientifique. L'expérimentateur prépare un plan selon lequel il va faire des observations. Ces observations seront affectées non seulement par des facteurs contrôlables, mais aussi par des facteurs incontrôlables et des erreurs de mesure. Elles vont 2 Introduction procurer à l'expérimentateur des données sur lesquelles il pourra baser son analyse. Or, dans la plupart des cas, le coût d'une expérience est considérable. C'est pourquoi l'expérimentateur a intérêt à réduire le plus possible le nombre d'observations nécessaires pour obtenir l'information désirée. Nous avons alors un plan dans lequel il manque quelques observations. Des plans ainsi incomplets peuvent se présenter aussi par accident ou pour d'autres raisons. Par exemple, des récoltes sont détruites par les intempéries, des données sont perdues avant d'être enregistrées, un patient renonce à suivre tel traitement, un animal meurt en cours d'expérience, etc.. Des données manquantes de ce type se présentent assez fréquemment. Une solution possible à ce problème est de répéter l'expérience dans des con- ditions similaires et d'obtenir ainsi des valeurs pour les observations qui fai- saient défaut dans l'expérience précédente. Cependant une telle solution, bien qu'idéale, peut ne pas être réalisable pour diverses raisons. Il est en effet en- visageable que des restrictions d'ordre économique (manque de temps ou coût trop élevé) nous empêchent de renouveler l'expérience. Des raisons physiques sont aussi à prendre en considération: une fois la récolte ramassée, on ne peut pas immédiatement en avoir une deuxième; une seconde ingurgitation d'un tel médicament n'a pas le même effet sur un patient que la première, etc.. Il est donc important de pouvoir tirer des conclusions d'une expérience, même si le nombre d'observations prévues n'est pas atteint. Par ce moyen, nous économisons un temps précieux et évitons des coûts supplémentaires. Il faut cependant éviter d'avoir trop d'observations manquantes sinon on ne peut pas obtenir l'information désirée. Par conséquent, il y a un nombre limite d'observations manquantes qu'il ne faut pas dépasser si l'on veut pouvoir estimer toutes les fonctions paramétriques. De tels plans sont appelés plans minimaux connexes. Une fois que l'expérimentateur a choisi les facteurs et les différents niveaux de facteurs qu'il veut inclure dans le modèle d'une expérience projetée, il peut y avoir beaucoup de possibilités de combinaisons de traitement qui vont permettre d'estimer les paramètres voulus. Il y a tout d'abord le plan d'expérience complet. Il est évident que dans ce cas tous les paramètres sont estimables, mais ce plan ne nous intéresse pas car, 1.2. Notation mathématique 3 économiquement, il n'est pas rentable. Il y a ensuite des plans où il manque quelques observations. Là aussi, pour autant que le nombre d'observations manquantes ne soit pas supérieur au nombre limite fixé pour pouvoir esti- mer tous les paramètres et pour autant que ces observations soient placées au bon endroit, nous pouvons avoir toute l'information désirée. Parmi ces plans incomplets, seuls ceux qui sont minimaux connexes, c'est-à-dire ceux qui fournissent l'information désirée avec le nombre minimum d'observations, nous intéressent économiquement. Supposons que l'expérimentateur désire obtenir des informations sur un ensem- ble donné de paramètres en utilisant un plan factoriel D. Il existe alors un en- semble de d plans minimaux connexes D\, X?2,- ¦ ¦ i -Orfi qui S0Iit en compétition car ils donnent Ja même information sur l'estimabilité de l'ensemble des pa- ramètres. Le but de cette thèse est d'énumérer tous les plans minimaux connexes a x 6 et a x b x c et de chercher parmi ces plans en compétition ceux qui sont optimaux par rapport à certains critères d'optimalité. En ce qui concerne le champ d'application des plans d'expériences factoriel- les minimaux connexes, il est difficile ici d'énumérer tous les domaines pou- vant avoir recours à cette méthode. Cependant, nous pouvons citer quelques exemples de domaines scientifiques en mesure d'utiliser ce procédé: agricul- ture, médecine, expérimentation animale, physique, chimie, technologie de l'alimentation, santé publique, technologie spatiale, etc.. On emploie aussi ces plans d'expériences dans les applications industrielles pour identifier les facteurs actifs, c'est-à-dire pour déterminer quelles sont les variables qui affec- tent le plus la réponse et éliminer les autres. 1.2 Notation mathématique Nous allons définir dans ce paragraphe la terminologie mathématique qui va être utilisée par la suite. Une expérience factorielle est une expérience dans laquelle on étudie diffé- rents facteurs. Un facteur est une condition contrôlable et il peut prendre un nombre fini de valeurs ou types appelés les niveaux du facteur. 4 Introduction Un traitement est un choix particulier des niveaux pour chaque facteur. Un plan spécifie le nombre d'observations assignées au traitement ij.. .tu et comment ces observations sont réparties. La notation ij.. .w indique que le premier facteur est au niveau i, le deuxième au niveau j, ..., et le dernier au niveau w. L'espace factoriel est l'ensemble de tous les traitements possibles. Par exemple, un espace factoriel 2" est un espace factoriel de n facteurs ayant chacun deux niveaux. Nous utilisons n pour le nombre de facteurs et N pour le nombre d'observations. Exemple 1.1 Prenons un exemple avec un plan 22 pour illustrer la notion d'espace factoriel. Nous pouvons le représenter dans la table 1.1. Table 1.1: Nombre d'observations d'un plan 22 Facteur B Niveau 1 2 Facteur A 1 2 Nous avons deux facteurs (facteur A et facteur B) à deux niveaux (niveau 1 et niveau 2). En marge sont précisés les niveaux de chaque facteur et l'intérieur du tableau indique le nombre d'observations pour chaque traitement (ici, il y a 4 traitements). Nous avons un total de TV = 3 observations. Nous voyons que pour le traitement 11 (c'est-à-dire premier facteur au niveau 1, deuxième facteur au niveau 1) le nombre d'observations est égal à 1. Pour le traitement 12, il est égal à 0. Pour le traitement 21, il est égal à 1 et pour le traitement 22. il est égalai. On note par Y^- l'observation faite lorsque le traitement ij (ième ligne et jème colonne) est appliqué, ce qui donne la table 1.2 suivante: Table 1.2: Observations d'un plan 22 Facteur B Niveau 1 2 Facteur A 1 1 0 1 1 ^n - Yn Y2I 1.2. Notation mathématique 5 Nous venons de définir les notions d'expérience, de traitement, de plan et d'espace. Il nous faut maintenant les relier entre elles. Nous nous limitons ici aux modèles linéaires. Ainsi pour l'exemple 1.1 nous écrivons: Yij =^ + 0¾ + /¾+¾, COv(€ij,€iy) = si i = i' et j = f sinon avec i, j = 1,2. fi, or,- et ßj sont des paramètres inconnus et e^ est le terme d'erreur. Les erreurs sont indépendantes et ont une moyenne de zéro et une variance inconnue a2. Nous pouvons récrire ce modèle sous forme matricielle: Y = X0 + € où Y est le vecteur des observations, de dimension 3 x 1, X est une matrice de dimension 3x5, Ö est un vecteur de dimension 5 x 1 et c un vecteur de dimension 3x1. Cela donne: Y = V11 " "11010 en V21 ,X = 10 110 ,0= C*2 et e = «21 V22 10 10 1 A 622 L A J La matrice X est appelée matrice du modèle ou matrice du plan. Le vec- teur B contient les paramètres inconnus du modèle linéaire et le vecteur e est 6 Introduction le vecteur des erreurs. On peut associer à une expérience factorielle une ma- trice N appelée matrice d'incidence, qui contient le nombre d'observations effectuées pour chaque traitement. Pour l'exemple 1.1, nous avons: [il où la cellule nu est égale à 1, la cellule TIj2 à 0, la cellule n2\ a 1 et la cellule TI22 à 1. On dit qu'une cellule n,j-..„, est occupée si n^..^, ^ 0. Afin de trouver les valeurs des paramètres inconnus, nous construisons les équations normales et obtenons: O=(^X)-1X7Y Comme la matrice du plan X a un rang égal à 3, cela signifie que nous ne pou- vons estimer que 3 paramètres, les deux autres paramètres étant dépendants des 3 premiers. Nous avons donc plusieurs solutions pour 9. Il nous faut alors poser des contraintes que l'on appelle contraintes usuelles et qui sont: a\ + O2 = O ou — oi\ = o>2 ßl+ß2=Qou~ßi=ß2 Nous pouvons alors récrire la matrice X et le vecteur 9 en remplaçant chaque «2 et ßi par — a3 et — ßi respectivement pour que la matrice X ait un rang plein: 'Yn' Y21 = Y-ii P fu ai + f21 . & J ¢22 Nous pouvons alors estimer /i, O1 et ß\ et, par conséquent, vu que ai = — a2 et ßi = —/32, on trouve a2 et ß2. 1.2. Notation mathématique 7 Nous pouvons formuler ces contraintes sous forme de matrices et écrire: A'9 = 0 110 0 0 0 0 11 <*1 ßi = 0 ce qui revient au même que O1 -f «2 = 0 et ßi + /¾ = O. Une expérience et le modèle additif linéaire associé peuvent être résumés sous forme matricielle de la façon suivante: Y = Xo + e et A'9 = 0 où les dimensions de Y, X, 9, e et A' sont respectivement N x 1, N xp,px 1, N x 1 et 5 x p, avec N représentant le nombre d'observations, p le nombre de paramètres inconnus et s le nombre de contraintes. On peut aussi spécifier une expérience et son modèle par: E(Y) = Xe , A'e = 0 où E(Y) représente l'espérance mathématique de Y. On arrive à ce résultat du fait que E(e) = 0. On note par R(X) l'espace de l'espérance mathémati- que, où X est la matrice du plan. La dimension de R(X) est notée par r(X) et représente le rang de la matrice du plan X. R(X) est un sous-ensemble de J?A' constitué des combinaisons linéaires des colonnes de X. Le vecteur des paramètres Ö appartient à Pespace paramétrique B qui est un sous-espace de Rp. Dans l'exemple 1.1, avant de mettre les contraintes, nous avions R(X) = Ä3 et r(X) = 3. Quant à 0, il était égal à R5. 8 Introduction 1.3 Historique des connaissances acquises à ce jour dans le domaine Confronté à un plan incomplet on peut s'assigner deux objectifs différents. Estimation des données manquantes On peut se préoccuper de l'estimation de l'espérance mathématique de la réponse en toute cellule où cette réponse n'est pas observée. Par exemple pour les plans à classification double, on cherche à estimer /i + o-,- + /¾ partout où Yijk n'est pas observé. Il s'agit ici de ce qu'on appelle l'estimation des données (ou observations) manquantes. Il semblerait que ce soit Allen et Wishart (1930) qui aient été les premiers à considérer le problème des observations manquantes, us trouvèrent une solution pour estimer la valeur d'une seule observation manquante dans le cas d'un plan à blocs "randomisé" et dans le cas des Carrés Latins. La valeur estimée de l'observation manquante est utilisée pour appliquer l'analyse de variance sur les données dorénavant complètes. Le nombre de degrés de liberté pour l'erreur est alors réduit de un. Plus tard, Yates (1933) a étudié le problème d'un nombre d'observations man- quantes supérieur à un. Il a montré qu'il fallait estimer les observations man- quantes en minimisant la somme des carrés des erreurs. En 1936, Yates (1936) adopta le même principe pour les plans carrés latins dans lesquels il manque soit une ligne, soit un traitement, soit une ligne et une colonne, soit une ligne et un traitement, soit une colonne et un traite- ment. Toujours selon le même principe, Yates et Haie (1939) étendent le cas à plusieurs lignes, colonnes ou traitements manquants. Cornish (1940a, 1940b, 1941,1944) a élargi le concept de Yates pour un grand nombre de plans d'expériences. Healy et Westmacott (1956) ont proposé une méthode itérative pour l'estima- tion des observations manquantes. Il faut introduire des valeurs présumées à la place des observations manquantes. On fait l'analyse puis on soustrait, pour chaque cellule vide, le résidu obtenu des valeurs présumées. On fait alors 2.3. Historique des connaissances acquises à ce jour dans le domaine 9 l'analyse complète avec les valeurs insérées et on réduit les degrés de liberté pour l'erreur du nombre d'observations manquantes. Cette méthode a été exprimée en termes mathématiques par Jaech (1966), Preece (1971) et Sclove (1972). Hartley (1956) a donné une technique différente quand il y a une seule obser- vation manquante. Il propose une procédure itérative quand il y a plus d'une observation manquante. Bartlett (1937) a introduit une procédure non-itérative pour traiter les obser- vations manquantes. Il fait une analyse de covariance sur des pseudo-variables correspondant au nombre de valeurs manquantes. D'autres approches ont été faites par De Lury (1946), Wilkinson (1958a, 1958b, I960), Rubin (1972), Haseman et Gaylor (1973) et Jarrett (1978). La différence principale entre ces méthodes qui donne une estimation des obser- vations manquantes par les moindres carrés réside dans la manière d'obtenir ces valeurs estimées. Bien qu'elles soient mathématiquement correctes, ces procédures peuvent induire en erreur dans le sens que, s'il y a trop d'observa- tions manquantes, toutes les fonctions paramétriques ne sont pas estimables. Il existe un autre problème avec ces méthodes: il n'est pas si facile d'obtenir les degrés de liberté corrects pour chaque effet étant donné que la matrice du plan n'est pas de rang plein. Les méthodes données par Haseman et Gaylor (1973) et Rubin (1972) sont correctes puisque le processus s'arrête lorsque la matrice rencontrée est singulière. Etude de la connexité Plutôt que ou avant d'estimer les données manquantes on peut se poser la question de savoir si - sous contrainte d'identification A'Ô = 0 - tous les éléments de 9 sont estimables. On s'intéresse alors à la connexité du plan. (Un plan est dit connexe si les éléments de 9 sont tous estimables.) Si le plan n'est pas connexe on peut aussi rechercher une base de fonctions paramétriques (c'est-à-dire de combinaisons linéaires des composantes de 9) estimables, ou bien vérifier si certaines fonctions paramétriques qui présentent un intérêt pour l'analyse sont estimables. 10 Introduction Le terme connexité d'un plan a été introduit par Bose (1949) pour le modèle additif à classification double. Ici la recherche des plans connexes s'effectue par examen de la matrice d'incidence N plutôt que par celui de la matrice du plan X. Par la suite, Weeks et Williams (1964) ainsi que Srivastava et Anderson (1970) se sont intéressés au modèle additif à n classifications. Plus récemment, Birkes, Dodge et Seely (1976) ont présenté des résultats complets concer- nant Pestimabilité dans un modèle additif à classification double. Hs ont in- troduit un algorithme, le processus R, facilement utilisable sur ordinateur, qui détermine quelles fonctions paramétriques sont estimables. Ils ont aussi présenté une méthode qui donne une base pour les fonctions estimables im- pliquant seulement un effet. Finalement, ils ont traité l'estimabilité dans un modèle additif à classification triple. On peut aussi consulter Dodge (1974), Eccleston et Rüssel (1975), Raghavarao et Fédérer (1975) et Shah et Dodge (1977). Wynn (1976) a aussi donné des résultats pour un modèle sans con- traintes. L'ouvrage de Butz (1982) et les travaux de Collombier (19S4) traitent aussi du même sujet. Lorsque le plan n'est pas connexe une difficulté intervient dans l'analyse des ob- servations de la réponse. Même si Ton tient compte des contraintes d'identifica- tion, la matrice des coefficients des équations normales est singulière. On doit donc avoir recours aux inverses généralisés pour trouver une solution aux équa- tions normales. Dodge et Majumbar (1979) ont présenté un algorithme pour trouver un inverse généralisé appliqué aux moindres carrés. Ils utilisent la matrice d'incidence et la matrice du plan simultanément. Il existe d'autres procédures pour trouver un inverse généralisé, notamment dans le chapitre 11 de Rao et Mitra (1971). On peut aussi consulter les ouvrages de Bouillon et Odell (1971), Bjerhammer (1973) et Ben-Israel et Greville (1974). Une liste complète des références sur le sujet a été commentée d'une manière remarqua- ble par Nashed et Rail (1976). Dodge (1985) a continué les investigations dans ce domaine et a complété les résultats déjà acquis pour les modèles à classification double et les modèles à classification triple par des programmes utilisables sur ordinateur. Il a égale- ment écrit un programme qui trouve l'inverse généralisé sans erreurs d'arrondi. Il s'est aussi penché sur les plans d'expériences factorielles 2" et a fourni des tables contenant des plans minimaux connexes 2" pour n < 9 et des plans minimaux connexes a x b choisis arbitrairement. Chapitre 2 Caractérisation et classification des plans minimaux connexes à classification double 2.1 Nombre de plans minimaux connexes à classification double Un plan minimal connexe est un plan où toutes les fonctions paramétriques sont estimables et qui contient un nombre minimum d'observations. Ce nom- bre minimum d'observations pour un plan minimal connexe à classification double a x b est a + b — 1. a -f 6 — 1 correspond au rang de la matrice du plan X pour un plan complet flXt. Le nombre de plans minimaux connexes o x 6, noté Z(a, 6) est donné par la 12 Caractérìsation et classification ... formule suivante: Z(a,b) = ab-lba-1 La démonstration de cette formule se trouve dans Birkes et Dodge (1986). Ainsi, par exemple, il existe Z(2,3) = 23_132"1 = 12 plans minimaux connexes 2x3 ayant chacun un nombre d'observations égal àa + Ò—1=4. 2.2 Construction des plans minimaux connexes à classification double Dans cette section, nous donnerons d'abord un algorithme de construction des plans minimaux connexes a x (b + 1) dans sa forme générale. Puis nous appliquerons cet algorithme pour construire les plans minimaux connexes 2x3. 2.2.1 Algorithme de construction des plans minimaux connexes a x (b + 1) Nous prenons un plan minimal connexe a x 6, avec a < 6. Soit (î,j), i = 1,2,..., a et j = 1,2,..., 6, les cellules de ce plan minimal connexe a x 6. Pour construire un plan minimal connexe a x (b + 1), nous commençons par générer les a x (6 -f-1) cellules de ce plan. Soit (k, l), k — 1,2,..., a et l = 1,2,.. .,ò,ò+l, cesa x (6+1) cellules générées. Puis pour chaque observation (k,t), nous procédons de la sorte: 1. nous prenons en considération les observations (i,j) du plan minimal connexe a x b et l'observation (fc, /); 2. pour obtenir le plan minimal connexe a x (6 + 1) correspondant, nous posons j = j + 1 si j > /, pour toutes les observations (i, j) et gardons telle quelle l'observation générée (k,l). 2.2. Construction des plans minimaux connexes... 13 Le nombre de plans minimaux connexes a x (b + 1) est égal à 2(0,6+1)=^(6+1)°-1 Pour obtenir ces afc(6+ l)a-1 plans minimaux connexes, nous devons appliquer ce même algorithme pour tous les plans minimaux connexes o x 6, qui sont au nombre de O6-1O0-1 et éliminer ceux que nous trouvons plusieurs fois. 2.2.2 Construction des plans minimaux connexes 2x3 Nous prenons un plan minimal connexe 2x2: 1 1 1 Ce plan contient les observations (1,1), (1,2) et (2,1). Pour construire un plan minimal connexe 2x3, nous commençons par générer les 6 cellules de ce plan; (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3) Ensuite nous prenons l'observation générée (1,1) avec les 3 observations du plan minimal connexe 2x2: (1,1), (1,2) et (2,1). Pour obtenir le plan minimal connexe 2x3 correspondant, nous effectuons les changements d'indices nécessaires. Pour la première observation du plan minimal connexe 2 x 2, à savoir (1,1), j = 1; j est donc supérieur ou égal à /, par conséquent j — j + 1 = 2. L'observation devient donc (1,2). Pour la deuxième observation du plan minimal connexe 2 X 2, à savoir (1, 2), j = 2; j est donc supérieur ou égal à Z1 par conséquent j = j + 1 = 3. L'observation devient donc (1,3). 14 Caractérìsation et classification ... Pour la troisième observation du plan minima] connexe 2 x 2, à savoir (2,1), j = 1; j est donc supérieur ou égal à /, par conséquent j = j + 1 =2. L'observation devient donc (2,2). Le plan minimal connexe 2x3 obtenu est donc le suivant: 1 1 1 1 qui contient les observations (1,1), (1,2), (1,3) et (2,2). Nous procédons de la même manière pour les 6 observations générées et obte- nons ainsi 6 plans minimaux connexes 2x3. Pour obtenir les 12 plans minimaux connexes 2x3, nous appliquons cet algo- rithme aux 4 plans minimaux connexes 2 x 2 et éliminons les plans que l'on rencontre plusieurs fois. 2.3 Caractérìsation et classification des plans minimaux connexes à classification double par rapport aux critères d'optimalité A et E Le but de cette section est de déterminer les "meilleurs" plans à l'intérieur d'une classe donnée et ceci par rapport aux deux critères d'optimalité A et E. Nous allons dans un premier temps classer tous les plans minimaux connexes 2x2,2x3, 2x4 et 3x3 selon les critères d'optimalité suivants: 1. critère d'optimalité A: min [trace V] 2. critère d'optimalité E: min [plus grande valeur propre de V] La matrice V sera définie un peu plus loin. 2.3. Caractérisation et classification des plans minimaux connexes... 15 Dans un deuxième temps, nous donnerons pour chaque critère des généralités concernant les plans minimaux connexes axb. 2.3.1 Notations et définitions de base Soit Yij un ensemble de n variables aléatoires indépendantes. Nous pouvons alors écrire le modèle linéaire pour un plan d'expérience factorielle axb: où i s= 1,..., a et j = 1,...,0. Nous pouvons récrire ce modèle sous la forme de son espérance mathématique: E(Yij) = u. + ai + ßj ou sous forme matricielle E(Y) = X9 où Y est le vecteur des observations, X est la matrice du plan et Q est le vecteur des paramètres inconnus. Un plan d'expérience factorielle a x b est connexe si tous les contrastes élémen- taires sont estimables, c'est-à-dire si ^1 — a2, ai — ct3,..., Cv1 — aa, org — &$, Q2 - U4,- ¦ -, a2 - aa,..., aa_i - aa et /¾ - /¾, /¾ - /¾,..., ßi - ßb, /¾ - ft, ft — Ai- ¦ -i ß2 — ßb-, • ¦ -, ßb-i — ßb sont estimables. Le nombre minimal d'observations nécessaires pour qu'un plan axb soit con- nexe est a + b - 1 qui correspond au rang de la matrice du plan X. Nous ne pouvons donc estimer que a + b - 1 paramètres; les autres sont dépendants des a + 6 — 1 premiers. Il faut donc poser des contraintes qui sont: HO = O 16 Casactérisatìon et classification ... où H est la matrice des contraintes. Cette condition est équivalente à: H'HÖ = 0 Si on prémultiplie X# = Y par X', on obtient: X'XÖ = X'Y Vu que H'H0 = 0, on peut écrire (X'X + H'H)0 = X'Y d'où on tire Ô = (X'X + H,H)-1X'Y (la matrice X'X + H'H est régulière, cf annexe 1). Il faut maintenant tenir compte des contrastes, en rappelant qu'un contraste est défini comme une fonction paramétrique où la somme des coefficients est nulle: où A est la matrice des contrastes. Nous avons alors: $ = AO = A(X'X + H'H)-!X'Y. La matrice de covariance pour l'estimateur $ est égale à: 2.3. Caractérisation et classifìcation des plans minimaux connexes... 17 Coo($) = Ctw(Y) A(X'X + H'H)"1X'X(X'X +H7H)-1A' = C2I A(X'X + H'HJ-'X'XfX'X + H'H)-1 A; = (72V avec V = A(X'X + H'H)"1X'X(X'X + H7H)-1A'. C'est sur la matrice V que l'on va appliquer nos différents critères d'optimalité. On a choisi les critères d'optimalité A et E car on cherche à minimiser la variance de l'estimateur $. L'expression de la matrice de covariance Cov(4>) peut se simplifier. Plus précisément on a: Cov{$) = A(X'X + ^H)-1A Le lecteur intéressé pourra considter l'explication de la simplification dans l'annexe 1. 2.3.2 Classification des plans minimaux connexes 2x2 Le critère d'optimalité A se définit comme suit: min [trace V] Nous rappelons que V = A(X'X + H'H)-1 A'. Dans le cas des plans 2 x 2, la matrice des contraintes H est égale à: H = 0 110 0 0 0 0 11 et la matrice des contrastes A est égale à: 18 CaractérisatioD et classification ... 0 1-10 0 0 0 0 1-1 Une fois V calculée pour chaque plan, nous en prenons la trace et classons les plans par ordre croissant de la trace de V. Nous savons qu'il y a 4 plans minimaux connexes 2x2. La valeur de la trace de V est identique pour les 4 plans et elle vaut 4. Ces plans se trouvent dans la table 2.1. Table 2.1: Plans minimaux connexes 2x2 avec une trace de V = 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Nous pouvons aussi représenter les plans sous forme d'indices où la première colonne correspond aux niveaux du facteur A et où la deuxième colonne cor- respond aux niveaux du facteur B. Ainsi une ligne équivaut à une observation. Les 4 plans ci-dessus deviennent avec cette notation: 11 11 11 12 12 12 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 Ces quatre plans coi'cident par permutation des niveaux de l'un et/ou l'autre des facteurs. Ils forment ce qu'on appelle une classe d'équivalence. La trace de V pour un plan 2x2 complet est égale à 2. Le critère d'optimalité E se définit comme suit: min [max valeur propre V] Nous classons les plans par ordre croissant de la plus grande valeur propre de V. Là aussi la valeur propre de V est identique pour les 4 plans. Elle est égale à 3. Le plan 2x2 complet a une valeur propre de 1. 2.3. Caractérisation et classification des plans minimaux connexes... 19 2.3.3 Classification des plans minimaux connexes 2x3 Dans le cas des plans 2 x 3 la matrice des contraintes H est la suivante: H = 0 110 0 0 0 0 0 111 et la matrice des contrastes A est égale à: A = 0 1-10 0 0 0 0 0 1-1 0 0 0 0 1 0-1 0 0 0 0 1-1 Nous savons qu'il y a 12 plans minimaux connexes 2x3. La classification selon la trace de V nous donne deux groupes. Groupe 1 Ce groupe comprend 6 plans avec une trace de 8. Ces plans se trouvent dans la table 2.2. Ils forment une classe d'équivalence. Table 2.2: Plans minimaux connexes 2x3 avec i 1 1 1 2 1 3 2 2 1 1 1 2 1 2 3 1 11 13 12 2 1 13 2 2 2 3 2 3 1 2 2 1 2 2 2 3 1 2 2 2 1 1 2 3 Groupe 2 Ce groupe comprend 6 plans avec une trace de 10. Ces plans se trouvent dans la table 2.3.Hs forment une classe d'équivalence. 20 Caractérisation et classification ... Table 2.3: Plans ] 1 1 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 3 2 3 1 1 1 1 1 2 1 3 2 2 2 2 2 3 2 3 Plans minimaux connexes 2x3 avec une trace = 10 12 11 13 13 2 1 2 1 2 2 2 2 La trace de V pour un plan 2x3 complet vaut 3.67. La classification selon la valeur propre nous donne les deux mêmes groupes. Le premier groupe contient les plans dont la valeur propre vaut 4 et le deuxième groupe ceux dont la valeur propre vaut 7.16. La valeur propre de V pour un plan 2x3 complet est égale à 1.5. Pour tout plan comportant au moins un facteur à 3 niveaux ou plus, la matrice A, donnée ci-dessus, ne peut être -par construction- de rang égal au nombre de ses lignes. Par conséquent V est nécessairement singulière et le critère du déterminant est sans intérêt. 2.3.4 Classification des plans minimaux connexes 2x4 Dans le cas des plans 2 x 4 la matrice des contraintes H et la matrice des contrastes A sont: H = 0 110 0 0 0 0 0 0 1111 et 2.3. Carâctérisation et classification des plans minimaux connexes... 21 O 1 -1 O O O O O O O 1 -1 O O O O O 1 O -1 O O O O 1 O O -1 O O O O 1 -1 O O O O O 1 O -1 O O O O O 1 -1 Il y a 32 plans minimaux connexes 2x4. La classification par le critère de la trace nous donne deux groupes. Groupe 1 Ce groupe comprend 8 plans avec une trace de V égale à 14. Ces plans se trouvent dans la table 2.4. Ils forment une classe d'équivalence. Table 2.4: Plans minimaux connexes 2x4 avec une trace = 14 11 12 14 13 2 1 2 1 2 1 2 1 22 22 22 22 23 23 23 23 24 24 24 24 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 2 4 2 3 2 2 2 1 Groupe 2 Ce groupe comprend 24 plans avec une trace de 18. Ces plans se trouvent dans la table 2.5. Ils forment trois classes d'équivalence. Table 2.5: Plans minimaux connexes 2x4 avec une trace — 18 11 11 11 11 13 12 12 12 14 2 2 2 1 14 2 1 2 3 2 3 2 3 22 24 24 24 22 Caractérisation et classification ... 11 11 11 11 13 13 13 13 2 2 2 1 14 14 23 22 22 22 24 24 24 23 12 11 11 12 13 14 14 13 14 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 3 22 24 23 24 12 12 12 13 13 13 13 14 2 1 14 14 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 24 24 23 23 12 12 13 11 14 14 14 12 2 1 2 1 2 1 13 2 3 2 2 2 2 2 1 24 23 24 24 11 11 11 11 12 12 12 12 14 14 13 13 2 2 2 1 2 3 2 2 23 23 24 24 La trace de V pour un plan 2x4 complet vaut 6.5. La classification selon la valeur propre nous donne exactement les deux mêmes groupes, le premier ayant une valeur propre de 5 et le deuxième une valeur proprede 10.72. La valeur propre d'un plan 2x4 complet est égale à 2. 2.3. Caractérisation et classification des plans minimaux connexes... 23 2.3.5 Classification des plans minimaux connexes 3x3 Dans le cas des plans 3 x 3 la matrice des contraintes H et la matrice des contrastes A sont les suivantes: H = et A = 0 1110 0 0 0 0 0 0 111 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 1 -1 Il y a 81 plans minimaux connexes 3x3. La classification selon le critère de la trace de V nous donne trois groupes. Groupe 1 Ce groupe contient 9 plans et la trace de V vaut 12. Ces plans sont représentés dans la table 2.6. Ils forment une classe d'équivalence. Table 2.6: Plans minimaux connexes 3 x 3 avec une trace = 12 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 2 3 2 1 2 2 2 1 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 1 1 3 1 3 1 3 3 2 2 3 2 2 2 1 3 3 3 3 3 2 3 1 Groupe 2 Ce groupe contient 36 plans et la trace de V vaut 14. Ces plans sont représentés dans la table 2.7. Ils forment quatre classes d'équivalence. 24 Caractérisation et classification ... Table 2.7: Plans minimaux connexes 3x3 avec une trace = 14 13 13 11 12 2 2 2 1 2 3 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 32 32 32 32 33 33 33 33 12 11 13 13 2 1 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 2 3 2 3 3 2 3 2 3 1 3 2 33 33 33 33 13 13 12 12 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 3 1 3 2 32 31 32 33 12 12 11 11 2 1 2 1 12 13 2 2 2 2 2 2 2 1 23 23 32 31 3 3 3 1 3 3 3 2 11 11 11 11 13 13 13 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 3 1 3 1 3 3 3 3 3 3 11 11 11 12 2 1 2 1 2 1 13 2 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 3 3 1 2 2 33 32 32 32 2.3. Caractérisation et classification des plans minimaux connexes... 25 12 12 12 11 13 13 13 12 2 3 2 2 2 1 2 2 3 1 3 1 2 3 2 3 33 32 33 32 11 11 11 11 12 12 12 12 2 1 2 1 13 13 3 1 2 3 2 3 2 3 3 3 3 1 3 2 3 1 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 2 2 2 2 2 1 2 1 3 3 3 1 3 3 3 2 Groupe 3 Ce groupe contient 36 plans et la trace de V vaut 16. Ces plans sont représentés dans la table 2.8. Ils forment quatre classes d'équivalence. Table 2.8: Plans minimaux connexes 3x3 avec une trace = 16 13 13 12 12 2 1 2 1 2 1 2 1 22 22 23 23 3 2 3 1 3 2 3 1 33 33 33 32 11 11 11 11 12 12 13 13 23 23 22 22 3 2 3 1 3 2 3 1 33 33 33 32 26 Caractérisation et classification ... 11 11 12 12 2 2 2 2 13 13 2 3 2 3 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 33 32 33 32 13 13 12 12 2 2 2 1 2 2 2 1 23 23 23 22 3 1 3 1 3 1 3 1 32 32 33 33 11 11 11 11 12 13 13 13 2 2 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 2 2 2 3 33 33 32 32 11 11 11 11 13 13 13 2 1 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 3 3 2 3 3 11 12 12 12 2 1 13 13 13 2 2 2 1 2 1 2 1 32 23 22 22 3 3 3 1 3 3 3 1 12 12 12 11 13 13 13 12 23 22 21 22 3 1 3 1 2 3 2 3 32 33 32 33 2.3. Caractérisation et classification des plans minimaux connexes... 27 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 3 2 2 3 2 3 3 1 3 3 3 3 3 2 La trace de V pour un plan 3x3 complet vaut 4. La classification selon le critère de la valeur propre de V nous donne exac- tement les trois mêmes groupes avec une valeur propre de 5, 7.85 et 10.58 respectivement. La valeur propre d'un plan complet 3 x 3 est égale à 1. 2.3.6 Quelques généralités sur la classification des plans minimaux connexes a x 6 Nous pouvons faire une première remarque: nous obtenons la même classifi- cation pour le critère A que pour le critère E. C'est-à-dire que nous obtenons les mêmes groupes selon que nous étudions la trace de V ou la valeur propre de V. La classification est la même pour les plans minimaux connexes o x b que pour les plans minimaux connexes b x a. Théorème 2.1 Un plan minimal connexe a x b est classé A-optimal ou E- optimal si tous tes contrastes élémentaires sont directement estimables. On dit qu'un plan D est A-optimal ou E-optimal quand la trace respectivement la valeur propre de W(D) est minimum dans sa catégorie. On retrouve ce théorème dans le chapitre 5 (théorème 5.1). Exemple 2.1 Considérons le plan minimal connexe 3x3 suivant: A /¾ A ai 1 1 1 1 1 28 Caractérisation et classification ... ou sous forme d'indices: 1 3 2 3 3 1 3 2 3 3 Les contrastes élémentaires sont Qi — a2, ai — a3, a2 — a3, ß\ — /¾, /J1 — /¾ et /¾ — /¾. Ds sont tous directement estimables. En effet, ai — a2 peut être estimé par la soustraction de l'observation (23) à l'observation (13). La différence ai — a3 peut être estimée par (13) - (33). La différence Q2 — Q3 Peut être estimée par (23) - (33). Quant aux contrastes du deuxième facteur, nous pouvons estimer ß\ — /¾ par (31) - (32), A - /¾ par (31) - (33) et /¾ - ß3 par (32) - (33). La valeur de la trace de V est égale à 12 et c'est la valeur minimum parmi tous les plans minimaux connexes 3x3. Les plans pour lesquels un contraste élémentaire n'est pas directement esti- mable viennent ensuite dans la classification. Encore plus loin on trouve les plans pour lesquels il manque deux contrastes élémentaires et ainsi de suite jusqu'à deux contrastes seulement directement estimables. Exemple 2.2 Considérons le plan minimal connexe 3x3 suivant: ßi fo ßi 1 1 1 1 1 ou sous forme d'indices: 2.3. Caractérìsation et classification des plans minimaux connexes... 29 1 3 2 2 3 1 3 2 3 3 La différence ai — «2 n'est pas directement estimable. Toutes les autres différences sont directement estimables. Ce plan est donc classé dans le deu- xième groupe des plans minimaux connexes 3 x 3. Sa trace vaut 14. Exemple 2.3 Considérons le plan minimal connexe 2x4 suivant: ßi ßt ßz ß* 1 1 1 1 1 ou sous forme d'indices: 1 1 1 3 1 4 2 1 2 2 Les différences ß2 — /¾ et /¾ — /¾ ne sont pas directement estimables. Toutes les autres différences sont directement estimables. Ce plan est classé dans le deuxième groupe des plans minimaux connexes 2x4. En effet, dans cette catégorie, il n'existe pas de plans pour lesquels un seul contraste n'est pas directement estimable. Sa trace vaut 18. Exemple 2.4 Considérons Ie plan minimal connexe 3x3 suivant: ßi /¾ ft 1 1 1 1 1 30 Caractérisation et classification ... ou sous forme d'indices: 1 3 2 1 2 2 3 2 3 3 Les différences O1 — o-2 et ß\ — ßz ne sont pas directement estimables. Toutes les autres différences le sont. Ce plan est donc classé dans le troisième groupe des plans minimaux connexes 3 x 3. Sa trace vaut 16. 2.4 Programme informatique pour la construction des plans minimaux connexes à classification double Le programme AXB donne tous les plans minimaux connexes de la catégorie a x b choisie par l'utilisateur. Il indique aussi le nombre de plans minimaux connexes qui existent. Comme le nombre de plans minimaux connexes à classification double aug- mente rapidement quand a et b deviennent grands, le choix de la catégorie a x 6 a été volontairement limité. Le programme offre donc à l'utilisateur les possibilités suivantes: • plans minimaux connexes 2x2 • plans minimaux connexes 2x3 • plans minimaux connexes 2x4 • plans minimaux connexes 2x5 • plans minimaux connexes 3x3 • plans minimaux connexes 3x4 2.4. Programme informatique... 31 Pour exécuter le programme, l'utilisateur doit entrer son nom, c'est-à-dire AXB. Il se trouvera alors devant une liste de choix possibles. Il entrera le chiffre correspondant à la catégorie désirée. Les plans construits et leur nombre seront imprimés dans un fichier portant le nom de la catégorie choisie suivi de l'extension ".RES". La forme de représentation des plans est celle des indices. Le programme AXB ainsi qu'un exemple d'impression figurent en Annexe 2. Chapitre 3 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations dans un plan minimal connexe à classification double 3.1 Addition d'une ou plusieurs observations dans un plan minimal connexe à classification double Dans ce chapitre, nous allons examiner l'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations sur les valeurs de la trace de V et nous établirons une classification complète de ces plans selon le critère d'optimalité A. Les plans que nous considérons ici sont sans répétition. Par conséquent, les observations que nous ajoutons sont faites dans des cellules anciennement vides. Finalement nous regarderons l'effet de l'addition de nouvelles observations sur 34 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations... les tests d'hypothèses et l'analyse de variance. 3.2 Nombre de plans connexes à classification double Un plan connexe est un plan dans lequel toutes les fonctions paramétriques sont estimables et qui ne possède pas le nombre minimum d'observations. Un plan minimal connexe auquel on ajoute une ou plusieurs observations devient donc un plan connexe. On va donner ci-dessous le nombre de plans connexes 2 x 2, 2 x 3, 2 x 4 et 3x3 avec différents nombres d'observations. Pour un plan minimal connexe 2 x 2, il faut 2 + 2-1=3 observations. Si l'on ajoute une observation, on obtient un plan 2x2 complet. Pour un plan minimal connexe 2 x 3, il faut 2 + 3-1=4 observations. Si nous ajoutons une observation, nous obtenons un plan avec 5 observations. Il existe 6 plans connexes 2x3 avec 5 observations. Ils sont représentés dans la table 3.1. Table 3.1: Les 6 plans connexes 2x3 avec 5 observations 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 3 1 2 2 1 2 1 2 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 2 2 3 2 3 Si l'on ajoute deux observations, on obtient un plan 2x3 complet. 3.2. Nombre de pians connexes à classification double 35 Pour un plan minimal connexe 2 x 4, il faut 2 + 4-1 = 5 observations. Si nous ajoutons une observation, nous obtenons un plan avec 6 observations. Il existe 24 plans connexes 2x4 avec 6 observations. Ils sont représentés dans la table 3.2. Table 3.2: Les 24 plans connexes 2x4 avec 6 observations 1 3 1 2 1 1 1 1 1 4 1 4 1 4 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1 3 1 3 2 2 2 2 1 4 1 4 2 3 2 3 2 1 2 1 2 4 2 4 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 1 4 2 1 2 2 2 2 2 3 2 4 2 3 2 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 4 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 4 2 4 2 4 2 3 36 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations... 11 11 11 11 12 12 13 13 14 14 14 14 2 1 2 2 2 1 2 2 23 23 22 23 24 24 23 24 11 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 2 1 2 1 2 1 2 1 22 22 22 23 24 23 24 24 Si l'on ajoute deux observations, on obtient un plan 2x4 avec 7 observations. H existe 8 plans connexes 2x4 avec 7 observations. Ils sont représentés dans la table 3.3. Table 3.3: Les 8 plans connexes 2x4 avec 7 observations 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 2 1 2 1 2 1 2 2 22 22 23 23 23 24 24 24 12 11 11 11 13 13 12 12 14 14 14 13 2 1 2 1 2 1 2 1 22 22 22 22 23 23 23 23 24 24 24 24 Si l'on ajoute trois observations, on obtient un plan 2x4 complet. Pour un plan minimal connexe 3 x 3, il faut 3 + 3-1 = 5 observations. Si 3.2. Nombre de plans connexes à classification double 37 nous ajoutons une observation, nous obtenons un plan connexe 3x3 avec 6 observations. 11 existe 78 plans de ce type. Ils se trouvent dans la table 3.4. Table 3.4: Les 78 plans connexes 3 x 3 avec 6 obf 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 3 1 1 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 1 3 2 1 1 3 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 3 1 2 3 3 2 3 2 3 2 3 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 2 3 3 2 3 2 3 2 3 1 3 3 3 3 3 3 38 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations... 12 11 12 12 2 2 12 13 2 1 23 22 22 22 3 1 2 3 2 3 2 3 3 2 3 1 3 1 3 1 33 32 32 32 11 12 12 11 12 13 2 1 12 2 1 2 1 2 2 2 1 22 22 23 22 32 32 32 23 33 33 33 33 12 11 11 11 2 1 12 12 12 2 2 2 1 2 1 13 23 22 22 22 3 1 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 1 3 3 11 11 11 11 12 13 13 13 2 2 2 1 2 1 2 1 23 22 23 31 3 2 3 1 3 1 3 2 33 32 32 33 11 11 11 11 13 12 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 33 33 33 33 3.2. Nombre de plans connexes à classification double 39 11 11 11 11 2 1 2 1 12 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 33 32 33 33 11 11 12 11 12 12 13 12 2 1 13 2 1 13 2 3 2 1 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1 3 1 32 32 32 32 11 11 11 11 12 12 12 12 13 2 1 13 13 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 3 1 2 3 2 3 32 33 33 33 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 23 23 21 23 3 1 3 2 2 3 3 1 33 33 32 32 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 2 2 2 1 2 2 2 1 23 22 31 32 3 1 3 3 3 3 3 3 40 L'effet de Vaddition d'une ou plusieurs observations... 11 12 12 11 13 13 13 12 2 2 2 1 2 1 2 2 23 23 22 23 3 1 3 1 3 1 3 1 32 32 33 33 11 11 11 13 13 12 13 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 3 1 32 32 32 32 33 33 33 33 11 12 11 12 13 13 13 13 2 2 2 2 2 1 2 1 23 23 23 23 3 1 3 1 3 2 3 2 33 33 33 33 11 12 12 11 12 2 1 13 13 2 3 2 3 2 1 2 2 3 1 3 1 3 1 2 3 32 32 32 32 33 33 33 33 11 12 2 2 13 2 3 2 1 3 1 2 3 3 2 3 1 3 3 3 3 Si l'on ajoute deux observations, on obtient un plan connexe 3x3 avec 7 observations. On compte 36 plans de ce genre. Ils sont représentés dans la table 3.5. 3.2. Nombre de plans connexes à classification double 41 Table 3.5: Les 36 plans connexes 3x3 avec 7 observations 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 2 1 2 1 2 1 2 1 22 22 22 23 2 3 3 1 3 1 3 1 31 32 33 32 11 11 11 11 12 12 12 13 13 13 13 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 33 33 33 33 11 12 12 13 13 13 13 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 23 23 23 23 3 1 3 1 3 1 3 1 32 32 32 32 33 33 33 33 11 11 11 12 12 13 13 13 13 2 1 2 1 2 1 21 22 22 22 22 23 23 23 2 3 3 1 3 2 3 1 33 33 33 33 42 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations... 12 11 11 12 13 12 13 13 2 1 13 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 23 22 23 23 3 2 2 3 3 1 3 1 33 32 32 32 11 11 11 12 12 12 12 13 13 2 1 2 2 2 1 22 22 23 22 3 1 3 1 3 1 3 1 32 32 32 32 33 33 33 33 12 11 11 11 2 1 12 12 12 2 2 13 2 1 13 2 3 2 2 2 2 2 1 3 1 2 3 2 3 2 2 3 2 3 1 3 1 3 2 33 32 32 33 11 11 11 11 12 12 12 13 2 1 2 1 13 2 1 22 22 22 2 2 2 3 2 3 2 3 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 33 33 33 33 11 11 11 11 2 1 12 12 12 2 2 2 1 13 13 2 3 2 3 2 1 2 2 3 1 3 1 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 1 33 33 33 33 3.3. Caractérisation et classification des pians connexes... 43 Si l'on ajoute trois observations, on obtient un plan connexe 3x3 avec 8 observations. Il existe 9 plans de ce type. Ils se trouvent dans la table 3.6. Table 3.6: Les 9 plans connexes 3x3 avec 8 observations 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 31 31 32 32 32 32 33 33 33 33 1 1 1 i—i 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 Si l'on ajoute quatre observations, on obtient un plan 3x3 complet. 3.3 Caractérisation et classification des plans connexes à classification double par rapport au critère d'optimalité A Nous allons dans un premier temps classer tous les plans connexes 2 x 2, 2 x 3, 2 x 4 et 3 x 3 selon le critère d'optimalité A. Dans un deuxième temps, nous donnerons quelques généralités concernant la classification des plans connexes a x ò par rapport au critère d'optimalité A. Nous rappelons que le critère d'optimalité A est défini comme suit: 44 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations... min [trace V] avec V = A(X'X + HH)"1 A'. 3.3.1 Classification des plans connexes 2x2 Nous avons vu dans la section 3.2 que si l'on ajoute une observation à un plan minimal connexe 2 x 2, on obtient un plan complet 2x2. Nous avons donc deux valeurs pour la trace de V: 1. trace de V pour un plan rninimal connexe 2x2 = 4 2. trace de V pour un plan complet 2x2 = 2. 3.3.2 Classification des plans connexes 2x3 Nous avons vu qu'il existe 6 plans connexes 2x3 avec 5 observations. Pour ces 6 plans, la trace de V vaut 5.5. Ces plans se trouvent dans la table 3.1. Si l'on ajoute une 6ème observation, on obtient un plan complet 2x3. Nous avons donc trois valeurs pour la trace de V, compte tenu que l'on ne considère que la trace de V pour les plans minimaux connexes ^-optimaux (pour la définition d'un plan A-optimal, voir la sous-section 2.3.6): 1. trace de V pour un plan minimal connexe 2x3 ^-optimal = 8 2. trace de V pour un plan connexe 2x3 avec 5 observations = 5.5 3. trace de V pour un plan complet 2x3 = 3.67. 3.3.3 Classification des plans connexes 2x4 Nous savons qu'il existe 24 plans connexes 2x4 avec 6 observations. La classification selon le critère de la trace nous donne deux groupes de 12 plans. 3.3. Caractérìsation et classifìc&tion des pians connexes... 45 Groupe 1 Ce groupe comprend les plans dont tous les contrastes élémentaires sont directement estimables. La trace de V est égale à 11. On trouve ces plans dans la table 3.7. Table 3.7: Plans connexes 2x 4 avec 6 ol Dservî itic 1 3 1 2 1 1 1 1 1 4 1 4 1 4 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1 3 1 3 2 2 2 2 1 4 1 4 2 3 2 3 2 1 2 1 2 4 2 4 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 i 3 1 3 1 4 1 4 1 4 1 4 2 1 2 2 2 2 2 3 2 4 2 3 2 4 2 4 Groupe 2 Ce groupe contient les plans dont une différence n'est pas direc- tement estimable. La trace de V vaut 12 et on trouve ces plans dans la table 3.8. Plans connexes 2x4 avec 6 observations: trace = 12 11 11 12 12 13 14 2 2 2 1 2 3 2 2 2 4 2 3 Table 3.8: Plans ( 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 1 2 2 2 3 2 4 2 4 46 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations... 11 11 11 11 12 12 13 13 14 14 14 14 2 1 2 2 2 1 2 2 23 23 22 23 24 24 23 24 11 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 2 1 2 1 2 1 2 1 22 22 22 23 24 23 24 24 Si nous ajoutons une observation à ces plans, nous obtenons 8 plans connexes 2x4 avec 7 observations. Ils ont tous une trace de V égale à 8.67. Ils sont représentés dans la table 3.3. Si l'on ajoute une 8ème observation, on obtient un plan complet 2x4. Nous avons alors les quatre valeurs de trace suivantes: 1. trace de V pour un plan minimal connexe 2x4 /!-optimal = 14 2. trace de V pour un plan connexe 2x4 .A-optimal avec 6 observations = 11 3. trace de V pour un plan connexe 2x4 avec 7 observations = 8.67 4. trace de V pour un plan complet 2x4 = 6.5. 3.3.4 Classification des plans connexes 3x3 Nous avons vu qu'il existe 78 plans connexes 3x3 avec 6 observations. La classification selon le critère d'optimalité A nous donne trois groupes. Groupe 1 Ce groupe comprend 6 plans dont toutes les différences sont direc- tement estimables et qui sont équilibrés (2 observations pour chaque niveau 3.3. Caractérisation et classification des plans connexes... 47 de facteurs). La trace de V pour ces 6 plans est égale à 8. us sont représentés dans la table 3.9. Plans connexes 3x3 avec 6 observations: trace = 8 Table 3.9: Plans ( 1 1 1 2 1 3 1 3 2 2 2 1 2 3 2 3 3 1 3 1 3 2 3 2 1 1 1 1 1 3 1 2 2 1 2 1 2 2 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 1 3 3 3 3 Groupe 2 Ce groupe contient 36 plans dont toutes les différences sont direc- tement estimables mais qui ne sont pas équilibrés. La trace de V pour ces 36 plans vaut 9. La table 3.10 les regroupe. Table 3.10: Plans connexes 3x 3 avec 6 ol bserv; atk 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 3 1 1 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 48 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations... 11 12 13 13 13 13 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 22 22 23 23 2 3 2 3 3 1 3 2 33 33 33 33 12 11 11 12 13 13 12 13 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 23 23 32 32 3 2 3 1 3 3 3 3 12 12 12 12 2 1 2 2 2 1 2 1 22 23 22 22 3 1 3 1 2 3 2 3 3 2 3 2 3 1 3 2 33 33 32 33 11 11 11 11 12 12 12 13 2 1 2 1 13 2 1 2 2 2 2 2 2 3 1 23 23 32 32 3 2 3 1 3 3 3 3 11 11 11 11 2 1 2 1 2 1 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 33 33 32 33 3.3. Caractérisation et classification des plans connexes... 49 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 3 1 3 3 1 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 3 1 2 3 3 3 3 2 3 2 3 2 1 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 Groupe 3 Ce groupe contient 36 plans dont une différence n'est pas directe- ment estimable. La trace de V pour ces 36 plans vaut 10.5. La table 3.11 les regroupe. Table 3.11: Plans connexes 3x3 avec 6 observations: trace = 10.5 1 1 1 3 1 2 1 1 1 3 2 1 1 3 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 3 1 2 3 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 3 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 3 2 2 3 32 33 33 33 50 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations... 12 11 11 11 2 1 12 13 13 2 2 2 2 2 1 2 1 23 23 22 23 3 1 3 2 3 1 3 1 33 33 32 32 11 11 11 11 13 12 2 1 12 2 1 2 1 2 2 2 1 22 22 23 23 3 1 3 1 3 2 3 1 33 33 33 32 12 11 11 11 13 12 12 12 2 1 2 1 13 13 2 2 2 3 2 1 2 3 3 1 3 1 2 3 3 1 32 33 32 32 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 2 3 1 3 2 3 1 3 3 3 3 3 3 11 13 11 12 13 2 1 13 13 22 22 22 22 3 1 3 1 2 3 2 3 3 2 3 2 3 1 3 1 33 33 33 33 3,3. Caractérisation et classification des plans connexes... 51 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 3 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 1 3 2 2 1 3 2 1 2 2 2 3 2 1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 2 3 2 3 2 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 Il existe 36 plans connexes 3x3 avec 7 observations. La classification selon le critère d'optimalité de la trace nous donne deux groupes. Groupe 1 Ce groupe comprend 18 plans dont toutes les différences sont di- rectement estimables et les cellules vides restantes ne se trouvent ni sur la même ligne ni sur la même colonne, c'est-à-dire qu'elles sont à des niveaux différents pour chaque facteur. La trace de V pour ces 18 plans est égale à 6.4. Ces plans se trouvent dans la table 3.12. Table 3.12: Plans connexes 3x3 avec 7 observations: trace = 6.4 1-H 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 33 32 33 33 52 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations... 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 1 3 1 3 1 3 3 3 3 3 2 3 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 2 1 1 3 1 3 2 3 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 2 3 2 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 2 2 3 2 3 3 2 3 1 3 3 3 3 Groupe 2 Ce groupe comprend 18 plans dont toutes les différences sont di- rectement estimables mais où les cellules vides restantes se trouvent soit sur la même ligne soit sur la même colonne. La trace de V pour ces 18 plans est égale à 7. Ces plans se trouvent dans la table 3.13. 3.3. Caractérisation et classification des pians connexes... 53 Table 3.13: Plans connexes 3x3 avec 7 observations: trace = 7 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 1 2 3 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 3 3 3 11 11 12 13 12 13 13 2 1 13 2 1 2 2 2 2 23 23 23 23 3 1 3 1 3 1 3 1 32 32 32 32 33 33 33 33 11 11 12 11 12 13 13 12 13 2 1 2 1 13 2 1 2 2 2 2 2 1 22 23 23 22 2 3 3 1 3 2 2 3 33 33 33 32 11 11 12 11 12 12 2 1 12 13 2 1 2 2 2 1 22 22 23 22 3 1 3 1 3 1 2 3 32 32 32 31 33 33 33 32 54 L'effet de ì'addìtion d'une ou plusieurs observations... 11 11 12 2 1 13 2 2 2 2 2 3 2 3 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 Il existe 9 plans connexes 3x3 avec 8 observations. Ils ont tous une trace de V égale à 5. Ils sont représentés dans la table 3.6. Si l'on ajoute une 9ème observation, on obtient un plan 3x3 complet. Nous avons alors les cinq valeurs de trace suivantes: 1. trace de V pour un plan minimal connexe 3x3 ^-optimal = 12 2. trace de V pour un plan connexe 3x3 .A-optimal avec 6 observations = S 3. trace de V pour un plan connexe 3x3 A-optimal avec 7 observations = 6.4 4. trace de V pour un plan connexe 3x3 avec 8 observations = 5 5. trace de V pour un plan complet 3x3 = 4. 3.3.5 Quelques généralités sur Ia classification des plans a x b connexes La classification est la même que pour les plans minimaux connexes a x 6. On peut donc énoncer le théorème suivant: Théorème 3.1 Les plans les meilleurs sont ceux dans lesquels tous les con- trastes élémentaires sont directement estimables. Puis viennent les plans dans lesquels un contraste élémentaire n'est pas directement estimable; encore après viennent ceux dans lesquels deux contrastes élémentaires ne sont pas directement estimables et ainsi de suite. 3.4. Conséquences de l'addition de ces observations 55 Pour les plans 3x3 dans lesquels tous les contrastes élémentaires sont direc- tement estimables, il faut encore distinguer ceux qui sont équilibres de ceux qui ne le sont pas. Ainsi un plan 3x3 A-optimal est un plan équilibré dans lequel tous les contrastes élémentaires sont directement estimables. En ce qui concerne les plans a x 6 avec o + b observations, on peut énoncer le théorème suivant pour a -fi 3: Théorème 3.2 Les plans a xb avec a + b observations A-optimaux sont les plans pour lesquels tous les contrastes élémentaires sont directement estima- bles et les plans 4x4 qui contiennent des boucles de longueur 8. 3.4 Conséquences de l'addition de ces observations Nous savons qu'un plan est A-optimal quand la trace de la matrice des covari- ances V est minimale. Or il est clair que nous ne pouvons pas tout minimiser à la fois. Il faut faire un choix entre plus d'information et moins de coût. Et ce choix dépend du type d'expériences, des moyens engagés dans l'expérience, du temps à disposition, etc.. Nous avons en fait trois conséquences principales de l'addition d'observations à un plan minimal connexe. La première conséquence est d'ordre mathématique. Nous remarquons dans la section 3.3 que plus l'on ajoute d'observations à un plan minimal connexe, plus la valeur de la trace de V diminue pour atteindre sa valeur minimale quand le plan est complet. La deuxième conséquence est d'ordre économique. Il va de soi que des ob- servations supplémentaires vont accroître les coûts de l'expérience. C'est là qu'intervient l'importance du genre d'expériences. Il existe des expériences où le coût du matériel engagé est quasi nul, d'autres où le dispositif mis en place coûte une fortune. Dans le premier cas, des observations supplémentaires ne vont pas accroître considérablement les coûts, tandis que dans le deuxième cas, même une seule observation supplémentaire peut être irréalisable. Et nous ne parlons pas des expériences très longues. 56 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations... La troisième conséquence est d'ordre statistique. En effet, l'addition d'observa- tions va rendre possible l'analyse de variance et le test de Fisher puisqu'il y aura alors des degrés de liberté pour le résidu. C'est donc une analyse coût/bénéfice que nous devons faire. Il va falloir mettre en balance les trois conséquences ci-dessus et évaluer le résultat. Nous ne pouvons malheureusement que donner des généralités puisque, comme nous l'avons déjà dit, le résultat de cette analyse coût/bénéfice va dépendre du type d'expériences, du temps et des moyens à disposition. Chapitre 4 Plans minimaux connexes à classification triple 4.1 Construction des plans minimaux connexes à classification triple Dans cette section, nous donnerons d'abord un algorithme de construction des plans minimaux connexes axbx (c+1) à partir des plans minimaux connexes axbxc, dans sa forme générale. Puis nous appliquerons cet algorithme pour construire les plans minimaux connexes 2x2x3. 4.1.1 Algorithme de construction des plans minimaux connexes a x b x (c + 1) Nous prenons un plan minimal connexe axbxc, avec a «,pour toutes les observations^", j,fc) et gardons telle quelle l'observation générée (s,tf,u). Pour obtenir tous les plans minimaux connexes a x b x (c 4- l), nous devons appliquer cet algorithme pour tous les plans minimaux connexes a x 6 x c et éliminer ceux que nous obtenons plusieurs fois. 4.1.2 Construction des plans minimaux connexes 2x2x3 Nous prenons un plan minimal connexe 2x2x2: 1 1 1 1 Ce plan contient les observations (1,1,1), (1,2,1), (2,1,1) et (1,1,2). Pour construire un plan minimal connexe 2x2x3, nous générons les 12 cellules de ce plan: (1,1,1), (1,2,1), (2,1,1), (2,2,1), (1,1,2), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,2), (1,1,3), (1,2,3),(2,1,3),(2,2,3). 4.1. Construction des plans minimaux connexes... 59 Ensuite nous prenons l'observation générée (1,1,1) avec les 4 observations du plan minimal connexe 2 x 2 x 2: (1,1,1), (1,2,1), (2,1,1) et (1,1,2). Pour obtenir le plan minimal connexe 2x2x3 correspondant, nous effectuons les changements d'indice nécessaires. Pour la première observation du plan minimal connexe 2 x 2 x 2, à savoir (1,1,1), k = 1; k est donc supérieur ou égal à u, par conséquent k = k +1 = 2. L'observation devient donc (1,1,2). Pour la deuxième observation du plan minimal connexe 2 x 2 x 2, à savoir (1,2,1), k = 1; k est donc supérieur ou égal à u, par conséquent k — k +1 = 2. L'observation devient donc (1,2,2). Pour la troisième observation du plan minimal connexe 2 x 2 x 2, à savoir (2,1,1), k = 1; k est donc supérieur ou égal à u, par conséquent k = fc + 1 = 2. L'observation devient donc (2,1,2). Pour la quatrième observation du plan minimal connexe 2 x 2 x 2, à savoir (1,1,2), k = 2; k est donc supérieur ou égal au, par conséquent k = fc + 1 = 3. L'observation devient donc (1,1, 3). Le plan minimal connexe 2x2x3 obtenu est donc le suivant: 1 1 1 1 1 Il contient les observations (1,1,1), (1,1,2), (1,2,2), (2,1,2) et (1,1,3). Nous procédons de la même manière pour les 12 observations générées et obtenons ainsi 12 plans minimaux connexes 2x2x3. Pour obtenir les 504 plans minimaux connexes 2x2x3, nous appliquons cet algorithme aux 58 plans minimaux connexes 2 x 2 x 2 et éliminons les plans que l'on rencontre plusieurs fois. 60 Plans minimaux connexes à classification triple 4.2 Caractérisation et classification des plans minimaux connexes à classification triple par rapport aux critères d'optimalité A et E Dans cette section, nous allons classer tous les plans minimaux connexes 2x2x2 et 2x2x3 selon les critères d'optimalité suivants: 1. critère d'optimalité A: minftrace V] 2. critère d'optimalité E: min[plus grande valeur propre de V] La matrice V, définie à la section 2.3.1, est égale à: V = A(X'X + H'H)_1A' où A est la matrice des contrastes, X la matrice du plan et H la matrice des contraintes. Puis nous donnerons pour chaque critère des généralités concer- nant les plans minimaux connexes a x b x c. 4.2.1 Classification des plans minimaux connexes 2x2x2 Nous allons tout d'abord classer les plans minimaux connexes 2x2x2 selon le critère d'optimalité A. Nous devons alors définir la matrice V, en sachant que pour les plans 2 x 2 x 2 la matrice des contrastes A est égale à: /01-10 00 0\ A= 0 0 0 1-10 0 \ 0 0 0 0 0 1-1, et la matrice des contraintes H est égale à: / 0 1 1 0 0 0 0\ H=OOOIlOO \ 0 0 0 0 0 1 1 / Une fois V calculée pour chaque plan, nous en prenons la trace et classons tous les plans minimaux connexes 2x2x2 par ordre croissant de la trace de V. 4.2. Caractérisation et classification des plans minimaux connexes... 61 Nous savons qu'il y a 58 plans minimaux connexes 2x2x2. Nous obtenons par cette classification 3 groupes différents. Groupe 1 Ce groupe comprend 2 plans symétriques avec une trace égale à 3. Ces plans se trouvent dans la table 4.1. Ils forment une classe d'équivalence. Plans minimaux connexes 2x2x2 avec une trace — 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 Groupe 2 Ce groupe comprend 32 plans avec une trace égale à 6. Ces plans se trouvent dans la table 4.2- Ils forment quatre classes d'équivalence. Plans minimaux connexes 2x2x2 avec une trace = 6 Table 4.1: 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 Table 4.2: 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 62 Pians minimaux connexes à classification triple 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 Groupe 3 Ce groupe comprend 24 plans avec une trace égale à 8. Ces plans se trouvent dans la table 4.3. Ils forment trois classes d'équivalence. Plans minimaux connexes 2x2x2 avec une trace = S Table 4.3: 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 i—i 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 4.2. Caractérisation et classification des plans minimaux connexes... 63 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 Nous classons maintenant tous les plans minimaux connexes 2x2x2 selon le critère d'optimalité E. Nous obtenons ainsi 4 groupes différents. Groupe 1 Ce groupe comprend 2 plans symétriques avec une valeur propre égale à 1. Ces plans se trouvent dans la table 4.4. Us forment une classe d'équivalence. Table 4.4: Plans minimaux connexes 2x2x2 avec une valeur propre = 1 111 12 1 2 2 1 2 11 12 2 112 2 12 2 2 2 Groupe 2 Ce groupe comprend 24 plans avec une valeur propre égale à 3.41. Ces plans se trouvent dans la table 4.5. Hs forment trois classes d'équivalence. Table 4.5: Plans minimaux connexes 2x2x2 avec une valeur propre = 3.41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 64 Plans minimaux connexes à classification triple 111 211 121 211 121 122 211 112 211 212 221 122 122 222 122 212 111 121 121 121 121 122 211 112 211 212 221 122 212 222 212 212 111 221 111 221 211 112 121 112 221 122 221 212 112 222 112 222 111 121 211 121 121 221 221 221 112 212 112 112 212 222 212 122 111 111 211 111 121 211 221 211 122 212 122 112 222 222 222 122 Groupe 3 Ce groupe comprend 8 plans avec une valeur propre égale à 4. Ces plans se trouvent dans la table 4.6. Ils forment une classe d'équivalence. Table 4.6: Plans minimaux connexes 2x2x2 avec une valeur propre = 4 12 1 111 111 211 211 112 121 112 221 122 221 212 222 212 122 222 111 121 111 221 211 112 121 122 221 122 211 212 212 222 112 222 4,2. Caractérisation et classification des plans minimaux connexes... 65 Groupe 4 Ce groupe comprend 24 plans avec une valeur propre égale à 6.37. Ces plans se trouvent dans la table 4.7. Ils forment trois classes d'équivalence. Table 4.7: Plans minimaux connexes 2x2x2 avec une valeur propre = 6.37 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 66 Plans minimaux connexes à classification triple 4.2.2 Classification des plans minimaux connexes 2x2x3 Nous allons tout d'abord classer les plans minimaux connexes 2x2x3 selon le critère d'optimalité A. Puis nous les classerons selon le critère d'optimalité E. Nous devons définir la matrice V, en sachant que pour les plans 2 x 2 x 3 la matrice des contrastes A est égale à: A = /01-10 00 0 0 \ 0 0 0 1-10 0 0 0 0 0 0 0 1-1 0 0 0 0 0 0 1 0-1 voo oo oo î-i y et la matrice des contraintes H est égale à: H = /"01100000 0 0 0 110 0 0 V o o o o o î î î Etant donné qu'il y a 504 plans minimaux connexes 2 x 2 x 3, il serait fasti- dieux de les classer tous. C'est pourquoi nous allons représenter complètement uniquement le groupe qui a la plus petite trace. Pour les autres groupes, nous nous contenterons de donner un exemple, les généralités du paragraphe suivant nous permettant de trouver les autres plans. Le critère de la trace nous donne 6 groupes différents. Groupe 1 Ce groupe comprend 24 plans avec une trace égale à 7. Ces plans se trouvent dans la table 4.8. Ils forment deux classes d'équivalence. 4.2. Caractérisation et classification des plans minimaux connexes... 67 Table 4.8: 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 3 2 1 3 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 2 1 3 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 3 2 2 3 Plans minimaux connexes 2x2x3 avec une trace = 7 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 2 1 3 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 3 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 1 3 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 2 1 3 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 2 1 3 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 3 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 3 2 2 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 3 2 2 3 Groupe 2 Ce groupe comprend 60 plans avec une trace égale à 10. Un 68 Plans minimaux connexes à classification triple exemplaire est donné à la table 4.9. Table 4.9: Exemplaire d'un plan minimal connexe 2x2x3 avec une (race = 10 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 3 Groupe 3 Ce groupe comprend 168 plans avec une trace égale à 12. Un exemplaire est donné à la table 4.10. Table 4.10: Exemplaire d'un plan minimal connexe 2x2x3 avec une trace — 12 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 3 Groupe 4 Ce groupe comprend 180 plans avec une trace égale à 14. Un exemplaire est donné à la table 4.11. Table 4.11: Exemplaire d'un plan minimal connexe 2x2x3 avec une trace = 14 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 2 1 3 Groupe 5 Ce groupe comprend 24 plans avec une trace égale à 18. Un exemplaire est donné à la table 4.12. 4.2. Caractérisation et classification des pians minimaux connexes... 69 Table 4.12: Exemplaire d'un plan minimal connexe 2x2x3 avec une trace = 18 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 3 Groupe 6 Ce groupe comprend 48 plans avec une trace égale à 20. Un exemplaire est donné à la table 4.13. Table 4.13: Exemplaire d'un plan minimal connexe 2x2x3 avec une trace = 20 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 3 Pour le critère de la valeur propre, nous obtenons 15 groupes différents. Nous procédons de la même manière que pour le critère de la trace. Groupe 1 Ce groupe comprend 24 plans avec une valeur propre égale à 3.85. Ces plans se trouvent dans la table 4.14. Ils forment deux classes d'équivalence. Table 4.14: Plans minimaux connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 3.85 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 1 1 3 2 2 3 70 Plans minimaux connexes à classification triple 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 1 1 3 2 2 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 2 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 Groupe 2 Ce groupe comprend 24 plans avec une valeur propre égale à 4.17. Un exemplaire est donné à la table 4.15. 4.2. Caractérisation et classification des plans minimaux connexes... 71 Table 4.15: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre= 4.17 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 3 Groupe 3 Ce groupe comprend 24 plans avec une valeur propre égale à 4.30. Un exemplaire est donné à la table 4.16. Table 4.16: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 4.30 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 3 Groupe 4 Ce groupe comprend 12 plans avec une valeur propre égale à 5. Un exemplaire est donné à la table 4.17. Table 4.17: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 5 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 3 Groupe 5 Ce groupe comprend 24 plans avec une valeur propre égale à 6.54. Un exemplaire est donné à la table 4.18. 72 Plans minimaux connexes à Classification triple Table 4.18: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre — 6.54 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 3 Groupe 6 Ce groupe comprend 48 plans avec une valeur propre égale à 7.09. Un exemplaire est donné à la table 4.19. Table 4.19: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 7.09 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 3 Groupe 7 Ce groupe comprend 48 plans avec une valeur propre égale à 7.39. Un exemplaire est donné à la table 4.20. Table 4.20: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 7.39 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 3 Groupe 8 Ce groupe comprend 48 plans avec une valeur propre égale à 7.59. Un exemplaire est donné à la table 4.21. 4.2. Caractérisât/on et classification des plans minimaux connexes... 73 Table 4.21: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 7.59 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 Groupe 9 Ce groupe comprend 24 plans avec une valeur propre égale à 8.41. Un exemplaire est donné à la table 4.22. Table 4.22: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 8.41 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 Groupe 10 Ce groupe comprend 48 plans avec une valeur propre égale à 9.08. Un exemplaire est donné à la table 4.23. Table 4.23: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 9.08 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 3 Groupe 11 Ce groupe comprend 12 plans avec une valeur propre égale à 9.47. Un exemplaire est donné à la table 4.24. 74 Pians minimaux connexes à classification triple Table 4.24: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 9.47 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 1 3 2 2 3 Groupe 12 Ce groupe comprend 48 plans avec une valeur propre égale à 9.51. Un exemplaire est donné à la table 4.25. Table 4.25: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2 x'3 avec une valeur propre = 9.51 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 Groupe 13 Ce groupe comprend 48 plans avec une valeur propre égale à 10.07. Un exemplaire est donné à la table 4.26. Table 4.26: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 10.07 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 2 1 3 Groupe 14 Ce groupe comprend 24 plans avec une valeur propre égale à 14.68. Un exemplaire est donné à la table 4.27. 4.2. Caractérisation et classification des plans minimaux connexes... 75 Table 4.27: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 14.68 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 3 Groupe 15 Ce groupe comprend 48 plans avec une valeur propre égale à 16.79. Un exemplaire est donné à la table 4.28. Table 4.28: Exemplaire d'un plan minimal connexes 2x2x3 avec une valeur propre = 16.79 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 3 4.2.3 Quelques généralités sur la classification des plans minimaux connexes a x b x c Pour les plans minimaux connexes 2 x 2 x 2, on obtient pour les deux critères les 2 mêmes plans respectivement 4-optimaux et i?-optimaux. Il s'agit des 2 plans symétriques 111 12 1 2 2 1 et 2 11 12 2 112 2 12 2 2 2 Les plans minimaux connexes 2 x 2 x 3 A- et _E-optimaux sont des plans dans lesquels apparaît l'un ou l'autre des 2 plans symétriques 2x2x2. 76 Pians minimaux connexes à classification triple Exemple 4.1 Voici un plan 2 x 2 x 3 A- et 22-optimal: 1 1 1 ou sous forme d'indices: 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 3 2 1 3 On remarque que si l'on supprime le deuxième niveau du troisième facteur, nous avons alors un des 2 plans symétriques 2x2x2: 1 1 1 1 On peut aussi le faire à l'aide des indices: en supprimant le deuxième niveau du troisième facteur, l'observation 112 disparaît et les observations 123 et 213 deviennent respectivement 122 et 212. Ce qui nous donne: 1 1 1 2 2 1 12 2 2 1 2 Pour le critère de la trace, la classification se fait dans cet ordre: 1. les plans ^4-optimaux 2. les plans dans lesquels tous les contrastes élémentaires sont directement estimables 4.2. Caractérisation et classification des pians minimaux connexes... 77 3. les plans dans lesquels tous les contrastes élémentaires sauf un sont directement estimables 4. les plans dans lesquels tous les contrastes élémentaires sauf deux sont directement estimables 5. ainsi de suite jusqu'à 2 contrastes élémentaires seulement directement estimables. Pour le critère de la valeur propre, la classification se fait dans le même ordre que pour le critère de la trace mais à l'intérieur de chaque groupe, il y a une sous-classification déterminée par le nombre de participations d'une cellule à l'estimation des contrastes. Ainsi, plus une cellule participe à l'estimation des contrastes, plus grande est la valeur propre du plan. Exemple 4.2 Voici deux plans minimaux connexes 2x2x2 ayant la même trace (=6) mais une valeur propre différente: 1 1 1 1 Dans ce plan tous les contrastes élémentaires sont directement estima- bles. Aucune cellule ne participe plus de deux fois à l'estimation des contrastes. La trace vaut 6 et la valeur propre vaut 3.41. 1 1 1 Dans ce plan tous les contrastes élémentaires sont directement estima- bles. La cellule 112 participe à trois estimations: »i — a2, ß\ — /¾ et Ti ~ 72- La trace vaut aussi 6 mais la valeur propre vaut 4. On peut faire une dernière remarque: la classification (selon les deux critères) est la même pour les plans minimaux connexes a x 6 x c que pour les plans minimaux connexes axcxò, 6xaxc, òxcxa, cxaxòetcxfexa. 78 Plans minimaux connexes à classification triple 4.3 L'effet de l'addition d'une ou plusieurs observations dans un plan minimal connexe à classification triple Si on ajoute une ou plusieurs observations à un plan minimal connexe axbxc sans répétition, cela aura pour effet de diminuer les valeurs de la trace de la matrice V. La section 4.4 traite des caractéristiques des plans connexes à classification triple selon le critère d'optimalité A. La question que l'on peut se poser est de savoir si le gain d'information suffit à compenser le coût qu'engendre une observation supplémentaire. Il y a toutefois un cas où la question ne se pose pas, c'est lorsque l'on veut faire une analyse de variance. En effet, le nombre de degrés de liberté pour le résidu est nul lorsque le plan est minimal connexe. Dans ce cas, nous pouvons faire l'analyse du plan uniquement si nous connaissons a priori les carrés moyens des erreurs (CMe)- Si nous ne les connaissons pas, nous devons alors ajouter au moins une observation afin de pouvoir calculer les carrés moyens des erreurs et par la suite le ratio F. 4.4 Caractérisation et classification des plans connexes à classification triple par rapport au critère d'optimalité A Nous allons commencer par donner une classification complète des plans con- nexes 2x2x2 sans répétition selon le critère d'optimalité A. Puis nous donnerons quelques généralités concernant la classification des plans connexes axbxc par rapport au critère d'optimalité A. 4.4. Caractérisation et cïassiûcation par rapport au critère A 79 4.4.1 Classification des plans connexes 2x2x2 Nous rappelons que le critère d'optimalité A est défini comme suit: critère d'optimalité A: min [trace V] avec V = A(X'X + ITH)-1A'. Pour un plan 2 x 2 x 2 la matrice des contrastes A est égale à: /01-10 0 0 0 \ A=OO 0 1-10 0 \ 0 0 0 0 0 1-1/ et la matrice des contraintes H est égale à: / 0 1 1 0 0 0 0 \ H= 0 0 0 110 0 \ 0 0 0 0 0 1 1 / PLANS CONNEXES 2x2x2 AVEC 5 OBSERVATIONS Nous savons qu'un plan minimal connexe 2x2x2 contient 4 observations et qu'il existe 58 plans minimaux connexes. Si nous ajoutons une observation, nous obtenons 56 plans ayant 5 observations. Ces plans sont tous connexes. La classification selon le critère de la trace nous donne 3 groupes. Groupe 1 Ce groupe comprend S plans .A-optimaux avec une trace égale à 2.625. Ce sont les plans minimaux connexes 2x2x2 symétriques auxquels on a ajouté une observation (n'importe où). Ces plans se trouvent dans la table 4.29. 80 Plans minimaux connexes à classification triple Table 4.29: Plans connexes ^4-optimaux 2x2x2 avec 5 observations et trace = 2.625 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 Groupe 2 Ce groupe comprend 24 plans connexes avec une trace égale à 3.75. Ces plans ne contiennent pas les plans minimaux connexes symétriques 2x2x2. Ils se trouvent dans la table 4.30. Table 4.30: Plans connexes 2x2x2 avec 5 observations et trace = 3.75 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 4.4. Caractérisation et classification par rapport au critère A 81 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Groupe 3 Ce groupe comprend 24 plans connexes avec une trace égale à 4.5. Ces plans ne contiennent pas les plans minimaux connexes symétriques 2x2x2. Ils se trouvent dans la table 4.31. Table 4.31: Plans connexes 2x2x2 avec 5 observations et trace = 4.5 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 82 PJans minimaux connexes à classification triple 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 PLANS CONNEXES 2x2x2 AVEC 6 OBSERVATIONS Si nous ajoutons deux observations à un plan minimal connexe 2x2x2, nous obtenons 28 plans connexes avec 6 observations. La classification selon le critère de la trace nous donne trois groupes. Groupe 1 Ce groupe comprend 12 plans ^-optimaux avec une trace égale à 2.25. Ce sont les plans minimaux connexes 2x2x2 symétriques auxquels on a ajouté deux observations (n'importe où), us se trouvent dans la table 4.32. 4.4. Caractérisation et classification par rapport au critère A 83 Table 4.32: Plans connexes ^-optimaux avec 6 observations et trace = 2.25 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2. 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Groupe 2 Ce groupe comprend 12 plans connexes avec une trace égale à 2.6667. Ces plans ne contiennent pas les plans minimaux connexes symétriques 2x2x2. Ils se trouvent dans la table 4.33. Table 4.33: Plans connexes 2x2x2 avec 6 observations et trace = 2.6667 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 112 112 122 212 212 122 222 222 84 Plans minimaux connexes à classification triple 111 111 121 211 211 121 221 221 112 112 112 112 122 122 122 122 212 212 212 212 222 222 222 222 111 111 121 111 121 121 211 211 211 221 221 221 112 112 122 112 122 122 212 212 212 222 222 222 Groupe 3 Ce groupe comprend 4 plans connexes avec une trace égale à 3. Ces plans ne contiennent pas les plans minimaux connexes symétriques 2x2x2. Hs se trouvent dans la table 4.34. Table 4.34: Plans connexes 2x2x2 avec 6 observations et (race = 3 111 12 1 111 111 121 211 121 211 211 221 221 221 122 112 112 112 212 122 212 122 222 212 222 222 PLANS CONNEXES 2x2x2 AVEC 7 OBSERVATIONS Si nous ajoutons trois observations à un plan minimal connexe 2x2x2, nous obtenons 8 plans connexes avec 7 observations. La classification selon le critère de la trace nous donne un groupe comprenant 8 plans connexes A-optimaux dont la trace vaut 1.875. Ce sont les plans mini- maux connexes 2x2x2 symétriques auxquels on a ajouté trois observations (n'importe où). Ces plans se trouvent dans la table 4.35. 4.4. Caractérisation et classification par rapport au critère A 85 Table 4.35: Plans connexes .A-optimaux avec 7 observations et trace = 1.875 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 PLAN 2x2x2 COMPLET Si nous ajoutons quatre observations à un plan minimal connexe 2x2x2, nous obtenons le plan 2x2x2 complet. Sa trace vaut 1.5. 4.4.2 Quelques généralités sur la classification des plans axbxc connexes Nous avons vu que pour les plans 2 x 2 x 2, les plans .A-optimaux sans répétition sont les plans minimaux connexes symétriques auxquels on a ajouté une ou plusieurs observations. En ce qui concerne les catégories supérieures (2 x 2 x 3,2 x 3x3,... ), les plans A- optimaux sont les plans dans lesquels on retrouve le plus grand nombre de plans minimaux connexes symétriques 2x2x2. Lorsque le nombre d'observations ne permet pas d'avoir un nombre fini de plans symétriques, les plans yl-optimaux sont ceux qui contiennent en plus des demi-plans symétriques. On ne retrouve naturellement pas les plans symétriques tels quels, il faut adapter les indices puisque le plan symétrique est un plan 2x2x2. On va illustrer cette propriété 86 Pians minimaux connexes à classification triple par quelques exemples. Exemple 4.3 Dans la catégorie des plans 2x2x3 avec 6 observations, le plan suivant est .A-optimal: 1 1 1 1 1 1 ou sous forme d'indices: 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 2 1 3 En effet, si l'on ramène le plan à la catégorie 2 x 2 x 2, les deux observations 123 et 213 deviennent 122 et 212. Il contient alors le plan minimal connexe symétrique 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 et le demi-plan symétrique 1 1 2 2 2 2 Exemple 4.4 Dans la catégorie des plans 2x2x3 avec 8 observations, le plan suivant est A-optimal: 4.4. Caractérisation et classification par rapport au critère A 87 1 1 1 1 1 1 1 1 ou sous forme d'indices: 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 2 1 3 En effet, si l'on ramène le plan à la catégorie 2 x 2 x 2, les deux observations 123 et 213 deviennent 122 et 212. Il contient alors les deux plans minimaux connexes symétriques 111 12 1 2 2 1 2 11 1 2 2 et 1 1 2 2 12 2 2 2 Exemple 4.5 Dans la catégorie des plans 2x3x3 avec 7 observations, le plan suivant est yl-optimal: 1 1 1 1 1 ou sous forme d'indices: 88 Plans minimaux connexes à classification triple En effet, dans un premier temps, on ramène le plan à la catégorie 2x2x3. Le plan devient: 1 1 1 1 1 1 1 ou sous forme d'indices: Dans un devient: deuxième temps, on le ramène à la catégorie 2x2x2. Le plan 1 1 1 1 1 1 1 ou sous forme d'indices: 4.5. Programme informatique... 89 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 Il contient ainsi Ie plan minimal connexe symétrique 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 et le demi-plan symétrique 1 1 1 2 2 1 4.5 Programme informatique pour la construction des plans minimaux connexes à classification triple Le programme AXBXC donne tous les plans minimaux connexes de la catégorie axbxc choisie par l'utilisateur. H indique aussi le nombre de plans minimaux connexes qui existent. Comme le nombre de plans minimaux connexes à classification triple augmente très rapidement quand a, b ou c deviennent grands, le choix de la catégorie a x b x c a été volontairement limité. Le programme offre donc à l'utilisateur les possibilités suivantes: • plans minimaux connexes 2x2x2 90 Plans minimaux connexes à classification triple • plans minimaux connexes 2x2x3 Pour exécuter le programme, l'utilisateur doit entrer son nom, c'est-à-dire AXBXC. Il se trouvera alors devant deux choix possibles. Il entrera le chiffre correspondant à la catégorie désirée. Les plans construits et leur nombre seront imprimés dans un fichier portant le nom de la catégorie choisie suivi de l'extension " .RES". La forme de représentation des plans est celle des indices. Le programme AXBXC ainsi qu'un exemple d'impression figurent en Annexe 3. Chapitre 5 Une approche graphique des plans minimaux connexes Dans ce chapitre, nous allons commencer par donner les bases élémentaires des notations et définitions de la théorie des graphes. Puis nous appliquerons cette théorie aux plans d'expériences minimaux connexes à classification double et aux plans connexes a x b avec a + 6 observations. Finalement, nous présenterons certains résultats, dus à Butz (1982), qui per- mettent de savoir si un plan minimal à classification triple est connexe ou non. Nous commencerons par un cas particulier (c'est-à-dire répondant à certaines contraintes) puis nous traiterons le cas général. 92 Une approche graphique des pians minimaux connexes 5.1 La théorie des graphes Cette section contient un bref résumé des notations et définitions de la théorie des graphes qui nous seront utiles pour la suite de ce chapitre. Un graphe est un schéma constitué d'un ensemble fini et non vide de som- mets et d'un ensemble fini d'arêtes. L'ensemble des sommets du graphe est noté V et chaque arête est désignée par une paire non orientée {v\, v2} où U1 et V2 € V. L'ensemble des arêtes du graphe est noté E et on détermine ainsi un graphe par G = [V, E]. Une chaîne r allant de V\ à vt dans un graphe G = [V, .E] est une suite de sommets appartenant à V et d'arêtes appartenant à E, c'est-à-dire r = [vi,ei,w2lc2i ...,Ci-ItUt] où e,- = {u,-,w,-+i} pour t = 1,2,...,(- I. Vi est appelé le sommet initial et vt le sommet terminal de la chaîne r. Un cycle est une chaîne fermée, c'est-à-dire où le sommet initial et le sommet terminal sont les mêmes: Vi = Vt Un cycle (ou un chemin) est dit élémentaire s'il ne contient strictement aucun cycle (ou chemin) ayant mêmes sommets extrémaux. Un graphe G = [V, E] est appelé un graphe connexe si pour toute paire u, v* € V de deux sommets distincts, il existe une chaîne e = {v, u*} qui les relie. G* = [V*, E*] est un sous-graphe de G = [V, E] si V* Ç V et E* C E; si V* = V et E* ï E, G" = [V*, E*] est un graphe partiel de G = [V, E]. Une composante connexe d'un graphe G est un sous-graphe connexe de G maximal, c'est-à-dire contenant tous les sommets liés entre eux. Le nombre de composantes connexes d'un graphe G est noté par c(G). 5.1. La théorie des graphes 93 Un arbre est un graphe connexe qui ne contient pas de cycle. G = [VyE\ est un graphe biparti si l'ensemble des sommets V peut être divisé en deux sous-ensembles non vides V1 et V2 (c'est-à-dire Vi U Vi = V, Vj D V2 = 0), de sorte que chaque arête appartenant à E relie un sommet de V1 à un sommet de V2. Un graphe orienté G = [V, E\ consiste en un ensemble fini de sommets V et en une famille finie de paires orientées {vi,v2} avec Vit v2 Ç. V. Les éléments de E sont appelés des arcs; U1 est le sommet initial et v2 le sommet terminal de l'arc e = (V1, V2). e est orienté de V\ vers V2. Une boucle est un arc dont le sommet initial et le sommet terminal sont identiques. Toutes les notions introduites pour les graphes (chaîne, cycle, connexité,...) sont aussi valables pour les graphes orientés. Pour une chaîne r = [^1,6!,...,¾-!, vt] dans un graphe orienté G = [V, E], on note par E(r+) la famille d'arcs qui apparaissent dans r et qui sont orientés dans la direction de T (c'est-à-dire les arcs e, dans r qui sont orientés de v„ vers va+i, 1 < s < t). La famille des arcs qui apparaissent dans r et qui ne sont pas orientés dans la direction de r sont notés par E(T-) (c'est-à-dire les arcs e„ dans r avec e„ = {va+i, va], 1 < s < t). 94 Une approche graphique des pians minimaux connexes 5.2 Plans minimaux connexes à classification double On peut utiliser la théorie des graphes pour représenter la connexité des plans à classification double. Cette représentation a été utilisée par Bose (1947) pour introduire la notion de connexité de ces plans. Soit un plan à deux facteurs, l'un à a niveaux, l'autre à b niveaux. Nous représentons ces niveaux par deux ensembles de sommets d'un graphe. Nous relions les sommets i du premier ensemble et j du deuxième ensemble si le traitement (i,j) est appliqué. Les arêtes correspondantes sont nommées au moyen des variables aléatoires Yi j. Le graphe est un graphe biparti car aucune arête ne relie les sommets du premier ensemble entre eux, ni les sommets du deuxième ensemble entre eux. Pour tout plan minimal connexe, le graphe correspondant est un arbre. Ainsi les sommets i\ et i2 (ou J1 et J2) ne sont reliés que par un seul chemin élémentaire qui, de plus, est de longueur paire. L'estimateur de Gauss-Markov de a,t — a,-3 (ou /^1 — ßj2 ) s'obtient en parcourant ce chemin, plus précisément on somme les variables aléatoires successives en faisant alterner les signes + et -. Exemple 5.1 Soit le plan 3x3 suivant: Pi /¾ & 1 1 1 1 1 et le graphe correspondant: 5.2. Plans minimaux connexes à classification double 95 Le graphe est un arbre. Par conséquent le plan est minimal connexe. Les différents estimateurs sont: a3 -di = ^32 — Y22 + Y21 cf3 ¦ -d2 = ^32 — Y22 a2 ¦ -O1 = Yn -Y11 A -ßi = Y33 — ^32 + ^22 /¾ ~ß2 = Y33 — Y32 /¾ ~ßl = Y22 -Yn Comme les variables aléatoires Y^ sont non corrélées et ont pour variance a2, l'estimateur de Gauss-Markov de a^ — 0¾ a pour variance Ct2Z1111 où Zj111 désigne la longueur du chemin liant iy à îj- On trouve la trace de V en sommant les variances des différents estimateurs de Gauss-Markov. Ainsi dans l'exemple 5.1, on a 4 chemins de longueur 2 et 2 chemins de longueur 4. La trace est donc égale à: trace Ct2V = (4 x 2 + 2 x 4) ct2 = 16ct2 Cette valeur est minimale lorsque tous les contrastes élémentaires sont direc- 96 Une approche graphique des plans minimaux connexes tement estimables, c'est-à-dire quand les chemins sont tous de longueur 2. On peut donc donner le théorème suivant: Théorème 5.1 Pout tout plan minimal connexe a x b, on a comme valeur minimale pour la trace Cr2V: 2a2{Cl + Cl) où C désigne le nombre de combi- naisons possibles. 5.3 Plans connexes a x b avec a + ò observations Pour les plans connexes a x b comprenant a + 6 observations, le graphe biparti représentatif ne comporte qu'un cycle élémentaire. Deux sommets ï'i et i2 (ou h et h) ne soit liés que par deux chemins élémentaires au plus. Supposons qu'il y ait deux chemins. L'estimateur de Gauss-Markov du con- traste élémentaire Oy1 — <*,-, (ou ,Oj1 — ,Oj1 ) est dans ce cas combinaison linéaire des estimateurs associés à chacun de ces deux chemins. Il suffit de calculer les variances et la covariance de ces deux estimateurs pour en déduire l'estimateur Oi1 -Oi3 (OU ßh -ßh). Exemple 5.2 Soit le plan 2x3 suivant: ßi fo At 1 1 1 1 1 et le graphe correspondant: 5.3. Pìans connexes a x b avec a-\-b observations 97 Pour a2 — «i, on dispose de deux chemins élémentaires de longueur 2. Les deux estimateurs associés sont non corrélés puisque ces deux chemins n'ont pas d'arêtes en commun. On a donc pour estimateur: o?2 - a, = 1(Y21 - Y11) + 1(Y22 - Y12) Pour /¾ — ßi, on dispose de deux chemins élémentaires de longueur 2. Les deux estimateurs associés sont non corrélés puisque ces deux chemins n'ont pas d'arêtes en commun. On a donc pour estimateur: 02 -ßi = \(Y22 -Y21) + \{YU - Yu) Pour /¾ — JO1, deux chemins élémentaires lient les sommets j\ = 3 et J2 = 1. Ils ont pour estimateurs associés: Yz3 — Y21 et Y23 — Y22 + Yi2 — Yi1 Comme les deux chemins ont une arête en commun (la variable aléatoire Y23 figure dans ces deux estimateurs), les estimateurs associés sont donc corrélés. Ils ont pour variances 2<72 et 4<72 respectivement et comme covariance a2. 98 Une approche graphique des plans minimaux connexes Soit Z = Q-(Y23 — Y2i)-^b(Y23 -^22 + ^12 -^u)- Calculons û et b pour que Z soit l'estimateur de Gauss-Markov de ß3 — ß\. Cet estimateur doit être sans biais; on a donc nécessairement 0 + 6 = 1. Sa variance ""¦*-"M«»][îi][;] = a2(2a2 + 2a&+4&2) doit être minimale. Déterminons donc a et 6 de sorte que Vax Z soit minimale sous la contrainte a -J- b — 1. Pour ce faire, nous utilisons la méthode des multiplicateurs de Lagrange. On doit alors résoudre le système: 4a+26 + À = O 20 + 8& + A = O o + ò = 1 Des deux premières équations on tire 2a —6b = O, d'où Ò = |. En remplaçant dans la troisième équation, on trouve a = | et b = j. L'estimateur de Gauss-Markov de /¾ — ß\ est donc égal à: Â - Â = \{Y** - Y21) + j(K23 - K22 + K12 - V11) Pour ß3 — /¾, on dispose de deux chemins élémentaires qui lient les sommets j\ = 3 et j2 = 2. Us ont pour estimateurs associés: Y23 — Y22 et Yîz — V2I + Y\\ — Yï2 5.3. Plans connexes çtxb avec a+b observations 99 Comme les deux chemins ont une arête en commun (la variable aléatoire Y23 figure dans ces deux estimateurs), les estimateurs associés sont donc corrélés. Ils ont pour variances 2c2 et 4 CQFD p + q — 2n i\ et i2 (ou j\ et J2) appartiennent tous deux au cycle. Deux chemins disjoints les relient et les estimateurs associés sont non corrélés. Si p est la longueur du premier chemin et q celle du deuxième chemin, on a alors pour variance de l'estimateur de Gauss-Markov: Var = ^'*+i&r>'<* - W -a2 p + q Démonstration Les deux estimateurs associés ont pour variance p et q respectivement. Comme ils sont non corrélés, leur covariance est nulle. L'estimateur de 102 Une approche graphique des plans minimaux connexes Gauss-Markov correspondant est une combinaison linéaire des estima- teurs associés à chacun des deux chemins. Sa variance est: VarZ = -(;)+(î)-(s)" Ces deux vecteurs sont linéairement dépendants (puisque identiques). Le plan est donc connexe puisque le graphe G est connexe et qu'il contient 2 — 1 = 1 cycle. Il est en outre minimal connexe puisqu'il contient a + b + c — 2 — 2 + 2 + 2-2 = 4 observations. 108 Une approche graphique des pians minimaux connexes 5.4.2 Cas général Nous pouvons maintenant considérer le cas des plans à classification triple pour lesquels Ia contrainte £ n-ijk = 1 n'est plus posée. Ces plans sont donnés par leurs matrices d'incidence Nk, k = 1,2,..., c, de dimension a x b. On peut représenter ces plans par une matrice M de dimension a x 6, où m,j- est un ensemble d'éléments appartenant à k — 1,2,..., c: m ij = {k\nijk =1}, pour tout i et j (i ~ 1,2,. ..,a et j — 1,2,. ..,6). On définit ensuite par J l'ensemble de tous les indices i pour lesquels J^l=i n.ijt = 0. On note par s le nombre d'éléments contenus dans cet ensemble J et on classe les indices i par ordre croissant: J = {*p Ip= i,2,...,s} où i\ < ii < ... < ie. A l'aide de ces quelques définitions, on construit la matrice W suivante: Wa = min{k I k £ m^} si m,-;- ^ 0 c+p si m,j- = 0,j = l,i = ip € J 0 si vriij = 0,j > 1 A chaque pian a x 6 x c, on associe alors le graphe orienté G suivant: G = \y,js\ V = {1,2,. ..,c+s] E = S1 U E2 ou Ei = {(k, k*)o I Bi, j avec k* = W1J < fc e m;j} -¾ = {(k, k*)j j 3i auec k — u>;;- > 0,fc* = Wn, j > 2} 5.4. Plans minimaux connexes à classification triple 109 Nous avons encore besoin d'un autre graphe pour vérifier la connexité d'un plan axbxc. Il s'agit du graphe (non orienté) G' défini de la façon suivante: G' = [V,E1) V = {1,2,...,6} E' = {{j, f] J 3i avec m^- ^= 0, j > j* — min{l \ mu ^ 0}} Nous rappelons ici que le nombre de composantes connexes d'un graphe G se note par c(G). Le théorème suivant donne une condition nécessaire et suffisante pour vérifier la connexité d'un plan axbxc. Théorème 5.3 Considérons un plan à classification triple et les deux graphes G et G'. Ce plan est connexe si et seulement si le graphe orienté associé G est connexe et qu'il contient b — c(G') cycles dont les vecteurs sont indépendants. Pour la démonstration, cf Butz (1982). Nous pouvons appliquer ce théorème à des plans pour lesquels nous voulons vérifier s'ils sont minimaux connexes. Exemple 5.6 Soit le plan 2x2x2 donné par ses matrices d'incidence Ni et N1 = (Ji) N2 = (OJ) La matrice M est alors égale à: M=(j{1i2}) Nous avons J = {2}. Par conséquent, p = s = 1. Nous construisons la matrice W avec Iu2I = c + p=2+l = 3: -(si) Le graphe G = [V, E], où V = {1,2,3} E ~ E1UE2 E1 = {(2,l)o} E2 = {(1,1)2,(1,3)2} 110 Une approche graphique des plans minimaux connexes est représenté par la figure 5.2. Figure 5.2: Graphe G de l'exemple 5.6 Le graphe G' = [V, E1], où y = {1,2} £* = {{2,1}} contient c(G') = 1 composante connexe. Le seul cycle que l'on peut former dans G est: u = [1,(1,1)21I] et le vecteur associé à u est: /W = Le plan est donc connexe puisque le graphe orienté G est connexe et qu'il contient 2 — 1 = 1 cycle. H est en outre minimal connexe puisqu'il contient a+b+c-2=2+2+2-2=4 observations. CONCLUSION 111 Vu ma formation d'économiste, ce travail m'a permis d'acquérir de nombreuses connaissances dans un domaine bien particulier de la statistique: les plans d'expériences. La théorie des plans d'expériences factorielles minimaux connexes, malgré sa spécificité, est très étendue et il est clair qu'à la fin de cette thèse, de nom- breuses questions restent en suspens. On peut relever, par exemple, que les modèles mathématiques utilisés dans les différents chapitres sont des modèles sans interactions. Par conséquent, tous les plans d'expériences minimaux con- nexes avec interactions peuvent être l'objet d'une autre étude. Dans un autre contexte maintenant, il pourrait être aussi intéressant d'étudier un cas pratique d'application économique des plans minimaux connexes. On pourrait, de cette façon, élargir cette thèse dans de nombreuses directions. Toutefois, je laisse ces suggestions ouvertes car je fais mien le proverbe suivant qui sera le mot de la fin: "Qui trop embrasse mai étreint". REFERJENCES 113 Aeschlimann, J., Bonjour, C. et Stocker, E. (1986). Méthodologie et techni- ques de plans d'expériences (28ème Cours de perfectionnement de l'Association Vaudoise des Chercheurs en Physique). Allan, F.E. et Wishart, J. (1930). A method of estimating the yield of a missing plot in field experimental work. J. Agric. Sci. 20, part 3, 399-406. Anderson, RX. (1946). Missing-plot Techniques. Biometrics 2, 41-47. Bartlett, M.S. (1937). 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Ces contraintes sont en général de la forme Ha = O Considérons un plan connexe. Toute contrainte d'identification HO = 0 vérifie BF = JV(X) © JV(H) où p est le nombre de colonnes de X, N(X) désigne le noyau de X et © la somme directe. Plus précisément H doit être telle que 1. tout élément du vecteur paramétrique 9 est estimable sous contrainte 2. pour toute fonction paramétrique estimable dans le modèle initial (c'est- à-dire sans contrainte), les deux estimateurs de Gauss-Markov, obtenus dans le modèle initial puis sous contrainte, coïncident. On a alors le résultat suivant pour tout réel a ^ 0: (X'X + aH'H)"1 est inverse généralisé de X1X. 122 Annexe 1 Démonst rat ion Soient X de dimension n x p et H telles que RP = N(X) © N(H). Notons M = X'X + aH'H avec a réel non nul et D = diag[X'X, aH'H] (c'est-à-dire matrice diagonale par blocs à blocs diagonaux X'X et aH'H). 1. On vérifie que M est régulière et que (11I)Da)=(Ii1)D M"1 M"1 M"1 M"1 °'i où I désigne la matrice d'identité d'ordre p. 2. On montre que R(D)C)N(I I I) = i ( ^^ J \vuv2 € RP : X1Xv1 = -H1Hv2] , puis que R(D) D N(1\I) = 0. 3. On montre alors que M"1 M"1 M"1 M"1 est inverse généralisé de D. On en déduit que M-1 est inverse généralisé de X'X. a Ainsi X'X(X'X + aH'H)"1 est un projecteur sur R(XfX) = R(X'), l'espace engendré par les lignes de X. Comme le plan est connexe, on a R(A') C R(X'). Par conséquent X1X(X1X+ ClTH)-1A' = A' L'expression de la matrice de covariance pour l'estimateur ¢: Annexe 1 123 Cov(ê) = A(X'X + H'H)-1X'X(X'X + H7H)-1A' se simplifie donc en: Cvu{Ô>) = A(X'X + QH7H)-1A' En posant a = 1, on obtient: Cw[O) = A(X'X + H7H)-1A' 125 ANNEXE 2 Annexe 2 Program AXBCInput,Output); Uses Dos,Crt,Printer; Type T.Vecteur = Array [1..7] Of Integer; T.Plan = Record Vl : T.Vecteur; V2 : T.Vecteur; End; T_Ens_Plans = Array [1..1000] Of T.Plan Var P : T.Ens.Plans; E11.E12 : Array [1..12] Of Integer; Kb.Obs, Kb.Plans.Inf Num_Plan : Integer; i.j.l. Choix : Integer; Conp.Ok, Choii_Dk : Boolean: Fich : Text; Categorie : String[3]; Procedure Plans. 2x2; Begin P[I]-VlCl] : = 1 P[I] -V2[l] : = 1 P[I] .Vl[2] :=1 P[I] -V2[2] :=2 P[I] -Vl[3] :=2 P[I] .V2[3] : = 1 P[2] .Vl[I] : = 1 P[2] .V2[l] : = 1 P[2] .Vl[2] : = 1 P[2] .V2[2] :=2 P[2] .Vl[3] :=2 P[2] .V2[3] :=2 P[3].Vl[I] : = 1 P[3] .V2[l] : = 1 P[3] -Vl[2] :=2 P[3] -V2[2] : = 1 128 P[3].Vi[3] :«2; P[3] -V2[3] :-2; PM .Vl[I] :-1; P[4] .V2[l]:»2; P[4] .Vl[2]:»2; P[4] .V2[2] :-1; P[4] .Vl[3] :-2; P[4] .V2[3] :=2; Nb.Gbs:- 3; Hb_Plans_Inf:= O; Num_Plan:-4; End; Procedure Construction_Obs_Sup; Begin EIl[I]: = 1; E12[l]:-1; Ell[2]:-2; E12[2]:-1; Ell[3]:-1; E12[3]:-2; Ell[4]:-2; E12[4]:-2; E11C5]:=3; E12[5]:=1; Ell[6]:-3; E12[6]:»2; Ell[7]:-4; E12[7]:=1; EIl[B]:-4; E12[8]:-2; Ell[9]:-5; E12[9]:-l; EIl[IO]:=5; - E12[10]:-2; End; Procedure Ajouter_0bs(L„C,a,j,Ho,El,E2: Integer); Var k,l,m: Integer; Sauve 1,Sauve2: Integer; Begin For k:- 1 To a Do Begin P[Bo].Vl[k]:- P[J]-Vl[Ic]; P[No].V2[k]: = P[j].V2[k]; Annexe 2 End; P[Ko].Vl[a+i] := El; P[Ho] .V2[a+l] := E2; If L_C - I Then Begin For k: = 1 To a Do Begin If P[Ho] .Vl [k] >= El Then P[Ho] .Vl [k] := P[Ho].Vl [k] + 1 End; End Else Begin For k: = 1 To a Do Begin If P[No] .V2[k] >= E2 Then P[Ho] .V2 [k] := P[Ho] .V2[k] + 1 End; End; k:=l; While k Plan.Fin; End; Procedure Plans_2x3; Var i,j: Integer; Begin Plans_2x2; Construction_Qbs_Sup; Nb.Obs :« 4; Nb_Plans_Inf:= 4; Annexe 2 Num_Plan:'=Nb_Plans_Inf ; For j: = 1 To 4 Do Begin For i:« 1 To 6 Do Begin Num.Plan:=Num_Plan+l; Ajouter_0bsCl,3,j.Num_Plan,Ell[i],E12[i]); Comparer(5,4,Num_Plan,Comp_0k) ; If Comp.Ok Then Num.Plan:=Num_Plan-l; End; End; End; Procedure Plans_2x4; Var i,j: Integer; Begin Plans_2x3; Nb.Obs := 5; Nb_Plans_Inf : = 16; Num_Plan:=Nb_Plans_Inf; For j:= 5 To 16 Do Begin For i:= 1 To 8 Do Begin Num_Plan:=Num_Plan+l; Ajouter.ObsC 1,4, j , Num.Plan,Ell Ci] ,E12 [i] ) ; Comparer(17,5,Hum_Plan,Conp_0k); If Comp.Ok Then Num_Plan:=Num_Plan-l; End; End; End; Procedure Plans-2x5; Var i ,j : Integer; Begin Plans_2x4; Hb.Obs := 6; Hb_Plans_Inf := 48; Kum_Plan:=Nb_Plans_Inf; For j:= 17 To 48 Do Begin For i:= 1 To 10 Do Begin Hum_Plan:=Num_Plan+l; Ajouter_Obs(l,5,j,Num.Plan,Ell[i],E12[i]); Comparer(49,6,Num.Plan,Comp_Ok); If Comp.Ok Then Num.Plan:=Num_Plan-l; End; End; 132 End; Procedure Plans_3x3; Var i , j : Integer; Begin Plans_2x3; Ell[7]:=1; E12[7]:=3; Ell[8]:=2; E12C8]:«3; Ell[9]:=3; E12C9]:=3; Nb_0bs :-5; Nb_Plans_Inf:= 16; Num.Plan:=Nb.Plans_Inf; For j:= S To 16 Do Begin For i:* 1 To 9 Do Begin Num_Plan:=Num_Plan+l; Ajouter_0bs(2,4,j.Hum_PlanJEll[i],E12[i]); ComparerC17,5,Kum_Plan,Comp_0k); If Comp.Ok Then Hum_Plan:=Huni_Plan-l ; End; End; End; Procedure Plans_3x4; Var i ,j : Integer; Begin Plans_3x3; EIl[IO]:*4; E12[10]:»1; Ell[ll]:=4; E12[ll]:=2; E11[12]:=4; E12[12]:=3; Hb.Obs := 6; Nb_Plans_Inf:= 97; Hum_Plan:=Hb_Plans_Inf ; For j:a 17 To 97 Do Begin For i:- 1 To 12 Do Begin Hum_Plan:=Hum_Plan+l; Ajouter.ObsCl.S.j.Num.Plan.EllCi],E12[i3); Conparer(98,6,Sum.Plan,Comp.Ok); Annexe 2 If Comp_Ok Then Num_Plan:=Hum_Plan-l; End; End; End; Begin (* AXB *) Uindow(0,0,80,25); TertColor(l5); Clrscr; WritelnC Hritein; WritelnC WritelnC Writein ( WritelnC WritelnC WritelnC Writeln; Repeat Write C Votre choix DETERMINATION DES PLANS MINIMAUX CONHEXES'); Plans minimaux connexes 2x2 Plans minimaux connexes 2x3 Plans minimaux connexes 2x4 Plans minimaux connexes 2x5 Plans minimaux connexes 3x3 Plans minimaux connexes 3x4 -> IO -> 20 -> 3') -> 4') -> 50 -> 60 ); Cl-6) {il-} Readln(Choix) ; {$I+> Choix_0k:= CloResult=0); Until Choix.Ok And CChoix In [1..6]); Categorie Categorie Categorie Categorie Categorie Categorie Case Choix Of 1 2 3 4 5 6 End; AssignCFich, Categorie+1 .RESO Rewrite(Fich); WritelnCFich,' Case Choix Of 1 2 3 4 5 6 End; WritelnCFich); WritelnCFich,' WritelnCFich); '2X2' '2X3' '2X4' '2X4' '3X3' '3X4' :5,'PLAHS MIHIMAUX CONNEXES ',Categorie); Plans_2x2; Plans,2x3 Plans_2x4 Plans_2x5 Plans_3x3 Plans_3x4 :5,'NOMBRE DE PLAHS ,Num.Plan-Nb_Plans _Inf) 134 Annexe 2 Imprimer.Plans(Nb_Plans_Inf,Hum.Plan,8b_0bs); Close(Fich); Writeln; WritelnC* Les plans se trouvent dans le fichier ' ,Categorie,'.RES' ) ; End. Annexe 2 135 PLANS MINIMAUX CONNEXES 2X3 NOMBRE DE PLANS : 12 11 11 12 11 2 1 12 2 1 12 22 21 22 22 31 31 31 31 11 11 12 11 12 2 1 2 1 12 2 1 2 2 2 2 2 2 32 32 32 32 11 12 11 12 21 21 22 22 3 1 3 1 3 1 3 1 32 32 32 32 137 ANNEXE 3 Annexe 3 Program AXBXC(lnput,Output); Uses Dos,Crt,Printer; Type T.Vecteur T.Plan T_Ens_Plans Array [1..7] Of Integer; Record Vl : T.Vecteur; V2 : T.Vecteur; V3 : T.Vecteur; End; Array [1..1000] Of TJ>lan; Var P : T_Ens_Plans; E11,E12,E13 : Array [1..18] Of Integer Nb.Plans.Inf Nb.Obs, Hum_Plan : Integer; Comp_0k, Choix.Ok : Boolean; i.j.l, Choix : Integer; Categorie : String[5]; Fich : Text; Procedure Plans .2x2; Begin P[I]-Vl[I] = 1 P[I] -V2[l] = 1 P[I]-Vl [2] = 1 P[I] .V2[2] = 2 P[I]-Vl[S] «2 P[I] .V2[3] = 1 P[2] .Vl[I] = 1 P [2] .V2[l] = 1 P [2] .Vl [2] = 1 P [2] .V2[2] = 2 P[2].V1[3] = 2 P [2] -V2[3] = 2 P [3]. Vl[I] = 1 P[3] .V2[l] = 1 P [3] -Vl [2] =2 140 P[3] .V2[2] :=1; P[3] .Vl[3] :=2; P[3].V2[3]:=2; P[4] .Vl[I] :=1; P[4] .V2[l] :=2; P[4].V1[2]:=2; P[4] .V2[2] :=1; PC4] .Vl[3] :=2; P[4] .V2[3] :=2; End; Procedure Construction_Obs_Sup; Begin EIl[I]:=1; E12[l]:=1; Ell[2]:=2; E12[2]:=1; Ell[3]:=1; E12[3]:=2; Ell[4]:=2; E12[4]:=2; Ell[5]:=3; E12[5]:=1; Ell[6]:=3; E12[6]:=2; Ell[7]:=4; E12[7]:=1; EIl[S]:=4; E12[8]:=2; Ell[9]:=5; E12[9]:=1; EIl[IO]:=5; E12[10]:=2; End; Procedure Ajouter_0bs_3(Dim,a,j,No,El,E2,E3:Integer); Var k.l.ra: Integer; Sauve 1,Sauve2,Sauve3: Integer ; Begin For k: = 1 To a Do Begin P[Ho].Vl[k]:= P[J]. Vl[k]; P[Mo] .V2[k] := P[J] .V2[k] ; P[No].V3[k]:= P[j] .V3[k]; End; Annexe 3 P[Ho].Vl[a+1] := El; P[Ho].V2[a+1]:= E2; P[Ro].V3[a+1] := E3; If Dim = I Then Begin For k: = 1 To a Do Begin If P [No]. Vl [k] >= El Then P[Ho] .Vl [k] := P [No]. Vl [k] + 1 End; End Else If Dim = 2 Then Begin For k:= 1 To a Do Begin If P[No] .V2[k] >= E2 Then P[No] .V2 [k] := P[No] .V2[k] + 1 End; End Else If Dim = 3 Then Begin For k: = 1 To a Do Begin If P [Ho]. V3 Ck] >= E3 Then P[No] .V3[k] := P[No].V3[k] + 1 End; End; k:=l; While k <= a Do Begin 1:= k + 1; While 1 <= a+1 Do Begin If P[Ho]-Vl[I] < P[Ho] .Vl[k] Then Begin Swivel:- P[No] .Vl[I] ; P[Ko]-Vl[I]:= P[Ho]-VlCk]; P[Ho] .Vl[k] := Sauvai; Sauve2:= P[Ho] .V2[l] ; P[Bo] .V2[l] := P[Ho] .V2[k]; P[No] .V2[k] := Sauve2; Sauve3:= P[Ho]-V3[l] ; P[No].V3[1] : = P[Ho].V3[k] ; P[No] .V3[k] := Sauve3; End Else If P[No]-Vl[I] = P [No]. Vl [k] Then Begin If P[Ho] .V2C1] < P[Ho] .V2[k] Then Begin Sauve2:= P[Ho] .V2[l] ; P[Ho] -V2[l]:= P[Ho] .V2[k]; P[Ho] .V2[k] := Sauve2; Sauve3:= P[Ho] -V3[l] ; P[Ho] .V3[l]: = P[Ho] .V3[k]; P[No] .V3[k]:- Sauve3; End Else If P[Ho].V2[l] = P[Ho].V2[k] Then Begin If P[Ho].V3[l] < P[No].V3[k] Then Begin Sauve3:= P[No] -V3[l]; 142 Annexe 3 P[No] .V3[l] := P[No].V3[k]; P[No] .V3[k] := Sauve3; End; End; End; 1:=1+1; End; k:=k+l; End; End; Procedure Comparer_3(a,b,No:Integer;Var Existe:Boolean) Var k2,k,l : Integer; Id : Array [1..10] Of Boolean; Begin For k: = 1 To 10 Do Id[k]:= True; Existe:= False; k :B a; While (k < No) And Not Existe Do Begin For 1:= 1 To b Do Begin If (PCk]-Vl[I] «= P[No]-Vl[I]) And (PCk].V2[l] = P[No]-V2[l]) And (P[k].V3[l] = P[No] .V3[l]) Then Id[I] :=True Else Id[I]:= False; End; If Id[I] And Id[2] And Id[3] And Id[4] And Id[5] And Id[6] Then Existe:= True Else Existe:=False; k: = k+1; End; End; Procedure Plans_2x2xl; Begin Plans_2x2; PCl] -V3C1] PCl]-V3C2] PCl] -V3C3] P[2] .V3[l] P [2] .V3[2] P [2] -V3[3] P[3].V3[1] P [3] .V3[2] Annexe 3 P[3] -V3[3] :-1; P[4] .V3[l] : = 1; P[4] .V3[2] : = 1; P[4] .V3[3] :=1; End; Procedure 0bs_Sup_2x2xl; Begin Construction_Obs _Sup; E13[l]:=1 E13[2]:=1 E13[3]:=1 E13[4]:=1 Ell[5]:=1 E12[5]:=1 E13[5]:=2 Ell[6]:=2 E12[6]:=1 E13C6]:=2 Ell[7] : = 1 E12[7] :=2 E13[7]:=2 Ell[8]:=2 E12[8]:=2 E13[8]:=2 End; Procedure 0bs_Sup_2xlx2; Var El : Integer; i , j ,k : Integer; Begin For i:= 1 To 4 Do Begin For j := 1 To 3 Do Begin El := PCi] .V3[j]; P[i3.V3[j] := P[i].V2[j]; PCi].V2tj] := El; End; End; For i:= 1 To 8 Do Begin El :« E13[i]; E13[i] :=E12[i]; E12[i]: = Ei; End; 144 Annexe 3 End; Procedure Obs_Sup_l x2x2; Var El : Integer; i,j : Integer; Begin For i:= 1 To 4 Do Begin For j:= 1 To 3 Do Begin El := P[i].V2[j]; P[i].V2 j] := PCi]-VlCj] PCi]-Vl j] := El; End; End; For i:= 1 T< 8 Do Begin El := E12[i]; E12[i]:=Ell[i]; ElUi]:= El; End; End; Procedure Rajouter_2_Plans; Begin P[61] -VlCl] » 1 PC61] .Vl C2] = 2 PC6Ü.V1C3] » 1 PC61] .V1C4] = 2 PC61] .V2C1] = 1 PC61] .V2C2] » 2 PC61] .V2C3] = 2 PC61].V2[4] = 1 P[61].V3[1] = 1 P[61] .V3[2] = 1 P[61] -V3[3] = 2 PC61] .V3C4] = 2 PC62] .VlCl] = 1 P [62].V1C2] = 2 P [62].Vl[3] = 1 P[62].Vl[4] = 2 P[62]-V2[l] ¦* 2 P[62]-V2[2] = 1 P[62].V2[3] = 1 PC62].V2[4] = 2 P[62].V3[1] - 1 Annexe 3 P[62] .V3[2] :=1; P [62] -V3[3] :* 2; P[62].V3[4] := 2; End; Procedure Imprimer.Plans(Plan_Debut,Plan.Fin,Nb_Lignes:Integer); Vax Ho.Plan, Plan.1 : Integer; Begin Writeln(Fich); No.Plan : = Plan_Debut+l; Repeat For 1:= 1 To Nb.Lignes Do Begin For Plan:= 0 To 3 Do Begin If (Ho_Plan+Plan) <= Num.Plan Then Begin HriteCFich,' ':5fP [No_Plan+Plan].Vl[I],' », P[No_Plan+Plan].V2 [1], ' \P[No_Plan+Plan] .V3[l]); End; End; Writeln(Fich); End; WritelnCFich); Inc(No_Plan,4); Until No.Plan > Plan.Fin; End; Procedure Plans_2x2x2; Var i,j: Integer; Begin Plans_2x2xl; Nb_Plans_Inf :=4; Num_Plan := Hb_Plans_Inf; Nb_0bs := 4; 0bs_Sup_2x2xl; For j:= 1 To 4 Do Begin For i:= 1 To 8 Do Begin Hum_Plan:=Wum_Plan+l; Ajouter_Gbs_3(3,3,jJMum_Plan,Ell[i],E12[i],E13[i]); Comparer_3(5,4,Sum_Plan,Comp_0k); If Comp.Ok Then Num_Plan:=Num_Plan-l; 146 Annexe 3 End; End; 0bs_Sup_2xlx2; For j: = 1 To 4 Do Begin For i:= 1 To 8 Do Begin Kum.Plan :"=Wui(i_Plan+l ; Ajouter_0bs_3(2,3,j,Huni_Plan,Ell[i],E12[i] ,E13[i]); Comparer.3(5,4,Kum_Plan,Comp_Ok) ; If Comp.Ok Then Num_Plan:=Kum_Plan-l; End; End; 0bs_Sup_lx2x2; For j:= 1 To 4 Do Begin For i:= 1 To 8 Do Begin Hum_Plan:DKum_Plan+l; Ajouter_0bs_3(1,3,j.Mum.Plan,Ell[i],E12[i],E13Ci]) ; Comparer_3(5,4,Num_Plan,Comp_Dk) ; If Comp.Ok Then Num_Plan:=Num_Plan-l; End; End; Rajouter_2_Plans; Inc(Num_Plan,2); End; Procedure 0bs_Sup_2x2x3; Begin Ell[9]:-1; E12[9]:-1; E13[9]:=3; EIl[IO]:=2; E12[10]:=1; E13[10]:=3; EIl[Il]:=1; E12[ll]:=2; E13[ll]:-3; E11[12]:»2; E12[12]:=2; E13[12]:=3; End; Procedure Plans_2x2x3; Var i,j: Integer; Begin (* Plans_2x2x3 *) Annexe 3 Plans_2x2x2; Nb_Plans_Inf:= 62; Num_Plan:=Nb_Plans_Inf; Nb.Obs := 5; 0bs_Sup_2x2x3; For j:= 5 To 62 Do Begin For i:= 1 To 12 Do Begin Num.Plan:=Num_Plan+l; Ajouter.0bs_3(3J4,j.Num_Plan,Ell Ei]fE12[i] ,E13[i]); Comparer_3(63,5,Num_Plan,Comp_0k); If Comp.Dk Then Hura_Plan:=Num_Plaji-l ; End; End; End; Begin (* AXBXC *) WindowCO,0,80,25); TextColor(15); Clrscr; WritelnC DETERMINATION DES PLANS MINIMAUX CONNEXES'); Writeln; WritelnC Plans minimaux connexes 2x2x2 -> 1'); WritelnC' Plans minimaux connexes 2x2x3 -> 2'); Writeln; Repeat WriteC Votre choix : (1-2) '); Readln(Choix); {$1 + } Choix.Dk:= (IoResult=0); Until Choix.Ok And (Choix In [1..3]); Writeln; WritelnC Procedure en cours...'); Case Choix Df 1: Categorie := '2X2X2'; 2: Categorie := '2X2X3'; End; Assign(Fich,Categorie+'-RES'); Rewrite(Fich); Writeln(Fich,' ' :5,'PLANS MINIMAUX CONNEXES ',Categorie); Case Choix Of 1: Plans_2x2x2; 2: Plans_2x2x3; End; Writeln(Fieh); Writeln(Fich,' ':5,'NOMBRE DE PLAHS : >,Num_Plan-Kb_Plans_Inf) ; Writeln(Fich); 148 Annexe 3 Imprimer.Plans(Hb_Plans_Inf,HUm-PIaH1Hb,Dbs); Close(Fich); Writeln; WritelnC' Les plans se trouvent dans le fichier ',Categorie,'.RES') ; End. Annexe 3 149 PLANS MINIMAUX COOE; KOMBRE DE PUNS : 58 111 112 112 12 2 12 2 2 11 2 12 2 12 111 111 112 12 1 12 1 2 11 2 11 2 12 111 112 112 12 2 12 2 2 11 2 2 2 2 2 2 111 111 112 12 1 12 1 2 12 2 2 1 2 2 1 111 112 112 2 11 2 12 2 12 2 2 2 2 2 2 111 111 112 2 11 2 11 2 12 2 2 1 2 2 1 111 122 12 2 2 11 2 12 2 12 2 2 2 2 2 2 2X2X2 112 112 12 1 12 2 12 2 2 12 2 12 2 2 1 111 111 12 1 12 1 12 2 2 11 2 11 2 2 2 112 112 12 1 12 2 12 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 111 111 12 1 12 1 12 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 112 112 12 1 2 12 2 12 2 2 1 2 2 2 2 2 2 111 111 12 2 2 11 2 11 2 2 1 2 2 1 2 2 2 12 1 12 2 12 2 2 12 2 12 2 2 1 2 2 2 2 2 2 150 Annexe 3 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 i 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 i 2 1 1 1 1 i 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2