SOUS - GROUPES MAXIMAUX DE GROUPES CLASSIQUES ASSOCIES AUX C* ALGEBRES Thèse présentée à la Faculté des Sciences de l'Université de Neuchâtel pour obtenir le grade de docteur es sciences par Sylvie Grienet IMPRIMATUR POUR LA THÈSE Sous-grpupes[,,maximaux ...de...groupes...classiques.. . associés...aux .C*.-.a.lgè.b.res............................................................ de M lie.Sylvie. Griener UNIVERSITÉ DE NEUCHATEL FACULTÉ DES SCIENCES La Faculté des sciences de l'Université de Neuchâtel, sur le rapport des membres du jury, .Messieurs,.A.,.. Robert......R,....Bader.et.................................... ..£.,....de....la...Harpe.. (Genève)................................................................ autorise l'impression de la présente thèse. Neuchâtel, le .......19 ..novembre..19.8.5............................................. Le doyen : François Sigrist TABLE DES MATIERES INTRODUCTION 3 CHAPITRE 1 : QUELQUES SOUS-GROUPES MAXIMAUX DU GROUPE DES INVERSIBLES D'UNE C*-ALGEBRE 9 1.1. Leines préliminaires 9 1.2. Maximallté de c' 11 1.3. Etude des normal 1 sateurs 12 1.4. Maximallté de N,(G ) lorsque p^vq 15 1.5. Une généralisation aux C -algèbres non simples 17 CHAPITRE 2 : QUELQUES SOUS-GROUPES MAXIMAUX DU GROUPE UNITAIRE D'UNE C -ALGEBRE A.F. OU D'UN FACTEUR 19 2.1. Lemmes préliminaires 20 2.2. Sous-groupes maximaux du groupe unitaire d'un facteur 23 2.2.1. Etude du no ruaiisateur de U„ 24 2.2.2. Maxlraalité de NU(U* ) lorsque p~q 25 2.2.3. Maximallté de U lorsque prfi q 28 2.3. Sous-groupes maximaux du groupe unitaire d'une C -algèbre A.F. simple 31 2.3.1. Maxinallté de NU(U ) lorsque pa/q 2.3.2. Maxlmalité de u" lorsque p /f q it 2.4. Une généralisation de 2.3 aux C -algèbres A.F. non simples 32 38 42 CHAPITRE 3 : POSITION DU GROUPE UNITAIRE DANS LE GROUPE DES INVERSIBLES D'UN FACTEUR OU D'UNE C*-ALGEBRE A.F 43 3.1. Etude du normal Isa teur de U dans G 3.2. Lemme s préliminaires 3.3. Maxlmalité de Nfi(C(l)+K)) dans le groupe des Inversibles d'un facteur 3.4. Maxlmalité de N,(U) dans le groupe des élément! inversibles d'une C -algèbre U.H.F. 43 44 47 52 SYMBOLES ET NOTATIONS 59 BIBLIOGRAPHIE 61 INTRODUCTION E.B.Dynkln est l'un des Initiateurs de la description des sous-groupes maximaux des groupes classiques comme GLn(C) et I)n(D ( (Dy] ). Cet auteur étudie les sous-groupes maximaux réductibles ou Irréductibles des groupes de Lie classiques à l'aide de techniques utilisant la flnltude de la dimension de l'espace sous-jacent. Solent A une C -algèbre avec unité, G » GL(A) (resp. o U » U(A) ) la composante connexe neutre du groupe formé des éléments Inversibles (resp. unitaires) de A. Dans ce travail nous nous sommes Intéressés à montrer la maxlmalitè de sous-groupes paraboliques et de certains sous-groupes irréductibles de G et de U. Plus préclsémentt soient p et q deux projecteurs non nuls de A de somme 1. On dit que deux projecteurs p et q sont équivalents lorsqu'il existe v,w£A avec p * Vw1 q « wv, v - pvq et w " qwp. Cette relation d'équivalence est notée P^q (sa négation P^q) 3 - Pour tout Xd A nous avons x - pxp + pxq + qxp t qxq (l'écriture a été Introduite par C.S.Pelrce en 1870) que /ec x - pxp, x - pxq, x - qxp, qxq. /*. X1X nous noterons ( Dans le chapitre 1 nous étudions des sous-groupes paraboliques de C et démontrons : Théorème 1.1 : Solent A une C -algèbre simple avec unité et p,q deux projecteurs non nuls de A, de somme 1. Alors G ¦ j x € G | qxp-0, qxp-0| est un sous-groupe maximal dans G. Rappelons qu'une C -algèbre avec unité est simple si elle ne possède pas d'idéal bilatère non trivial. Soit 0^., l'autoraorphisme Intérieur de A défini par: od (x) - JxJ pour tout x(A, oil J est !.'Involution p - q. M Considérons les sous-groupes formés des points fixes de OCn: G* ¦ j x t C ; Oi (x)»x| u - c n u Désignons par N (G ) (resp. N (U ) ) le normalisateur de G dans G (resp. de U dans U ). Nou6 démontrons alors : Théorème 1 .2 : Solent A une C -algèbre simple avec unité, p et q deux projecteurs équivalents de A de somme 1. M « « Alors G est d'Indice 2 dans N (G ) et N (G ) est un & 6 sous-groupe maximal dans G. - 4 - Par contre lorsque les projecteurs p et q sont non équivalents, N(G ) - G (Prop.1.1) est contenu dans le groupe parabolique G du théorème 1.1 et n'est donc pas un sous-groupe maximal de G. Sl A est une C -algèbre avec unité, K un Idéal bllatère de A tel que A/K soit une algèbre simple non nulle, TT la projection canonique A_____>A/K, nous définissons : { x t G ; qxpéK, qx'*p£ K j [ x £C ; 0^-(3O - »a] ; < - ' Vgk )rt » Les théorèmes 1.1 et 1.2 peuvent se généraliser comme suit Généralisation 1.1 : Solent A et K comme ci-dessus, p et q deux projecteurs de somme 1 et n'appartenant pas à K. Alors G est un sous-groupe maximal dans G. Généralisation 1.2 : Soient A, K, TT comme ci-dessus, p et q deux projecteurs de A de somme 1 tels que TC ( p ) r\/ Tt ( q ) . Alors C? est d'indice 2 dans N.(G* ) et N (G? ) est un sous-groupe maximal dans G. Dans le chapitre 2 nous nous Intéressons à la raaximallté du groupe unitaire des points fixes par 1'automorphlsme Km dans U. Rappelons que si A est un facteur de type I , tous les autoraorphismes o( involutlfs (i.e. oi - 1) de A sont - 5 - conjugués A des automorphismes de la forme o/ M ((H] ,lemme 5) . Une motivation de ce travail était de comprendre la position du groupe des points fixes par un autoraorphlsme lnvoltitlf (modulo les opérateurs compacts) dans le groupe unitaire d'un facteur de type I00 , Les théorèmes suivants donnent en particulier une réponse à cette question : Théorèmes 2.1 et 2.2 : Solent M un facteur , p et q deux projecteurs non nuls de somme 1. Sl p^,q : UK est d'indice 2 dans Ny(U* ) et N14(U*) est un sous-groupe maximal du groupe unitaire U de M. Si p/pq : N^(U ) = U est un sous-groupe maxltnal dans U Nous démontrons aussi un résultat analogue lorsque le facteur M est remplacé par une C -algèbre A de type A.F. Rappelons que A est A.F. (approximately finite) si A est la fermeture normlque d'une réunion croissante d' *-sous-algèbres de dimension finie. Théorèmes 2.3 et 2.4 : Soient A une C -algèbre A.F. simple avec unité, p et q deux projecteurs non nuls de A, de somme 1. Si p «j q : U est d indice 2 dans N (U ) et N (U ) est un sous-groupe maximal du groupe unitaire U de M. Sl p^/q : N (U ) - U est un sous-groupe maximal dans U. - 6 - Une extension des théorèmes ci-dessus étant : Cenerai 1 satIon 2.1 : Solent A, K, Tt définis comme avant, p et q deux projecteurs de somme 1 appartenant à A-K. Sl Tî(p) ~ TT(q) : U* est d'Indice 2 dans N11(U? ) «t NU(UK ) est un sous-groupe maximal dans U. Sl TT(p) rp Tf (q) : N (U ) - U est un sous-groupe maximal dans U. Le chapitre 3 est consacré à l'étude de la position du groupe unitaire dans le groupe des éléments Inversibles de certaines C -algèbres. Finalement définissons : G(U+K) -jxéG ; x - u + k avec u é. U et k < Kf , nous obtenons alors les résultats suivants : Théorème 3.1 Soit fac teur , alors N (G(U+K)) - t G(U+K) est un sous-groupe maximal dans G. Théorème 3.2 : Soit A une C -algèbre U.H.F. (uniformly hyperfinite) avec unité, alors N^(U) - I U est un sous-groupe maximal dans G. - 7 - Je tiens a remercier sincèrement toutes les personnes qui m'ont permis de mener à bien ce travail de recherche. Monsieur le professeur A.Robert a porté une attention toute particulière à cette étude ; l'Intérêt qu'il a manifesté pour ce sujet m'a fortement encouragée. Monsieur le professeur R.Bader s'est vivement intéressé à ce travail ; sa lecture attentive du manuscrit n'a beaucoup apporté. Au cours de fructeuses discussions, Monsieur P.de la Harpe a su orienter judicieusement cette recherche ; sa disponibilité ainsi que ses nombreux conseils m'ont été extrêmement précieux. Mes camarades O.Besson , T.Giordano et C.Skandalls m'ont fait bénéficier de leur expérience et de leurs conseils avec autant de patience que d'humour. Ce travail a été réalisé en partie grâce au soutien du Fonds national suisse de la recherche scientifique (requête n 2.717-0.85 ) - 8 - CHAPITRE 1 QUELQUES SOUS-GROUPES MAXIMAUX DU GROUPE DES INVERSIBLES D'UNE C*-ALGEBRE 1.1 LEMMES PRELIMINAIRES Lemme 1.1 : Soient A une C -algèbre avec unité, p et q deux projecteurs non nuls de somme 1. Posons G11-JXtG ; x-léqAp] , G - ? x e G ; x-1€ pAq ^ , G - JXtG ; qxp - pxq -Oj, alors < G1 ,G1 ,GJ> - G. Preuve : Soit î €G avec I i -1 II < -£- ; on a qui appartient à . Le groupe G étant connexe nous obtenons la conclusion cherchée. - 9 - Lemme 1.2 ; Solent B un anneau simple avec unité, p et q deux ldempotente non nuls de B1 alors qBp est non nul et Off erf simple comme B ft B -module A gauche ( B dénote l'anneau opposé ) . Remarques: (1) Sl B est une C -algèbre simple alors Bp l'est aussi. (2) Sl B est une C -algèbre simple alors qBp est simple comme CL(B ) ® GL(B ) -module à gauche (car 0 tout élément de B est somme de deux éléments de GL(B ) ). Preuve : SoIt I l'Idéal engendré par p, comme B est simple nous avons I « B . Il existe donc a^ ,b; (i--l,..,N) K) H appartenant à B tels que 1 - 2- a- pb- donc Oj* q - Z qa- pb; . i = 4 is a K Il existe alors i £J1,..,NÌ tel que qa; p + 0, d'où qBp i* 0. OPP Montrons que qBp est simple : Soient ï un B. $ B -sous module non nul de qBp et y 6 Y, y non nul. Comme B est simple, l'Idéal bllatère engendré par y est égal à B, donc pour tout xéB, il existe des éléments C*; , ß^ (i»l,..,k) k appartenant à B tels que x - X «': yß; • En particulier si U a ' xçEqBp, en posant a; »q 0^qC B- et bj • p|3;p(B. , on a qxp Z. a- yt^ e Y donc Y - qBp Lemme 1.3 : Solent A une C -algèbre avec unité, a,b£A et k £ R . Si aub - 0 pour tout u€ U avec II u-l|/ < k alors azb » 0 pour tout z 6 A. Sl de plus A est simple ou A est un facteur alors : a - 0 ou b - 0. - 10 - Preuve : Tl existe o > O suffisamment petit tel que, x ||< A , on ait On a donc x" é A avec pour tout u - -Ix + y 1-x2" EU et II u-1 II < k axb - a—(u -u)b - 0. Zi Tout élément de A étant somme de deux éléments autoadjoints de A nous avons azb ¦ 0 , pour tout z £ A. Sl A est simple le lemme 8.1 de (H-S,2] nous donne a - 0 ou b - 0. Sl A est un facteur: Supposons a 4 0 et b 4 0. Il existe r et s £ A tels que aa r et sb b soient des projecteurs non nuls. Soient deux it projecteurs e et f non nuls équivalents tels que e] . L'égalité : -11- \ 0 .,jig, gJl o <, K9,' 3,' J * (33 1 i -H fa.' %'\ oùg " I q ' q ' / , Implique Oi N ,avec q\ i< 0 . N a les propriétés suivantes: a) N Î N CN 0 b) Pour tout xt N pour tout a CGL(A ) on a XftfcN car: (*" °]fr °)(a °) /p M U <}/(x () y l 0 «J / - ( xa q) 1 1 ° De même bx £ N pour tout XgN et OEGL(A) . 0 off 0 N est donc un GL(A ) ® GL(A ) -sous module à gauche non nul de qAp, donc N - qAp par la remarque (2) suivant le lemme 1.2. Par suite tout élément * é G avec X -1 £ qAp appartient à ^G , g^ . Comme les groupes G,, ,G, ,G, définis au lemme 1.1 appartiennent à nous obtenons G - 4.G , g^ . 1.3 ETUDE DES NORMALI SATEURS Lemme 1.4 : Solent A une C -algèbre avec unité , p et q deux projecteurs non nuls de somme 1 On a lés équivalences suivantes : (a) p r~j q (b) 11 existe un élément x inversible appartenant à qAp + pAq . Preuve : (a) .-=^(b) : Il existe v,w € A tels que p - et q - wv avec v » pvq , w - qwp alors x » v + w convient. - 12 un élément (b)=ò(a) SoIt / *M Inversible dans qAp + pAq et d Inverse /^i - I . Alors *2 *3 " p et ^x**- Q » donc p et q sont équivalents. Dane la proposition suivante, étant donnés deux projecteurs p et q de somme 1 dans la C -algèbre A, on note : G -{xéC;pxq-0;qxp-o} ; U1* ¦ Une" TG - j x £ pxp O ; qxq - O } ; TU* U A TG S'il existe une isoraétrle partielle E de projecteur Initial q et de projecteur final p , on peut aussi écrire o TG C1K- Proposition 1.1 : SoIt A une C -algèbre simple avec unité ou un facteur et soient p , q deux projecteurs non nuls de A de somme 1. Alors : (a) N-(G ) - G^u TC* ; N (U ) - U*u TU * (b) Sl p 'V q , alors TG ci-dessus; (LV G comme -1P Sl pyf>n , alors TG - <}> (c) N fN. (C*)) « N (G*) ; N (N (U*)) - N (U*), 6 6 O un U Pre uve : (a) . Soit g = [9" ^i \ £ N (G*) Ui d») et posons Pour tout atU(Ap) et déU(A ) on 8 "U* 9:) • g( a ? d)g-'1£ G * , donc 0 tel que pour tout ^f £ [-£ ,-fi] on ait P II < ti*f O Nous avons donc Q%&£ <\a + 9 do. et Ve'V + 9id9<.' " ° ce qui implique : Q aQ - O , O d«j - O et g, a 9,'- O , V3«;- O Le lemme 1.3 noue donne : soit g£ C , soit gé TG . Le lemme 1.4 et la proposition 1.1 nous permettent de conclure. - 14 - Remarque : Noua pouvons remplacer dans l'énoncé du lemme 1.5 G par U et G par U . .4 MAXIMALITE DE N0(G ) LORSQUE p~q Théorème 1.2 : Solent A une C -algèbre simple avec unité, p et q deux projecteurs équivalents de A de somme 1 . oc vt et Alors G est d'Indice 2 dans N-(G ) et N,(G ) est un Cr Cr sous-groupe maximal dans G. Preuve ; La première affirmation résulte de la proposit ion 1.1. Of Soit gtG-N6(G ) (non vide par le lemme 1.2). Pour tout O < o < 1 / H g If |l g ~4 H , il existe par le lemme 1.5 deux unitaires a 6 U( A )° , d € U(A )° avec Il a - p II < S" , Il d - q \\c S tels que g - g(a + d) g"' è < N (C* ) , g > - N^(C*) donc : g((pgp)D + (qgq) ) - p + pgq(qgq). + qgp(pgp) + q appartient à <^N (G ) ,g*} - N, (G ). En prenant S suffisamment petit , on peut donc supposer que g est un élément de la forme /P Jl\ avec |l g - 1 II petit. ilèment de la forme (P jl W. i Soit N - ^ y € qAp tel que 1 + y € < N^ ( G* ) ,g > j 1) Montrons que N est non nul : Si ^ alors ^N et S> t O (car g^ N6(G ) ). 2 cas : Si 3. - O ; p et q étant des projecteurs équivalents t 11 existe v,w£ A tels que p ° vw , q » Wv , -15- PVq , W - qwp Corame lo * Wf U)IO *\ /f O appartient â alors O i wo^wÊN (car S^N4(C ). 3 cas : Sl ¢, ^ O et ^11* O ; alors [P Wir ° wp 9i)\/* °) 13» 1/1 0 (^5^1(¾ + 2(q + 3i3, M» ' ° (sinon (q + 4>g > 9j(P + ^i ^i ^ * A9j et donc 3l" ° * On a alors (; WV I £8> ce qui implique yx" £. N où yx j< 0. 2) Montrons que N = qAp. De même que dans la démonstration du théorème 1.1 , N est un O Off 0 GL(A ) ® GL(A ) -sous module à gauche de qAp et par le point 1) N est non nul. La remarque (2) suivant le lemme 1.2 nous permet de conclure N - qAp. Les projecteurs p et q étant équivalents nous voyons donc que les trois groupes G ,G ,G, définis au lemme 1.1 appartiennent à ^ NG(G ) »O et donc G - < N (G ),g) . - 16 - 1.5 UNE GENERALISATION AUX C -ALGEBRES NON SIMPLES ---------------------------------------1---------------- Solent A une C -algèbre avec unité, K un Idéal bllatère de A tel que A/K soit une C -algèbre simple non nulle, TC : A ---» A/K la projection canonique (TT(I) - 1 ) , p et q deux projecteurs de A-K de somme 1. Soient C^ » jxfcG ; qxp £ K , qx~ p £ K ] - { x € G ; pxq « K , qxp € K j ; UR ¦ C^U Remarque : On a pAq <£ K (lemme 1.2 ), Lemme 1.6 : Avec les notations ci-dessus GL(K(A))0 - TT(GL(A)° ) ; U(TT (A))0 - TC(U(A)0) Preuve : Tout x€GL(TC(A)) suffisamment proche de 1 a une décomposition polaire de la forme e e où u ,S € TT(A) avec V - - M , S * S • Soient r , C €. A tels que ' " - , t - t , Ti ( r ) - ^ , ~(C)-5, alors x " Tf (er e ) é. TT(GL(A) ). L'inclusion inverse est facile. La preuve vaut pour U. Sl Proposition 1.2 : Solent A, K, Tf comme ci-dessus, .0 H est .0 un contenant sous-groupe de GL(A) I x£GL(A) ; x- le KJ tel que T(H) soit un sous-groupe maximal dans GL(Ti(A)) alors H est un sous-groupe maximal 0 dans GL(A) . Preuve : Il y a une correspondance bijectlve entre les - 17 - o e sous-groupes de Cl.(TT (A)) et ceux de GL(A) contenant le noyau de TT: GL(A) --->GL(TT(A))° ([Bo]1AIgI?' , Livre Jl , Ch 1, $ 6, n: 13, Th 6 ) . Généralisation 1.1 : Solent A et K comme ci-dessus, p et q deux projecteurs de A de somme 1 et n'appartenant pas à K. Alors G est un sous-groupe maximal dans G. Preuve : Résulte du théorème 1.1 appliqué à TT(A) , du lemme 1.6 et de la proposition 1.2. Généralisation 1.2 : Solent A, K, TT comme ci-dessus, p et q deux projecteurs de A de somme 1 tels que TT (p) rj TT (q) . Alors G? est d'indice 2 dans N^(C* ) et N,(C°Î ) est un sous-groupe maximal dans G. Preuve : Résulte de la proposition 1.1 et du théorème 1.2 appliqués à TT(A) et du lëmme 1.6 et dé la proposition 1.2. - 18 - CHAPITRE 2 QUELQUES SOUS-GROUPES MAXIMAUX DU GROUPE UNITAIRE D'UNE C*-ALCEBRE A.F. OU D'UN FACTEUR Not a tIons : Solent A une C -algèbre avec unité, p et q deux projecteurs non nuls de A de somme 1. - Sl p est équivalent â q dans A alors il existe un élément dans pAq que nous notons Ep<, - (Eqp) te* ^ue P " Epq(Ep xix* - -u(p - X* Xj ) X3V Vl - (XjV) (x*v) - -u(p - xjx, ) Vp - (x*v)(xjV)" x*v - -UXjV /q - x*X1 - v Vq - V4X1XjV - Vq - x}x* v . - 20 - On a al ore c ;)(:;:;)(: :-)-H, Lemme 2.2 : Solent p et q des projecteurs de A de somme 1, alors < u" , V ( E.„ 4= ) > " U. 1° . 2) SoIt y t A. avec /| y|| < — , alors <î ^.^/(° W 1r Comme b est autoadjoint le point 1) implique V(E..b)É <ü",r> et donc V ( E y ) £ < U ", . Le lemme 2. 1 montre alors que tout élément unitaire suffisamment proche de l'Identité appartient à . Le groupe U étant - 21 - connexe nous a vons la conclusion <[ U , °° > " U. Lemme 2.3 : Solent p et q des projecteurs équivalents de A de somme 1. Soient e un sous-proJecteur non nul de p (eéA) et c un élément Inversible dans A tel que Il c II < -— , alors : V(E £ e)€ IP Vl ir' Preuve : SoIt c » ux la décomposition polaire de c, où u £ U(A6) et x- (c* c)1 £ Ae avec II x II <: £¦ . Oh a : qui appartient à . "r .«» Soit ra £ ti tel que >> - sinJl__ et ve< «x(p - x ) . Alors 4.(x)""(p - X1T1I(Ax^p - x1) - Vle)Vl + IVe] + 2 e est un unitaire de A :] + p - e. On a : -l^(;J£jM'1;( % (3En ¦V" 71 V Vv, où 8 ¦= -i( ^p-X* a Vp - x1' + xa*x) € G(p) t * -i(xa \J p - x1 - ^p" x a t) ¦ sin JL. e£A . 4m e Le lemme 2.1 montre que V(E.0 sin J£.e) é . "P >I7 Y ^m 1' Lemme 2.A : Soient p, q , q trois projecteurs non nuls de A, orthogonaux et de somme 1 tels que p«q et soit H - , alors H - U. - 22 Preuve Soitq-q+q Grâce au lemme 2.1 et a 1< connexitê de U il suffit de montrer que V(z) appartient à H, ceci pour tout z £ q A p où Il z II est petit. So ient x y( ^p - x* x ' ) et X, Y, W q *p, y - q *p, t comme suit (dans la décomposition p + q + q ¦ 1): x ^a'. x x*' O O O <)" P O O e h €. H t-c, m' Vl"-tt*'. ir O O ÉH Donc WYW X p + q " 1 : * * # X ¦* y £ H et dans la décomposition WYW X est un élément de H qui est proche de 1 'si II z || est petit. Grâce au lemme 2.1 nous pouvons conclure que V(z) appartient à H. 2.2 SOUS-GROUPES MAXIMAUX DU GROUPE UNITAIRE D'UN FACTEUR Dans ce paragraphe: M désigne un facteur (à prédual - 23 - separable), U le groupe unitaire de M ( U est connexe,[RuI Th .12.37) , p et q deux projecteurs non nuls de M de sonne 1. Définitions : 1. Sl M est un facteur Infini semi-fini muni d'une trace t normale semi-finie fidèle, soient: F-J x£M ; il existe une projecteur EeM tel que r ( E ) < eo et x - ExE J F est l'Idéal des éléments de rang fini dans M K » / 0 si M est un facteur de type In, II. ou III adhérence normique de F si M est un facteur de type I- ou II oo K est l'idéal bllatère maximal formé des éléments coapacts de M, M/K est donc une algèbre simple. 2. Si g£M, Sp(g) désigne le 6|Wctre de g et Spe(g) désigne le spectre essentiel de g, c'est-à-dire le spectre de la projection de g dans l'algèbre de Calkin M/K. 3. U - jxfc\U;pxq"0 , qxp - O } U - J x £ U ; pxq é. K , qxp £ K } N (U ) le normalisateur de V dans U. 2.2.1 Etude du normalisateur de U_ Proposition 2.1 : Solent M un facteur, p et q deux projecteurs non nuls de M, équivalents et de somme I1 alors HU(U") - U?UTU^ où TU* « I xt U ; pxpéK , qxq £ K } - 24 - Preuve : C'est en fait un corollaire de la proposition 1.1 2.2.2 Maxlraallté de N (U ) lorsque pa/q Lemme 2.5 : Solent M un facteur et e un projecteur de M tel que e y 1 et e ^K. Alors 11 existe N£N et des projecteurs e. non nuls orthogonaux équivalents de M ( i - 0,1,..,N) tels que 1 - e0 - Z. e- avec e £e, e ^Y. et i.-l " 1 - ejK. Preuve : (1) Si M est de type I ou II muni d'une trace T normale finie fidèle normalisée : Il existe mfeN (m - n si M est de type In) et un sous-projecteur e de e tel que T ( e8 ) ¦ —'—L ^T(e). Nous avons C(I - e ) - (m - I) T(^) donc 1 - e est la somme de m m - 1 projecteurs orthogonaux e^ de trace T(4) donc m équivalents â e (N - m - 1). (2) Si M est de type I00 ou H00 : Le projecteur e est la somme de deux projecteurs équivalents orthogonaux e0 et e' où e , e ' ^. K ([Di] Ch.Ill, Çl, n:2, Cor.3). Nous avons e ' <, 1 - e. donc 1 - e ^K et 1 - e. est O ^ O OT O alors un projecteur équivalent à eQ , car tous deux de trace infinie ((Dl] Ch.III, §8, nt6, Cor.5). (3) Si M est de type III : On peut choisir e ¦ e et comme l-eo-l-e)<0 nous avons donc 1 - e m e (N - 1). - 25 - Lemme 2.6 : Solent p et q deux projecteurs équivalents de somme 1 d'un facteur M, et e un sous-proJecteur non nul de p vérifiant etK, alors < U* , V(E.„ i-e ) > - U. T V5 Preuve : Sl e - p ; le lemme 2.2 permet de conclure. Sl e 4 p ; soient N et e0 » e,i » • • • eu comme au lemme 2.5 (appliqué â M- ). Le lemme 2.2 appliqué à « + E0C,e £ VetM Implique : ;>U(e + E^ eEp() )aU( p - e)* U(E^ (p - e)Ept), Nous avons alors.: V(E J- e) é ^*.V(E^0 -4, e) > . IP VT '1P 7? Solent E0- - (Ej0) des lsométrles partielles de M reliant e° et ei u et W- - EoJ + Ejo +.I E,-£ + Elp(E0j. + E> + £ E,. )Ep, qui oi appartient à U ( i - 1,..,N). Alors vw- " v(eip ?f) appartient aussi à ^U*,V(E1, -4= e)> . Grâce au lemme 2.2 nous obtenons la conclusion cherchée. Lemme 2.7 : SoIt M un facteur et z - z £ M-K avec z H < 1. Alors 11 existe un projecteur e € M-K tel que : Vl - j' soit un élément Inversible dans M . / Preuve : Soient z m \ "X dE( X) la décomposition spectrale de z et X là plu6 grande valeur spectrale (essentielle si M est de type I00 ou II )en module de z. Soient £ >0 tel que 0 < / >'-£ j < | ^ | < I ^ tt| < 1 et e - E([ >'-f, A*+*) ) . L'élément ze Vl - z1' - ( X V-I- A1' dE( * ) est Inversible dans M . [*-*>?*] - 26 - Lemme 2.8 Solent M un facteur, deux projecteurs de M équivalents de somme 1, z ¦ z £ M_ avec z^K et l|z||< i- . «I«™ <" .V(E z)> U. Preuve Soient e comme au lemme 2.7 et J " 1 - 2e é U Le produit JV(E z)J (V(E z)) s'écrit / a UP1 \ où a et sont Inversibles dans M„ car c - -2ze \/l - z1 lemme 2.1 on 2.6 nous permettent de conclure Il z II < i- et est aussi Inversible dans M . Par le V(E c)fe <0"<,V(E<, z)> et les lemmes 2.3 et Lemme 2.9 Solent M un facteur, deux projecteurs équivalents de M de somme 1. Sl xé Mp vérifie x 4 K et Il x II < -Ì- , il existe zfcM avec H z B < i- tel que V(E z)é < Nu( U* ) , V(E x ) > . z^K et 1f Preuve Soient Epq - E<,p . EP1 + E1P V(E,x)JV(Efl x)J , Z, - IV(E00X)LV(E01, x)L 'IP (J,L EN11(U*)). ÏP IP V Nous Il Z. 1 II < 2 H V(Ea(>x) < 1 Il x ||< ±- , de même || Z1 - 1 II < 1 . E<,p ( /p - xx"' x* + x \jp - xx*' ) E1P Z1 E (-1 V1P - xx"' x* + ix ff XX ) V* Alors : qZ,, p ¦ qzzp ¦ OÙ ZJ Nous ne pouvons avoir zA et z dans Z^ - Iz2 - 2x Vp - xx" éK ce qui Implique xéK. Il existe donc Z e (Z est soit Z^ soit Z) z*É M avec II z • || < ± ( j - 1 ,2) . sinon - 27 de la forme I * * \ ici. ir ' avec II Z - 1 II < 1 , r - r ^. K et * II C ± 3 Le lemme 2.1 nous permet de conclure v(Vz)fe <% • Théorème 2.1 Soient M un facteur, et q deux projecteurs de M, équivalents de somme 1. Alors U^ est d'indice 2 dans Nu(UK) et Nu e8t un sous-groupe maximal du groupe unitaire U de M. Preuve : La proposition 1.1 donne la première affirmation. Soient g eu - N (UK) et TC la projection canonique M---? M/K (TC(A) est alors une C*-algèbre simple et U(K(A)) -TC(U(A)) par le lemme 1.6 ). Le lemme 1,5 appliqué â Tt(A) montre l'existence de a £U(p) et deU(q) avec Ha- p U < -^- et Il d - q I < i- tels que x - g(a + d)g- £ "N01(U1;). Alors x est un élément de la forme où Il x - 1 II < 4- , et on peut supposer de plus que x.^K (sinon on considère x ). Le lemme 2.1 donne alors V(x ) fe<^U ,x> . Comme x ^ K et II x, U < ~- nous pouvons appliquer successivement les lemmes 2.9 et 2.8, d'où < N14(U^)1V(X3) > - U. 2.2.3 Maximallté de U lorsque p jj q Lemme 2.10 : Soient M un facteur fini et cfcM, alors il existe un unitaire uéM tel que eu soit un élément - 28 autoad joint . Preuve : SoIt e - v|c| la décomposition polaire - u" avec ||x - 1 II < -±- . Nous pouvons supposer que y - qxp i 0 (sinon on considère x"), Le lemme 2.1 Implique alors V(y) é où 0 < Il y II < ^- . L'opérateur yq - yy" étant positif (4 q) 11 existe un Sou 6-projecteur q de q, équivalent a p, commutant à V<1 " yy* tel 1ue fl' ^q - yy* q' 4 q' (lemme 2.U). Soient q - q - q', y^ - q' yp , yi - q" yp a, - q' \fq - yy*' q' . *2 - q" U- y y* q" L'élément V(y) dans la décomposition p + q + q" ¦ 1 a la forme : f\l-y*y*-y%7Î ~1* '?* VW =1 v/ a* o o dj y* Les conditions d'unitarité de V(y) donnent : d, - v q' - y* y/ »t - /q"- yxy/ Remarquons que y ^ 0 car d. 4 q . Soit J-p+q'-q'tU. Grâce aux conditions d'unitarlté, nous avons 30 V(y)JV(y)J P-2*** -iU-tfi y* o Ik « o Ç.1. c * O ir avec et c 2 * Vr- *"y- i'-2*>* o O O «j* / ^ O O «j'y D V(X)JVCy)J* - 1 I/ £ 2 ||VCy) - I « <£ 1 E^^y, |/p - y,* y/ i< O. || c ||< 4. et grâce au lemme 2.I •W ' o o JU(p+ q')xU(q"). Donc U(p + q' ) .* U(q") et U(p)xU(q' + q" ) sont des sous-groupes de <£ U ,g > qui engendrent U (lemme 2.4) , alors - U. 2.3. SOUS-GROUPES MAXIMAUX DU GROUPE UNITAIRE D'UNE C"-ALGEBRE A.F. SIMPLE Dans ce paragraphe A est une C -algèbre A.F. simple avec unité; A est donc la fermeture normlque d'une réunion croissante de *-sous-algèbres de dimension finie An de A contenant toutes l'unité de A. - 31 - Nous notet-ons A » U A. pi A1. • d H....,(C). *>4 p 'ngr «7» ) «•/»?I) L'homomorphisraé lnjectlf unltal if: © M,-,(C) ----»A M ,,(C) " j« 4 Kijl /»4 *«'(j> est décrit par une natrice r(n + l)-fols-r(n) d'entiers ( «". ) . (IGo] ,Prop.17.2, p 131). J Solent p et q deux projecteurs non nuls de A de somme 1. Définitions :(1) Un projecteur eèA^est plein dan« An il e - ® em • avec O 4t em * wte,,( Ç) pour tout j ¦> l,..,r(o). .(2) Un homomorphlsme U> : A^--—*A_„ est jleln si ^ ¦ ( *ij > 4Ci( + O pour tout 1,>.,r(m+l) ,J-I, ..,r(m), Dans toute la suite on se limite sans perte de j te généralité au cas d'une suite Ai——-» A ¦ » ... ou tous les 43^ sont pleins ((E] lemme AA.5 p 29). Remarques :(1) Pour tout entier m et pour tout projecteur non nul eé A1n , e est plein dans A_ .. (2) Le groupe U(A) est connexe car U(A) - U U(Xn) . » (3) L algèbre Ap est aussi une C -algèbre A.F. simple ([E) lemme 9.4 p 60 et remarque (1) suivant le lemme 1.2). 2.3.1. Haxlmallté de N(U ) lorsque p - et < e D,• , ê *j > - © JS 4 ti J«* C tsA J J où Dj - D1 ti- - ti pour tout j - 1 , . . , n , J J Preuve : Soient J -(S1).. et R ^¾ %-;% ÉD- Le produit if - J if R t j" donne < D, V > -. Le groupe < © D; , © ïj > contient (© *¦ J(D4 © 1 O ...» 1 X* *•) et i ' j J J J D4 6 11 ... S 1 donc aussi le groupe < D,, , $,,> * IS ...Ol. En faisant varier j, nous obtenons la conclusion cherchée. Lemme 2.13 Solent A une C -algèbre A.F. simple avec unité, m un entier ^ 1, deux projecteurs équivalents p et q de A , de somme 1. Soient e un sous-projecteur non nul de p appartenant à A et H - < U( p)* U(q) ,V (-^ Eaj> e) > , alors »¦« ri VJ |i H-U. Preuve : La C -algèbre Ap est A.F. simple avec unité p et e un projecteur plein dans pAm p (remarque (3) et (1) ci-dessus). Pour n» m+1, soient p-© p. • et e» ( eu;£ JlH ,.,(C). où eB • j 0 pour tout j • l,..,r(n) et soit If 1'isomorphlsme : f "(A p + q ) ------------> U1(Aj, ) l ^V E1PdW " I'd/ - 33 - Posons D; ",J "(J) *.j "'J "O' *>0 J *f %* N'" c,\i Vf e"-J JrSi+N"'^ t«,(Af) pour J - 1,..,r(n) . Corame Ap D © p „j Mn^ p . alors l'image par «f- de H contient < © D; , © / • "¦> et donc © <£ D • , ï\-> <ÎDJ'f *j> (lemme 2.12), Le lemme 2.6 appliqué pour chaque j Mf(P-- M ,. P • ) donne l'appartenance de : au facteur J n f"vi Tr •*".; < iTrP ^f-P /T' à VJ-(H). Ainsi V,,- ( i. E . )£H, et H - U par le lemme 2.2. >< YJ "r Lemme 2.14 : Soient A urte C -algèbre A.F. avec unité, k un entier ^. 1, p et q deux projecteurs non nuls de Aj, et z i. qAp avec 0 < Il z II < 1 . Alors 11 existe m C(N, m ^. k , deux projecteurs non nuls e(, e équivalents de A1n tels que e^^p, e, £ q , et deux unitaires U1CU(P), U1ClKq) avec la propriété suivante : Il existe un élément inversible c £A tel que /----------------ï?—* * * à U1Ze1 Y p - z z \iA • Eli(c où Z14 - (E-1 ) est une isométrle partielle de A reliant e . et e . Sl p - q on peut choisir Ea<) unitaire dans (An,) . Preuve : Pour tout £ > 0 il existe m £ N, i)k et a £ A1n tel que II i - a |< ( , Ha Ij - BzJ; alors sir -qapona - 31, - Hz - z'k^£ et Z1^A1n . SoIt eA le projecteur spectral de zz correspondant a une valeur propre A de z z telle que A' . (I t" z' H (O < A' < 1) . Soient x - ze \|p-z1'z;x'"zeVp-zz (. An, f4(resp. f, ) le support Initial (resp. final) de x e.(resp. e, ) le support Initial (resp. final) de x 4 2 1) Par choix de £ nous avons : liez :e((e z z e ) - e^ II<1 donc e z ze est Inversible dans A, . 2) Montrons que f (resp. f ) est arbitrairement proche de e (resp. e.) par choix de £ : Soient v -ze. ( e. z ze„ )_ et v' "ie. (er*«e) é A. (v * 4 4 C4 44 4 £ m existe par 1) ), alors : =4 • v v « support final de ze. - f 4 i - e , v v - support final de z'e^» e donc f « vv est arbitrairement proche de v v - e par choix de £ :44 » 'i f------*—^ Soient w - ( e4 ( p - z z) e^ ) e4 ( p - i z et w ¦ (e,(P " î Oe,), e4 < p - z z alors ww* » eH , w w - support initial de e( ( p - z* z ¦ tA ww » e, w w - support initial de* e \p - z*z' - e donc f, - w w est arbitrairement proche de w w - e par choix de £ . 3) Définissons les unitaires u4£U(p), u,6U(q) : Par le point 2) on a U f„ - e, Il < 1 , |\ f t - e, Il < 1 donc il existe deux unitaires u,,£U(p) et Uj£U(q) tels que «.,f, u/ - e< , U^1U* - C1(IE] Cor.A8.3 p 58). Si p - q alors e et e étant des projecteurs équivalents - 35 - dans pA p C Am sont uni tal reinen t Équivalents ([Dl] Prop.6 ,p 243); soit u tU(pA„ p) tel que ue.u* - e^. Définissons E , • E^ - J v si p ¥ q lu si p - q (E14* Am ) Nous avons (E^ ) U4Xu4* - E1' u^xf, u" - E* e^xu'e, t A^ 4) Montrons que E, u, xu. est Inversible dans A : L'élément xx" est arbitrairement proche de x'x'"" - (1 -à')«'e, r'* - (1 -X))Je1 qui est inversible dans A- . Donc par choix de £ nous avons : » Ulxx"u*((l "A* )*'e2>^ - B1IUIIu1(Xx"- (1 -A'm'^)»,*!!/^. C ( Il xx* - x' x'* Il + (1 - *' ) >' « e, - f II )-l_- < l (*-A )A donc u,xx u est Inversible dans A^ . 2» 2 e 2 L'Inverse de E. u xu. est alors u x u (u xx u ) E,.* A. . Ii 2 * *lt 1 t *¦* «4 Lemme 2.15 : Soient A une C -algèbre A.F. simple avec unité, p et q deux projecteurs de A équivalents de somme 1. Si z£A- vérifie 0<||z||< *. , alors -U. Preuve : Il existe kfeN et un projecteur p£ A. tel que U P ¦* P II <- 1 et donc un unitaire u é A tel que upu* - p ([E] Cör.A8.3 p 58) . Notons q - 1 - pC A^ et E-- - (Egg ) l'isométrie partielle Tf - K*H uE..U reliant p et q. 1 *< Posons z » uzu e Aj. (Nous avons uV(E„„z)u - V-- (E-.uzü*) - Vv-(E_«z') ). Nous allons montrer que le groupe : u z)> u*- est égal au groupe U. Grâce au lemme 2.14, 11 existe m t IN, m ^k et deux - 36 - projecteurs e,, et et non nuls équivalents de Am , tels que c. Ip1 e£ p et deux unitaires uA, u £ U(A~ ) tels que -2u2z'C4 y p - z z' u4 - wc où c est inversible dans A avec K c d <_L et w « Uf(A111 )-) . Solent W - u4 + E-.w^u^E-- et J - p - 2e,, + ^ (éU(p)x U(q) ), alors WJV--(Eïî r')j"Vj-(E-- z' " V* est un élément de - U(p + q) . Théorème 2.3 : Soient A une C -algèbre A.F. simple avec unité, p et q deux projecteurs équivalents de A, de somme 1. Alors U* est d'indice 2 dans N (u") et N (U-) est un sous-groupe maximal dans U. Preuve : L'égalité N (U ) - U - 37 - (lemme 2.1). Le lemme 2. 15 nous permet alors de conclure < NU(UW),8> - U. 2.3.2. Maxlmâllte de U lorsque p q Lemme 2.16 : Soient A une C -algèbre A.F. simple avec unité, k un entier J1, p et q deux projecteurs non nuls de A, de somme 1 et non équivalents. Sl H est un sous-groupe de U contenant strictement U(p)*U(q), alors H contient le sous-groupe dense UlI(A ) de U. Preuve : Grâce au lemme 1.5 et à la proposition 1.1 il existe dans H-U(p)xU(q) un élément de la forme I ,) dans la décomposition p + q - I1 qui soit arbitrairement proche de l'identité. Nous avons alors Vn (z) fcH-U(p) xU(q) (lemme 2.1). Grâce au lemme 2.1A il existe m C (N, m >k, deux projecteurs non nuls équivalents e,, et ez de A tels que e,,£p, ex£q et deux unitaires uf6 II(p) , u^ £. U( q) tels que -2u,ze. VP ~ z*z u.* " E,.c où c est inversible dans À* et E1. - (E-11 ) une lsbmétrle partielle de Am reliant e^ et e . Solent W- u4 +u, J-p- 2eA + q deux unitaires de » »al* * \ U(p)x U(q) aloru WJV„ (z)J V *(*) W -L t ^ J é H et est un élément proche de 1 si Hz II est suffisamment petit. Nous avons donc V (È c)£H (lemme 2.1) et le lemme 2.3 donne : - 38 - \tl<^E24e, > * CU(e4+ e, ) . Comae Vp. (Ez £ H et ï é U(A^). Nous avons alors CH où e „ èst un projecteur plein dans A (remarque (1) £2.3). Four tout n Jm + 1 , soient : «Y«0 rl») P - © p ¦ : q - © q e - © fK • où f -il 0 (J- l,..,r(n) ) E - © E_ • appartenant tous â © M_...( C) . Poèons Dj - "(PB(JM„fj,PKtj) f "('«!,,jM^^q^) ^ Pour tout n > m + 1 , H contient <© D.', © If : > et donc ® < D : ,X: > (lemme 2.12) . Pour chaque J c{ l,..,r(n) }, IM,^ .» étant un facteur le lemme 2.6 ou le théorème 2.2 (suivant que p„ • est équivalent ou non à q( ¦) Implique ft U(Mn...) - U(An) qui est contenu dans H. Ceci étant pour tout n >m + 1, nous avons donc U U(AR) CH. Lemme 2.17 : Solent A une C -algèbre A.F. simple avec unité, e et f deux projecteurs de A, équivalents de somme 1. Sl H est un sous-groupe de U contenant U(e) x U(f) et un sous-ensemble dense D dans U, alors H-U. - 39 - Preuve : Dans la décomposition e + f - 1, 11 existe Y- ( » (• J É D h'appartenant pas A U(e) XlK f ) , tel que Il Y - 1 II < •£¦ (car D est dense). Nous pouvons supposer z y 0 (sinon on considère Y ). Grâce au lemme 2.1 nous avons V.r (z) € H où UtK^1 et comme lés projecteurs e et f sont équivalents le lemme 2.15 nous permet de conclure : - U et donc H-U. Lemme 2.18 : Solent A une C -algèbre A.F. simple avec unité, k un entier > 1, p et q deux projecteurs non nuls de Aj1 de somn|e 1 et q un projecteur de A^ équivalent a p tel que q < q ,q i q. Alors U(p)xU(q ) est un sous-groupe maximal dans U. Preuve : Soient U(p)»U(q)SHCU et q" • q - q'* Afc. Le lemme 2.16 donne U U(An)CH et donc ^lU^Ai>)<.«k P+T dans U(p + q ), le lemme 2.17 nous donne HhU(p + q1) - U(p + q') c'est-à-dire U(p + q')xU(q*)CH. Les projecteurs p et q étant équivalents le lemme 2.4 nous permet dé conclure H-U. Théorème 2.4 : Solent A une C -algèbre A.F. simple avec unité, p et q deux projecteurs non nuls, non équivalents de A, de somme 1. Alors N (U ) - U est un sous-groupe maximal dans U. - 40 - Preuve : L'égalité NU- ) X U(I - p- )£ H pour tout j - 0,..,k, k.) "1 que DCHO U(p- + qj>4). 1 r cas : Sl q . /v P- alors Hf*U(p- + q". ) contient U(Pj)xU(q-T ) et 1'ensemble dense D. Le lemme 2.17 donne HOU(Pj- + q^. ) - U(Pj + qJ + 1 ). 6 : sl q.\n < P- alors Hnu(p; + q,-,. ) contient — J" * J J J Le lemme 2.18 donne 2 ca strictement U( p,- ) X U( q ¦ ) . HAU(P. + qj^ ) - U(Pj + OTj + 4 ). Dans les deux cas nous avons U(P41)XU(I - p • , ) C H pour i - 0,..,k ( si klpourtoutt£T. Io f(0'V (UM O \ Alots pour tout H€GL(2,T) de la forme I ^ L/M-4 I tel que h( t) > 1 pour tout t£I, on a H £. Preuve : Soient P et H comme dans l'énoncé. Par compacité de T 11 existe n £ h tel que h(t) , S(t) est positif de déterminant 1 pour tout t 6 T et trace S(t) - 2 + sin*fl(t)< f(t)2H- fU)2")* - h(t) + h(tf -A L'élément S(t) a donc h(t) et h(t) pour valeurs propres. Solent{ x(t) -- 2 Cot M) 0/(, t) - ± arc sin x( t) 2 Kos <<(t) - iinxlt) \ [sinum »*-u)j • alor8 Veu<2-T> par un calcul simple mais fastidieux l'égalité Sl V(t) et on vérifie KIO o - v(t)s(t)v(t) Vo M0"\ qui donne la condition cherchée. Lemme 3«3 : Soient A une C -algèbre avec unité, des projecteurs p^ ,p ,p orthogonaux de A de somme 1 tels que P,* p ^ 0. Sl a est un opérateur positif de A avec Sp( a) C ] 1 ,+ oo l alors pour tout if >1 , on a : h. p* e 1' lsomorphi sue de GL (C(T)) sur une sous-algèbre de G(p/( + p ) défini par : «m::j ¦* * + vE<2 + Z4i * * Eu wE donc (oh AJ é ' *p, o o V'fl conclusion cherchée. d'où la Lemme 3.4 : Solent A une C -algèbre avec unité, des projecteurs pA ,p ,p orthogonaux de A de sommé 1, tels que p 1 • Alors pour tout x, yfiG(p1)l fi / appartiennent à . Pour tout xéGCp,,), soit x - ub sa décomposition polaire ( b » Ix I ) alors appartient a et donc pout tout x, y 6C(P1) : /'y*4/4 \ I* \/y \/(y*r* appartient aussi à < U, f1 > . 3.3 MAXIMALITE DE Ng(G(U+K)) DANS LE GROUPE DES INVERSIBLES D'UN FACTEUR. Dans ce paragraphe M désigne un facteur (à prédual separable). Nous désignons par K l'Idéal bllatère maximal de M défini au paragraphe 2.2 dont nous reprenons les notations. - «7 Lemme 3.5 : Soit M un facteur de type I1-IlI ou III. Four tout g CC-Ha(G(U+K)) , 11 existe ün système d'unités matricielles {E ;¦ J1; ,^,3 et un opérateur positif a £ M£ avec Sp(a)C ]l,+ oo[ tels que I C»4^« J £ . Preuve : Soit g C-G-N6 (C (Ü+K) ) et g <• ux sa décomposition polaire ( x - Ig) ). Le lemme 3.1 Implique x$I*C(l+K). On a - < N& (G(U+K) ) ,x> . Le spectre (reap. le spectre essentiel si H est de type I- ou H- ) de x contient deux points A, et H avec 0 < A < h • Soit E(.) la mesure spectrale associée à la décomposition de x-Jt dE(t). Si £ > 0 vérifie A+£ < M - £ . alors les projecteurs E([A-£,A + £]) et E( (/«-£, J* +£) ) sont orthogonaux . Considérons les cas suivants : a) Le facteur M est de type I- JI^ du III. Le projecteur E([A-£,A + £]) étant infini ([Ka] ,Pr op. 3.8) » il est la some de deux projecteurs E44 et F orthogonaux, équlvalehts et commutant à x. Soient E1J - E(( /*-1 ,/i+£ ]) et E33 - 1 - E„4 - E11 . ^Eii'"-,ii » forment une partition de l'unité de M que l'on complète en un système d'unités matricielles (s.u.m.) et H a'" U < H *««Ä*i4| i -^- < 1 donc Sp(a)c Jl,+ oo J . b) Le facteur M est de type II,, , muni d'une trace normale finie fidèle normalisée T . Il existe k fc N, k>l et un sous-projecteur E^ (resp. Eü ) de E( [ >i -£ ,* + £.)) (resp. de £([/•-£ ./1 + £ I)) commutant à x et de trace—— ([DiJ, Ch III, §2, Prop.14). Solent E,, un sous-projecteur de 1 - Z^ - E11 de trace — , art ielle commutant à x et E^, - (E ) une lsométrle p reliant EAA et E, . Soient F-I -E-11 -E^, -E,, et x - X4 + x + x. + y où x - E- XE^- ( <¦ -1,2,3), y - FxF. En construisant les -4 .4 éléments V - E1, +E, +E.,+F et B - VxV x , comme au point a) nous obtenons un élément de la forme n - | £l**~"£-4i appartenant à <^ N (U),X^ ¦ÌÌ et où Sp( a) C ] 1 , + oo [ . Comme r(F) - 3(k-l)-±_, on peut 3k - 49 décomposer F en somme de 3(k-l) projecteurs orthogonaux, commutant à x et de trace — . En effectuant un produit de k-1 conjugués (par des unitaires) de h nous obtenons la conclusion cherchée. Lemme 3.6 : Soit M un facteur, alors tout opérateur Inversible de M est un multiple scalaire d'un produit fini de commutateurs multiplicatifs. Preuve Si1 M est de type I ,II-, ou III, voir [HaJ,Prob.192, si M est de type H1 voir (F-HJ, Prop.2.5 et si M est de type In 11 est bien connu que le groupe dérivé de GLn(I) est SLn(t).([Ar],Ch.IV,Th.4.7.). Théorème 3.1 Soit M un facteur, alors N6(C(U-J-K)) - t G(U+K) est un sous-groupe maximal dans C. Preuve Si M est un facteur de type I , la démonstration est faite dans [No]. Supposons donc que H est un facteur I-,II ou III. Soit g £ G-N&(G(U+K)), alors les lëmmes 3.5 et 3.3 donnent l'existence d'un s.u.m. (E- } • . ... tel que r = I rV •r-o appartient à < N6(G(U-I-K) ) ,g > pour tout t > l . Nous allons montrer que - G. SoIt a£G et a • vB sa décomposition polaire où vÊU, B - Va*a' &¦¦ Il existé un s.u.m. {E ,• • )¦. ... tel que y \ J 'J 50 avec b; - E BE pour J - 1,2,3 et des lsomêtrles *¦ » ~ partielles U: telles que U; Uj » E-- , U- U; - E.-. pour i - 1,2,3. SoIt l'unitaire U - U,+U2+U, alors UBU a la forme b, b» dans le s . Grace au lemme 3.6 11 existe .u.m. (lemme 3.4). Comme E , E,, et E3, sont des projecteurs équivalents, K •« et £ 11 et donc appartiennent à ^N,(G(U+K)),r1 > . Nous avons la conclusion cherchée car B et donc aussi a sont des éléments de < n6(g(u+k)) , r- >. - 51 - 3.4. MAXIMALITE DE N6(U) DANS LE GROUPE DES ELEMENTS INVERSIBLES D'U^E C -ALGEBRE U.H.F. Dans ce paragraphe nous reprenons les notations du § 2.3. Lemme 3.7 : Soit A unité. Pour tout g é. projecteurs non nuls somme 1 avec P-1 et p, équivalents ^+P1 équivalent à u ainsi qu'un élément tels que \ Pi appartient à - . Soient X4 et A1 deux valeurs spectrales de |g| avec >„< >x et « é R* tel que <* < min( h' ** , ii_ ) . Soit 0 < L < ci et soient m t «* et y positif ECL(A-) tel que Il ISl - y II < £ «t />A,^i deux valeurs spectrales de y avec I *i - /»; | < £ pour i - 1,2. Soient p4 et p2 deux projecteurs de Am tels que Pt y " yPi " /"i P; pour i - 1,2. En remplaçant ¦ par m+k - n une C -algèbre A.F. simple avec G-C U, 11 existe un entier n>l, des orthogonaux p; £ An (L - 1,2,3) de dans An n sous-projecteur de p3 dans An positif a é A. avec Sp(a)C ] 1 ,+ eo 1 - 52 - (où k*iN ) et P-1 , p par des projecteurs plus petits on peut supposer p^ nj p^ ( remarque (1), b 2.3 ) et P1 + P2 < I -p., -P1 - p, ( 11 suffit de choisir n tel que tout Idéal bllatère minimal de An solt de la forme l»r(t) avec r > A ) . Soient px<( - P^1 une lsométrle partielle de A^ reliant p^ et Pl ! u - P-U+P*.,+Pî fc U , alors z « yuy u /.-> /1Px r> »ù /* ¦ ^r > » Par choix de £ , les éléments h et z et donc aussi IhI et z sont arbitrairement proches. On a 1 < a - —^-- < /• - 4-- < —---- - b, et pour tout *a t * ' /•* «< 0 <. % < mln( 4-a"* , -*** ) on a 2 2 /•"+ î ( dans la décomposition q,,+q,+ Il II z- |h| Il + Il |h|-/"ll Il z- JhJI/ < S if MfIIi Uh4-Zi^qJl II h4-//* ^ %/(> »l < £ /!¢1,1 En choisissant O suffisamment petit on obtient II Pj-q. H < 1 et donc les projecteurs p, et q, sont équivalents ([E], Cor.A8.3). De même p; et q; sont équivalents pour t » 1,2 donc il existé v € A tels q^ue v- v; - p- , v; v- - q- J ** * J • il 4 U - 1.2,3). Soient v - v„+V1 +v. €U et x - v|h|v ; alors x fe et est de la forme *i 1 da ns la décomposition P1+P2+P. " 'i où Sp(X4 ) C Bj ( f ) , Sp(X1)CBj(M, Sp( x, ) C Bj( 1 ) et Xj sont positifs dans GL(A-. ) pour J - 1,2,3. SoIt wa la décomposition polaire de P41 x2 Pj4 *,, ou "EU(Ap ) et a est positif, alors I Piia"*PtZ 1 - W4UXu4X-4Wj 6 V P* / où W4 - w +P1+Pj « U et W2 - P4+P24 Wp41 +Pj £ U. Par choix de £. nous avons II p4, X1 p xî* ~f* Il et donc aussi Il a - M II qui est arbitrairement petit. Comme / > 1 , on peut supposer qui: Sp(a)C]l,+ eô(. - 54 - Lenme 3.8 : Soit A une C -algèbre A.F. simple avec unité telle que deux projecteurs quelconques de A soient toujours comparables (au sens de Hurray et von Neumann), alors CL(A) C I*DGL(A) où DCL(A) est le groupe dérivé de CL(A). Preuve : Avec les hypothèses faites, A possède une unique trace positive normalisée T et CL(A)/DCL(A) peut s'Identifier via le déterminant Ar a un sous-groupe de t , donc CL(A) C C DGL(A) (pour les notations et résultats [H-S,1],p 194 ). Lemme 3.9 : Soit A une C -algèbre A.F. simple avec unité telle que deux projecteurs quelconques de A soient toujours comparables. Soient n£ M . î>0 et p. ,p, ,p, des projecteurs orthogonaux * * 3 non nuls de An, de somme 1 avec P4 et p équivalents dans An p^+p équivalent à un sous-projecteur de p3 dans An. Alors il existe des projecteurs non nuls orthogonaux p. ( i. - 1,2,3) de somme 1, appartenant â A*n avec P/" P1' P3I < P,' dan« An tels que -r-v-, É ' Pl p> - 55 - Preuve : Comme p.tp ^p 11 existe des projecteurs •------- ' k orthogonaux q; (J » 3,..,k) avec k>4, tels que p, - *- q; 4 * jw ) J où q-/vp; pour tout J -3.....k-1 et q -< p . 4 i " Solent P1' - P^ + q^+.-. + q^rk^-].,, p,' - Pi+q4 + - --+I2^i Nous avons P11A/ p,' et vJ< P.' dans An . Soient EA- et Etj des lsoraétrles partielles reliant respectivement p,, et q-, P1 et q' (J • I1...,k-1) et "CC - E-u +E«* .+E2f +E/< + X Ij e u : 4* i.t Nous avons alors i ,i éU.....k-1}, i i £ r'm r vHr uh •••'M'vO-vlVl r ui[M)-'-tt¥juppart:lent à ([k] désigne la partie entière de k) . Définition : Une C -algèbre A avec unité est dite U.H.F. (uniformly hyperflnite) si A est la fermeture normlque de la réunion d'une suite croissante d '-»-sous-algèbres An de A contenant l'unité de A, Isomorphes à(Mr1, P^ • P,' i P,' comme dans l'énoncé du lemme 3.9, alors r2 . i-j ;(p„' >* G(P1' ) * g(P>' ) c < - GL(An) et donc /Ap' nous avons rV Pi' appartient à < C U, P > . Nous obtenons alors : Pl' **'»> h' rj / I Pi' / \ fV appartient aussi à < C U, " > par le lemme 3.4. Comme p„ ~ p et p, •< pA , nous avons la conclusion cherchée (en conjuguant par des unitaires). Théorème 3.2 : Soit A une C -algèbre U.H.F. avec unité, alors N-(U) -IU est un sous-groupe maximal dans G. Preuve : Le lemme 3.I donne l'égalité N6(U) " C U. SoIt g € G-C U. En enchaînant les lemmes 3.7, 3.3 et 3.9 nous avons l'existence de • > l et de projecteurs p; £ A ( i - 1,2,3) décrits dans le lemme 3.9 tels que . Comme G est connexe 11 suffit de montrer que tout x . Pour un tel x, r x et h -IPxI sont proches de f1 ' . Le spectre de h est contenu dans une réunion de trois ouverte disjoints - 57 - centrés en Y, ï et 1. Soient qH , q , q les projecteurs spectraux de h correspondant a ces ouverts. Nous avons 111;- P; Il ^ 1 pour l - 1,2,3 (voir la démonstration du lemme 3.7 où P Joue le role de z). Soient v^eA tele que vt-v(- - p; et v(- v ; - q ; ( <. - 1,2,3) et v - v.+v,+v. É U ( [ E ] , Cor . A .8 ) . L'élément vhv a alors la 1 l 3 forme dans la decomposi ton p +P1 +P1 » 1. Grâce au lemme 3,,10, vhv appartient à ^ t U, P > ; d'où h _i « i et Px et donc x sont dans <£ C U, " > . - 58 - SYMBOLES ET NOTATIONS 0 « R" K C* Boer Wn(B) MB) Ensemble vide. Est inclus strictement. {0,1,2,... } K - {0} Jo,+ -[ C - (Oi L'anneau opposé de l'anneau B. L'ensemble des matrices n-fois-n à coefficients dans B. L' ensemble des matrices unitaires de /Mn(B) . Hn : Mn(C) GLn(C)1SL^(I)1Un(C): L'ensemble des éléments de Mn(C) qui sont respectivement Inversibles, de déterminant 1, unitaires. L'ensemble des fonctions continues sur T à valeurs dans p«q ( resp , p < q BS(/-) m s . u .m . 1^1 : La composante connexe de l'identité du groupe des éléments Inversibles de A, : La composante connexe de l'Identité du groupe des unitaires de A. : L'algèbre réduite pAp. : GL(Ap)0 : U(Ap)° : { x + y ; x €C(p) , y é C(q)} . : } u + v ; u C U(p) , v £U(q)} . . : Le normal Isateur du groupe H dans G. : Le sous-groupe engendré par H et g. p^Oq): Le6 projecteurs p et q sont équivalents (resp. non équivalents). : Le projecteur p est équivalent à un sous-projecteur de q. : |Ut ; |>-/« I < S } La partie entière de k. Le groupe des permutations de n élément s. Système d'unités matricielles. Isomorphi sme. Vxx . - 60 - BIBLIOGRAPHIE [Ar) : E.ArtIn,Algèbre géométrique, Gauthier-VIliars Paris, (1962). [Bo] : N.Bourbaki, Algèbre, Hermann, Paris, (1964). [Di] : J.Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien, Gauthier-Villars, Paris, (1957). [Dy] : E.B.Dynkin, The maximal subgroups of the classical groups,Amer.Math.Soc.Transi.Série 2,Vol 6,(1957), 245-378. [E] : E.G.Effros, Dimensions and C -algebras, in " Reg.Conf.Ser.Math., Vol 46 " Am er.Math.Soc.Providence, R.I. ,(1981). [F-H] : T.Fack, P.de la Harpe, Sommes de commutateurs dans les algèbres de von Neumann finies continues, Ann.Inst.Fourier, Grenoble,30,3,(1980),49-73. [Go] : K.R.Goodearl, Notes on real and complex C -algebras Shiva Publishing Limited, Nantwich ( 1982) . [H] : P.de la Harpe ,Simplicity of the projective unitary groups defined by simple factors, Comment.Math. Helvetici, 54,(1979),334-345. [H-S,1] : P.de la Harpe, G.Skandalis, Produits finis de ¥ commutateurs dans les C -algèbres, Ann.Inst. 61 - Fourier, Grenoble,34,4 ,(1984),169-202. (H-S,2) : P.de la Harpe, G.Skandalls, Sur la simplicité essentielle du groupe des Inversibles et du groupe unitaire dans une C -algèbre simple, J.Funct.Anal.,62,3,(1985),354-378. [Ha) : P.R.Halmos, A Hilbert space problem book, von Nostrand Company, INC, Princeton, (1967). [Ka] : V.Kaftal, On the theory of compact operators In von Neumann algebras I, Indiana UnIv. Math. J., 26 ,(1977) ,n? 3,447-457 . [No] : W.Noll, Proof of the maxlmallty of the orthogonal group In the unlmodular group, Arch . Ratlonal.Mech. Anal., Voll8,(1965) ,100-102. [Ru] : W.Rudln, Functional analysis, Mc Graw-Hlll Book Company, New York, (1973). [Sa] : S.Sakal, C and W -Algebras, Springer Verlag, Bd 60,(1971) . [S-Z] : S.Stratlla, L.Zsldo, Lectures on von Neumann algebras, Abacus Press ,Tunbrldge Wells,Kent, (1979) . - 62 -