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Analytic and algebraic aspects of solvable Baumslag-Solitar groups and of some crystallographic groups
Résumé L'objectif de ce travail est d'améliorer notre compréhension de certains groupes et de leurs propriétés. Les
trois parties qui le composent sont assez distinctes, même si deux d'entre elles traitent des groupes de
Baumslag-Solitar résolubles.

Dans la première partie, nous étudions les groupes de Baumslag-Solitar résolubles $\BS(1,N) = \braket{u, t|t u t^{-1} = u^{N}}$, $N \geq
2$, et plus précisément, nous nous intéressons à la propriété $D_\alpha$ pour ces groupes. La propriété $D_\alpha$ mesure à quel point la
croissance du diamètre d'une suite de graphes est proche d'être linéaire~: pour $0 < \alpha \leq 1$, une suite
de graphes $(X_k)_{k > 0}$ connexes $d$-réguliers, $d \geq 2$ possède la propriété $D_\alpha$ s'il existe une
constante $C > 0$ telle que $\diam(X_k) \geq C \cdot |X_k|^\alpha$. Nous étudions cette propriété pour les
box spaces arithmétiques des groupes $\BS(1,N)$~: ces box spaces sont obtenus en plongeant $\BS(1,N)$ dans les
matrices triangulaires supérieures de $\GL_2(\Z[\tfrac{1}{N}])$ et en l'intersectant avec une famille
$M_{N_k}$ de sous-groupes de congruence de $\GL_2(\Z[\tfrac{1}{N}])$, où les niveaux $N_k$ sont premiers avec
$N$, et tels que $N_k \mid N_{k+1}$ pour tout $k \geq 1$. Nous démontrons que~:
\begin{itemize}
\item si un box space arithmétique a $D_\alpha$, alors $\alpha \leq \tfrac{1}{2}$~;
\item si la famille $(N_k)_k$ de niveaux est supportée sur un nombre fini de nombres premiers, le box space
correspondant a $D_{1/2}$~;
\item si la famille $(N_k)_k$ de niveaux est supportée sur une famille de nombres premiers de densité
primitive analytique positive, le box space
correspondant n'a pas $D_{1/2}$.
\end{itemize}


Dans la deuxième partie, nous étudions les représentations en ondelettes $\pi$ des $\BS(1,N)$, qui contiennent
la notion d'analyse multirésolution. Cette dernière notion nous permet d'obtenir des bases d'ondelettes
orthonormales sur l'espace de représentation. Nous travaillons sur deux espaces de représentation. Le premier
est $L^2(\cR, \mu)$, où $\cR$ est un fractal ``gonflé'' construit à partir d'un système de fonctions itérées
et $\mu$ est la mesure de Hutchinson étendue à $\cR$. Le second est $L^2(\S_N, m)$ où $\S_N$ est un
$N$-solénoïde et $m$ est une mesure de probabilité. Ces deux représentations sont associées au même filtre
passe-bas $m_0 \in L^\infty(\T)$ ainsi qu'à la même fonction de corrélation $h \in L^1(\T)$, $h \geq 0$. Ceci
nous permet de comparer les deux représentations et de montrer qu'elles sont équivalentes pour tout $N \geq
2$. De plus, nous démontrons que sur $L^2(\S_N, m)$, l'opérateur $\pi(t) = T$ se décompose comme
somme d'isométries partielles $(T_j)_{j=0}^{N-1}$. Nous calculons la mesure spectrale de $T$, construisons une
mesure spectrale sur l'ensemble $(\Z/N\Z)^\N$ et prouvons que la mesure spectrale canonique sur le
solénoïde est le produit des mesures spectrales précédentes. Enfin, nous calculons les coefficients de
Fourier de la mesure $m$ pour tout $N \geq 2$.

La dernière partie de la thèse traite des mesures spectrales de Kesten des groupes cristallographiques en
dimension $2$. Nous calculons cette mesure pour dix des dix--sept groupes cristallographiques.

Abstract
The aspiration of this work is to further our understanding of some groups and their properties. The three parts therein
are fairly distinct, even though two of them treat of the solvable Baumslag-Solitar groups.

The first part is concerned with the solvable Baumslag-Solitar groups $\BS(1,N) = \braket{u, t|t u t^{-1} = u^{N}}$, $N \geq 2$. We study property $D_\alpha$ for these
groups. Property $D_\alpha$ measures how close to linear the growth of the diameter of a sequence of graphs
is: for $0<\alpha\le 1$, we say that a sequence $(X_k)_{k>0}$ of $d$-regular connected graphs has property $D_\alpha$ if
there exists a constant $C>0$ such that $\diam(X_k)\ge C\cdot|X_k|^\alpha$. We investigate this property
for arithmetic box spaces of the groups $\BS(1,N)$:
these are box spaces obtained by embedding $\BS(1,N)$ into the upper triangular matrices in $\GL_2(\Z[1/N])$
and intersecting with a family $M_{N_k}$ of congruence subgroups of $\GL_2(\Z[1/N])$, where the levels $N_k$
are coprime with $N$ and $N_k|N_{k+1}$ for all $k \geq 1$. We prove that:
\begin{itemize}
\item if an arithmetic box space has $D_\alpha$, then $\alpha\le\frac{1}{2}$;
\item if the family $(N_k)_k$ of levels is supported on finitely many primes, the corresponding arithmetic
box space has $D_{1/2}$;
\item if the family $(N_k)_k$ of levels is supported on a family of primes with positive analytic primitive
density, then the corresponding arithmetic box space does not have $D_{\tfrac{1}{2}}$.
\end{itemize}

Next in order, we study wavelet representations $\pi$ of $\BS(1,N)$. In
particular, these representations include a notion of multiresolution analysis from which it is possible to
obtain orthonormal wavelet bases on the representation space.
We work with two representation spaces. The first one we consider is $L^2(\cR, \mu)$, where $\cR$ is an inflated fractal set constructed from
an iterated function system, and $\mu$ is the Hutchinson measure extended to $\cR$. The second one is $L^2(\S_N, m)$ where
$\S_N$ is an $N$-solenoid and $m$ is a probability measure. Both representations are
associated to the same low-pass filter $m_0 \in L^\infty(\T)$ and to the same correlation function $h \in
L^1(\T)$, $h \geq 0$.
This allows us to compare the two representations: we show that the two representations are equivalent for all $N \geq 2$.
In addition, we show that on $L^2(\S_N, m)$, we can decompose the
dilation operator $\pi(t) = T$ into partial isometries $(T_j)_{j=0}^{N-1}$.
Futhermore, we compute the spectral measure of $T$, we construct a spectral measure on the set $(\Z/N\Z)^\N$ and
we prove that the canonical spectral measure on the solenoid is the product of the two previous spectral
measures. Eventually, we compute the Fourier coefficients of the measure $m$ for all $N \geq 2$.
The third and last part of the thesis is about computing Kesten spectral measure of wallpaper groups. We are
able to compute it for ten of the seventeen wallpaper groups.
   
Mots-clés Théorie des groupes; graphes de Cayley; groupes de Baumslag-Solitar résolubles; ondelettes; représentations; coefficients de Fourier; isométries partielles; mesures spectrales; mesures spectrales de Kesten; groupes cristallographiques; Group theory; Cayley graph; solvable Baumslag-Solitar groups; wavelets; representations; Fourier coefficients; spectral measures; partial isometries; Kesten spectral measures; wallpaper groups.
   
Citation Hayez, L. (2022). Analytic and algebraic aspects of solvable Baumslag-Solitar groups and of some crystallographic groups, Doctorat, Université de Neuchâtel, Neuchâtel.
   
Type Thèse (Anglais)
Année 2022
Departement academique Institut de mathématiques
Université Université de Neuchâtel (Neuchâtel)
Degré Doctorat