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Propriété de Haagerup dynamique et Baum-Connes explicite pour certains produits semi-directs de Z2 par F2
Résumé Ce travail s'organise en deux parties. La première s'intéresse à caractériser la propriété de Haagerup pour les groupes localement compacts, dénombrables à l'infini en termes d'actions sur des espaces mesurés $\sigma$-finis, avec quelques exemples et un analogue dans la cadre non-commutatif. Dans la seconde, on investigue la conjecture de Baum-Connes sur quelques exemples concrets. Plus précisément, étant donné un produit semi-direct de $\mathbb{Z}^2$ par $\mathbb{F}_2$, où $\mathbb{F}_2$ désigne un sous-groupe libre de rang $2$ dans $SL_2(\mathbb{Z}),$ on étudie d'une part la $K$-théorie de sa $C^*$-algèbre associée et d'autre part la $K$-homologie géométrique de son espace classifiant. Ainsi, l'étude de ces groupes, nous donne dans certains cas des générateurs explicites. De cette description naturelle des $K$-groupes, on essaie de les identifier par le morphisme d'assemblage. En d'autres termes, on redémontre de manière explicite la conjecture de Baum-Connes pour certains de ces groupes.\\

Abstract
This thesis is organized in two parts. The aim of the first one is to provide a characterization of the Haagerup property for locally compact second countable groups in terms of actions on $\sigma$-finite measure spaces, with some examples and a noncommutative analogue. In the second one, we investigate the Baum-Connes assembly map through concrete examples. More precisely, given a semidirect product of $\mathbb{Z}^2$ by $\mathbb{F}_2$, where $\mathbb{F}_2$ denotes a free subgroup of rank $2$ in $SL_2(\mathbb{Z}),$ we study on the one hand the $K$-theory of its associated $C^*$-algebra, and on the other hand the geometric $K$-homology of its classifying space. Thus, the study of these groups, gives us in some cases explicit generators. From this natural description of $K$-groups, we try to identify them via the assembly map. In doing so, we reprove the Baum-Connes conjecture for some of these groups.\\
   
Mots-clés Groupes localement compacts; actions de groupes; représentations unitaires; propriété de Haagerup; conjecture de Baum-Connes; $K$-théorie; $K$-homologie; Locally compact groups; group actions; unitary representations; Haagerup property; Baum-Connes conjecture; $K$-theory; $K$-homology
   
Citation Zumbrunnen, A. (2022). Propriété de Haagerup dynamique et Baum-Connes explicite pour certains produits semi-directs de Z2 par F2, Doctorat, Université de Neuchâtel, Neuchâtel.
   
Type Thèse (Anglais)
Année 2022
Departement academique Institut de mathématiques
Université Université de Neuchâtel (Neuchâtel)
Degré Doctorat